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DESCIFRANDO A SRAFFA

Antonio Mora Plaza




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Capítulo XII: Desplazamientos en los métodos de producción

Se aborda en este artículo el capítulo XII del libro de Piero Sraffa Producción de mercancías por medio de mercancías, capítulo que titula el economista italiano “Desplazamientos de los métodos de producción”. No es la intención del autor de este trabajo -al igual que en otras ocasiones- hacer una recopilación histórica de las aportaciones referidas a lo que ahora se llama el problema de la elección de técnicas, que es lo mismo a lo que se refiere Sraffa en este capítulo. Eso ya está hecho. La primera vez que leí el capítulo XII -hace de eso bastantes años- acepté como buena, no sólo la argumentación, sino el gráfico que aparece en la pág. 115 de su obra. Con el tiempo he llegado a la conclusión que el gráfico es erróneo a pesar de que no he encontrado en la argumentación motivo de rechazo. Resulta curioso que el mismo Pasinetti recoja el gráfico -uno similar- a la par que desarrolla o concreta la argumentación. La cuestión, sin embargo, no tiene mayores consecuencias para el desarrollo de la frontera salario-ganancia porque esta es en esencia correcta. Es más -como veremos con las ecuaciones- si el gráfico de Sraffa fuera correcto, no se llegaría a una frontera salario-ganancia convexa . En todo caso no es la intención tampoco de este trabajo -como en los anteriores- suplir los razonamientos económicos que hace Sraffa que, en general, son acertados, sino de dotar de instrumentos formales para asentar las hipótesis y las conclusiones que se derivan de la obra de Sraffa. De paso, por supuesto, alguna crítica con el fin de acotar y precisar tanto hipótesis como conclusiones que, sin desarrollos formales a la vista, se hacen mucho más difíciles; y con los desarrollos formales y sin perder el criterio económico, se atisban nuevas posibilidades de crecimiento de la semilla esrafiana. Hay que tener en cuenta que Sraffa trabajó su libro durante decenios; además, porqué no decirlo, él era un genio y los demás... simples mortales... Por último, se hacen algunas reflexiones sobre la posibilidad de la planificación -la semilla- a partir de un modelo generalizado obtenido a partir de Sraffa.

I - Desplazamientos de técnicas para productos no básicos.

Dice Sraffa que “se conocen dos métodos alternativos para la producción de una de las mercancías. Y para comenzar por el caso más sencillo, supongamos que la mercancía en cuestión es un producto no básico” . Lo de que es el caso más sencillo es discutible. Una ecuación que pudiera representar el caso que habla Sraffa vendría dado por:

(118)

donde pa y pb son los precios de los productos no básicos y básicos, respectivamente; Ya y Yb los productos finales no básicos y básicos; g la tasa de ganancia; w la tasa de salario; X los medios de producción. El bien no básico Ya es cualitativamente el mismo, pero es producido desde n métodos de producción diferentes (n columnas). Es pues una generalización del problema planteado por Sraffa que habla de “una mercancía” desde dos métodos diferentes. De momento la ecuación es única, por lo que corresponde a un método de producción. Cuando hablemos de más de un método introduciremos tantos sistemas de ecuaciones matriciales como métodos, porque ello supone que, al menos, L y X van ser diferentes. Si en la ecuación (118) hacemos que lo salarios w valgan cero para obtener la tasa máxima de ganancia, es decir, hacemos el supuesto de que todo el excedente se lo lleva las ganancias, entonces la ecuación queda:

(119)

donde gm es la tasa máxima de ganancia. De entre ambas ecuaciones obtenemos los precios de los productos básicos:

(120)

Con estas 3 ecuaciones y con los dos numerarios definidos como:

(121)

(122)

donde I es el vector de unos de dimensión nx1 ya podemos obtener la ecuación intermedia:

(123)

Para mayor comodidad, vamos hacer f=LX-1Yb. Además vamos a post-multiplicar (123) por el vector de unos I de dimensión nx1. Entonces (123) se convierte en:

(124)

es decir, la relación precio de producto no básico-tasa de ganancia. Esta función es crecientemente creciente porque son positivas las derivadas primera y segunda. También puede comprobarlo el lector a simple vista puesto que el numerador aumento con aumentos de la tasa de ganancia g y, sobre todo, disminuye el denominador (por lo que aumenta el quebrado) a medida que g se acerca a la tasa máxima de ganancia gm. Es decir, la función es siempre monótona creciente sin cambio de convexidad, por lo que no se corresponde con los gráficos mencionados de Sraffa y Pasinetti . Sraffa no hace explícita la ecuación que justifica su gráfico -cosa habitual-, pero Pasinetti sí lo hace con:

