1. El modelo de Solow

Se considera una función de producción del tipo Cobb-Douglas:

1.

En donde Y es la producción, K capital, L trabajo y A el nivel de tecnología. Además en el modelo de Solow las tasas de: ahorro, crecimiento de la población y progreso tecnológico son exógenas. Hay dos insumos: capital y trabajo, los cuales pagan marginalmente sus productos.

L y A crecen exógenamente a tasas: n y g respectivamente.

2.

3.

El número efectivo de unidades de trabajo, AtLt, crece a una tasa n+g.

El modelo asume que una fracción constante de la producción s, es invertida. Definiendo “k” como el stock de capital por unidad de trabajo efectivo, k=K/AL y “y” como el nivel de producción por unidad de trabajo efectivo y=Y/AL, la evolución de “k” se rige por:

4.

Donde δ es la tasa de depreciación. La ecuación 4 implica que k converge para un estado estacionario valorado k* y definido por , o:

5.

En el estado estacionario, la tasa de capital-trabajo está relacionada positivamente con la tasa de ahorro y negativamente con la tasa de crecimiento de la población. En este sentido, la predicción central del modelo de Solow se preocupa por el impacto del ahorro y el crecimiento de la población en el crecimiento del ingreso real. Sustituyendo (5) en la función de producción, nosotros encontramos que el ingreso per cápita en el estado estacionario es:

6.

Porque el modelo asume que los factores son pagados por su producto marginal, esto no solo predice los signos sino también las magnitudes de los coeficientes de ahorro y crecimiento de la población. Específicamente porque la cuota del capital en ingresos (α) es aproximadamente una tercera parte, el modelo implica una elasticidad del ingreso per cápita con respecto a la tasa de ahorro de aproximadamente 0.5 y una elasticidad con respecto a (n+g+δ) de aproximadamente -0.5.

1.1 Especificación

La pregunta natural a considerar es si los datos soportan las predicciones del modelo de Solow. En otras palabras, se pretende investigar si el ingreso real es más alto en los países con mayor tasa de ahorro y más bajo en los países con mayores niveles de (n+g+δ).

Se asume que g y δ son constantes en los países. Además g refleja primeramente el adelanto de conocimiento, el cual no está especificado en los países. Asimismo no hay ninguna fuerte razón para esperar que la tasa de depreciación varíe mucho en los países, ni hay ningún dato que pueda permitirnos estimar la tasa de depreciación. Por otra parte, el término A(0) no refleja únicamente la tecnología, sino también las dotaciones de recursos, el clima, las instituciones y todo eso. Esto podría por lo tanto diferir en los países. Se asume que:

Donde es una constante y es un choque entre los países. Así el registro de ingreso per cápita en un tiempo dado-tiempo 0 para simplificar- es:

7.

La ecuación 7 es la especificación básica en esta sección.

Se asume que las tasas de ahorro y crecimiento poblacional son factores independientes entre los países desplazando la función de producción. Además se asume que s y n son independientes de . Esto suposición implica que se puede estimar la ecuación 7 con mínimos cuadrados ordinarios (MCO) .

Hay tres razones para hacer esta suposición de independencia. Primero, esta suposición se hace no solamente en el modelo de Solow, sino también en cada modelo estándar de crecimiento económico. Además en los modelo en donde el ahorro y el crecimiento de la población son endógenas, pero las preferencias son inelásticas, s y n no son afectadas por . En otras palabras, bajo la utilidad inelástica, permanentes diferencias en el nivel de tecnología no afectan a las tasas de ahorro ni de crecimiento de la población.

Segundo, muchos trabajos teóricos recientes de crecimiento han sido motivados por la exanimación informal de las relaciones entre el ahorro, el crecimiento de la población y el ingreso. Muchos economistas tienen la certeza de que el modelo de Solow no puede explicar las diferencias internacionales de ingreso y esto presunta el fracaso del modelo de Solow, estimulando el trabajo de las teorías de crecimiento endógeno.