(125)

donde pq es el precio de la mercancía no básica, p los precios del resto -que son bienes básicos-, r el tipo de ganancia, lq el input de trabajo de la mercancía no básica y w la tasa general de salarios . La ecuación (125) es creciente respecto al tipo de interés cuando están dadas el resto de las variables. Al igual que ocurre con la ecuación (124), los precios de las mercancías no básicas (en la (125), pq) pueden bajar si, por ejemplo, un cambio en la técnica, hace cambiar Aq y l, es decir, los medios y el trabajo. Pero entonces debemos hablar de un desplazamiento de la curvas (124) y (125) y no de un deslizamiento a lo largo de la curva precio-tasa de ganancia, que es lo que dibujan los gráficos mencionados. Quizá en la época que concibió Sraffa su obra esa diferenciación entre deslizamientos y desplazamientos no estaba bien asentada, pero en la época que escribe Pasinetti ya no había dudas. Lo curioso es que esto no tiene consecuencias serias para la frontera salario-ganancia, ni para el problema y el debate sobre la elección de técnicas y el retorno de las mismas. Ese debate se ha ganado por los críticos al neoclasicismo y al marginalismo, donde ha descollado el mismo Pasinetti, junto con Kaldor, Robinson, Garegnani, Nuti, etc., y, por supuesto, de forma pionera y por encima de todos, Piero Sraffa.

Un cambio de técnicas en la ecuación vendrá reflejado por cambios en la tasa de ganancia máxima gm, y por cambio en f, es decir, en los inputs de trabajo L y en los medios de producción X, incluso en los productos finales de los bienes básicos Yb. Por esto, ese cambio se notará gráficamente con desplazamientos de la curva definida en (124) para los bienes no básicos y en la curva (120) para los básicos. Podrá haber puntos de cruce entre curvas definidas por (124) si un método de producción ha generado una tasa de ganancia g1 mayor que otro método con una tasa de ganancia g2 menor, pero con distintas funciones técnicas f=LX-1Yb, es decir, con diferentes inputs de trabajo L y medios de producción X, que hagan que la curva que viene por debajo -la segunda- crezca más deprisa que la primera que parte de una posición más alta. En el punto de cruce se producirá un cambio de la técnica, eligiendo el empresario o gestor aquella técnica (aquella parte de la curva) en cada momento que, a cada nivel de precios, da mejor tasa de ganancia g. Aún así, la envolvente de la curva será monótona creciente con puntos de discontinuidad precisamente en el cambio de una técnica por otra.

Vayamos ahora a la frontera salario-ganancia. La ecuación (124) nos ha dejado el terreno preparado para ello, porque con un tercer y último numerario como dado que pa es un escalar:

(126)

es decir, con el precio de la única mercancía no básica como numerario. Con (126) obtenemos la frontera buscada simplemente despejando la tasa de salario en (124):

(127)

que es una función convexa, es decir, decrecientemente creciente y con puntos de corte:

(128) y

La (127) guarda cierta analogía con la ecuación de la razón patrón de Sraffa w=(R-r)/R. Ambas curvas pueden cortarse como máximo una vez si los valores de g, fI y R son convenientemente obtenidos, puesto que (127), como hemos visto, es un curva convexa con sendos puntos de corte en ordenadas y abcisas, y la razón-patrón de Sraffa es una recta con puntos de corte en w(r=0)=1 y r(w=0)=g. Es precisamente que ambas curvas toquen el eje de abcisas en el mismo punto -el g- lo que hace que sólo puedan cortarse una vez. Sin embargo, en este caso sería mejor comparar (127) con la razón-patrón esrafiana para el caso en el que las ganancias se calculen sobre todos los costes, es decir, incluidos los laborales wL. En esta caso, w=(R-r)/[(1+r)R], es decir, la razón-patrón de Sraffa se parece mucho más a (127) que antes.

El desplazamiento de los métodos de producción o de elección de técnicas que es el tema del capítulo XII de Sraffa, podemos abordarlo desde la función (124) precios de productos no básicos-tasa de ganancia o desde la ecuación (127) frontera salario-ganancia. El resultado es el mismo. Desde la función precio-ganancia se plantea el problema de dos técnicas representadas por dos funciones tipo (124), pero con diferentes tasas de ganancia máxima gm y con diferente función técnica f=LX-1Yb , lo que dará lugar a diferentes precios de la mercancía no básica. El punto de corte será aquel al que se igualen los precios. Veamos estos con las ecuaciones:

(129)

(130)

Al igualar pa1 con pa2 y resolver (129) y (130) se obtiene la tasa de ganancia:

(131)

La ecuación (131) nos daría el punto de corte propicio para el cambio de técnicas, donde, al mismo precio, hay dos sendas que puede seguir el empresario o gestor para maximizar su ganancia; y de haber n técnicas diferentes puede haber hasta n-1 cambios posibles ventajosos. Esta es una de las grandes novedades y conclusiones del análisis esrafiano, por contraposición al análisis marginalista de maximización de funciones. En Sraffa, el gestor puede maximizar su ganancia, pero cambiando de técnica, porque las variables monetarias -precios, salarios y ganancias- se determinan simultáneamente y no como consecuencia de funciones de producción inanes a los precios. Este sólo hecho, esta sola ventaja, por sus dosis de realismo y a pesar del nivel de abstracción en el que aún nos movemos, bastaría para arrinconar los modelos marginalistas de maximización de funciones. En Sraffa, como se ve, también se apela a comportamientos de optimización pero con otros supuestos.

II - Desplazamientos de técnicas para productos básicos.

En contra de lo que afirma Sraffa, este caso es, al menos formalmente, más sencillo porque nos hemos desprendido de los bienes no básicos y las ecuaciones que van a definir el tema se simplifican. La ecuación que define el sistema será muy sraffiana:

(132)

donde todos los bienes son básicos y donde la matriz de productos finales Y puede ser diagonal (producción simple) o no diagonal (producción conjunta esrafiana), es decir, sólo con ceros para i distintos de j (simple) o con todos sus elementos no negativos (conjunta). La ecuación ahora que surge de dar valor cero a la tasa de salarios w es:

(133)

donde ahora le hemos llamado a la tasa de ganancia máxima R, que si estamos en producción simple será también la razón-patrón de Sraffa, y si estamos en producción conjunta será sólo la tasa máxima de ganancia. De (132) y (133) obtenemos, de forma análoga a como hacíamos antes con los productos no básicos, la ecuación:

(134)

que nos da la relación entre precios p y tasa de ganancia r. Más claro que antes queda que esta función es creciente; más aún, es crecientemente creciente y se hace infinita si la tasa de ganancia r aplicada por los empresarios a sus negocios se acercara a la tasa máxima R. Ahora vamos hacer los siguiente: 1) vamos a multiplicar a (134) por YI, es decir, por la matriz de productos finales y por el vector de unos de dimensión nx1; 2) vamos a tomar como numerario pYI, es decir, vamos hacer pYI=1; 3) vamos a llamar por comodidad f o función técnica, siendo f=LX-1. Hechas estas 3 cosas en (134) y despejado la tasa de salarios w, queda la ecuación que va a definir la frontera salario-ganancia de este epígrafe:

(135)

que es una función decrecientemente decreciente (con primera derivada negativa respecto a r y segunda positiva). Es decir, es una función convexa con puntos de corte w(r=0)=R/fI y r(w=0)=R. Para cambiar, vamos ahora a partir de la frontera salario-ganancia definida en (135) en lugar de hacerlo con la relación precios-tasa de ganancia que hemos hecho en el epígrafe anterior. Los resultados son exactamente los mismos, pero en este caso las maniobras algebraicas son más sencillas. Dos técnicas diferentes se notarán en (135) porque la tasa máxima de ganancia R y la función técnica f serán diferentes. Ello dará lugar, en general, a tasas de salario w diferentes para una misma tasa de ganancia g. Los puntos de corte, por tanto, al igual que ocurría en el caso de los productos no básicos, se darán cuando se igualen las tasas de salario. Veamos las dos ecuaciones:

(136)

(137)

El resultado de igualar (136) y (137) y despejar la tasa de ganancia r es:

(138)

Con 2 técnicas podrá haber como máximo 2 puntos de corte , pero también puede haber uno o ninguno. Con varias técnicas las cosas se complican extraordinariamente. El empresario o gestor se tendrá la oportunidad de conducirse por una senda (un proceso técnico) hasta que encuentre otro que, para la misma tasa de salarios, obtenga una mayor tasa de ganancia. En el punto de cruce será crucial su decisión, porque será el único momento (si las funciones se cortan un vez) que ambos procesos productivos le serán indiferentes si sólo valora los salarios y las ganancias, porque en ese momento serán iguales para ambos. En ese momento, si no se equivoca, tendrá la posibilidad de elegir un proceso que le reportará más ganancias con los mismos costes salariales . Y sin embargo, nada asegura que aproveche la oportunidad.

III - Elección de técnicas para producción conjunta, con bienes no básicos y con tasas de salario y de ganancia múltiples.

Este es el caso más complejo que podemos tratar sin salirlos del espíritu de la obra de Sraffa y que el economista italiano nunca formuló. No suele ser objeto de tratamiento las posibles generalizaciones del modelo de Sraffa porque se piensa que las conclusiones a las que se llegaría son las mismas que las que se obtienen bajo hipótesis más sencillas que ya hemos visto. Ocurre lo mismo con las funciones marginalistas de producción. Pero a veces la generalización y su consiguiente agregación depara ingratas sorpresas, como es el caso del equilibrio parcial marshaliano, el caso del equilibrio general, que ambos sortearon sin darse cuenta las paradojas de la agregación; la teoría de los juegos a partir del dilema del prisionero, o el teorema de la imposibilidad de Arrow. Hay que adelantar que, en efecto, desde un punto de vista conceptual, nada aporta al modelo, pero en cambio, al acercarnos a la realidad cobra más realismo la posibilidad de contrastar sus conclusiones o, al menos, de construir modelos que, sin dejar de ser explicativos, es decir, teóricos, se hacen más realistas. También alguna posibilidad más que se verá en el siguiente epígrafe. La ecuación que definiría el sistema con las consideraciones del título de este epígrafe sería:

(139)

donde el número de bienes no básicos s se han obtenido de n sectores; donde los salarios están definidos por la matriz diagonal W, es decir, donde hay n salarios diferentes (tantos como sectores); donde la matriz de medios X consta, como es habitual, de igual números de medios que de sectores n, y donde la tasa de ganancia G es también una matriz diagonal con n tasas diferentes, al igual que los salarios. Los precios pa, y p quedan definidos en función de los productos y medios. Si ahora se hacen cero todas las tasas de salario W se obtiene, como es habitual, la ecuación que hace máxima la ganancia Gm, con la salvedad que ahora Gm será también una matriz diagonal con n tasas máximas de ganancia diferentes posibles.

(140)

Ahora, de las ecuaciones (139) y (140), se obtiene la función de precios px de los medios de producción:

(141)

y sustituyendo (141) en (140) se eliminan los precios de los medios p y se obtienen los precios de los productos no básicos Pa:

(142)

Parece difícil llegar a una frontera de salario-ganancia dado que tenemos en este caso múltiples salarios y múltiples tasas de salario, pero casi todo tiene solución. Para este fin vamos a tomar como numerario el lado izquierdo completo de (140) haciendo:

(143)

y también ¡el lado derecho de la ecuación! (142) con:

(144)

Pero ahí no queda la cosa, porque vamos a llamar wm la tasa media de salarios que va a satisfacer la ecuación:

(145)

Esta tasa media se calculará con la condición (145), despejando simplemente wm porque los dos miembros de la ecuación son ahora un escalar. Ahora se obtiene:

(146)

Para ver el punto de corte en el eje de ordenadas, es decir, el valor de la tasa media de salario wm para gij=0 para todos los i y j, quizá sea más fácil la expresión aritmética de (146):

(147)

La frontera salario-ganancia se obtiene de (145):

(148)

Hemos dado (147), que es la misma que (148), porque nos permite ver mejor el punto de corte del salario medio wm cuando los tipos de salario (todos absolutamente) se hacen cero. En efecto, para gij=0 para todo i=1 a n y j=1 a n, sale el punto de corte:

(149)

Lo notable de (147) y (148) es que la distribución entre salarios y tasas de ganancia no depende directamente ni de los precios ni de los valores físicos de medios y productos finales, acorde con la idea esrafiana de encontrar una medida de la distribución que no dependiera de los precios; indirectamente sí depende la distribución de medios y productos finales a través de las tasas de ganancia máxima gmij. En todo caso, gmij no depende de los precios. Más notable aún es que (147) y (148) nos dan una aproximación a la planificación, dados los medios y productos finales, como vemos a continuación.


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