Tercero, porque el modelo predice no solo los signos si no también las magnitudes de los coeficientes del ahorro y crecimiento de la población, se puede calcular si hay una importante favoritismo en las estimaciones obtenidas con MCO. Como se describe abajo, los datos en factor implican por una parte que, si el modelo es correcto, las elasticidades de Y/L con respecto a s y n+g+δ son aproximadamente 0.5 y -0.5. Si el MCO proporciona coeficientes que son sustancialmente diferentes de estos valores, entonces se puede rechazar el conjunto de hipótesis del modelo de Solow y el indefinido aumento es correcto.

Usando una analogía aproximada para “contabilizar el crecimiento” se puede computar la fracción de la varianza en el nivel de vida que es explicado por la identificación mecánica del modelo de Solow. En la práctica, porque no tenemos las exactas estimaciones de unas partes del factor, no se enfatiza esta aproximación de la contabilidad del crecimiento. Por lo que se prefiere estimar la ecuación 7 por MCO. La forma de esta regresión muestra el resultado de una contabilidad del crecimiento con la estimación del valor de α. Si esta estimación α difiere del valor obtenido a priori de los factores compartidos, se puede comparar la forma de estimación de la regresión con la forma de obtención por imposición del valor a priori.

1.2 Datos y muestra

Los datos son del “Real National Accounts” construidos por Summers y Heston (1988). El conjunto de datos incluye el ingreso real, consumo público y privado, inversión y población de casi todo el mundo. Los datos son anuales y abarcan el período 1960-1985. Se asume n como la tasa media de crecimiento de la clase trabajadora de la población, donde la edad para trabajar es entre 15 a 64 años. Se asume como s la media de la inversión real (incluyendo la pública) en el PIB real y Y/L como el PIB real en 1985 dividido por la población económicamente activa (PEA) en ese año.

Se consideran tres muestras de países. La más completa se compone de todos los países para los cuales se dispone de datos que no sean aquellos para los que la producción de petróleo es la industria dominante . Esta muestra se compone de 98 países. Excluimos los productores de petróleo porque la mayor parte del PIB de estos países representa la extracción de los recursos existentes y no el valor añadido .

La segunda muestra excluye a los países cuyos datos reciben una calificación “D” por Summers y Heston o en donde la población en 1960 era menos de un millón. Summers y Heston usan la clasificación “D” para identificar a los países cuyo ingreso real figuran en base a muy pocos datos primarios, el error medio probablemente sea un problema mayor para estos países. Se omiten los países pequeños porque la determinación real de su ingreso puede estar dominada por factores idiosincráticos. Esta muestra consiste en 75 países.

La tercera muestra consiste en los 22 países de la OCDE donde la población es mayor a un millón. Esta muestra tiene la ventaja de que los datos parecen tener un nivel uniforme de alta calidad y que la variación de omitir los factores específicos de cada país es probable pequeña. Pero también tiene una desventaja: ser pequeña, y esto descarta gran parte de la variación en las variables de interés.

En el apéndice se puede ver los datos de cada muestra.

1.3 Resultados

Se estima la ecuación 7, con y sin imponer la restricción de que los coeficientes de ln (s) y ln (n+g+δ) son iguales en magnitud y de signo contrario. Suponemos que g + δ es de 0,05; cambios razonables en este supuesto tienen poco efecto sobre las estimaciones . Cuadros I informa de los resultados.

Tres aspectos básicos de los resultados del modelo de Solow. Primero, los coeficientes de ahorro y crecimiento de la población tienen los signos predichos y, para dos de las tres muestras, son altamente significativos. Segundo, la restricción de que los coeficientes en ln(s) y ln(n+g+δ) son igual en magnitud y el signo opuesto no es rechazado en ninguna de las muestras. Tercero, en y quizás el más importante, diferencias en el ahorro y el crecimiento demográfico describe una larga facción de la variación en el ingreso per cápita entre los países. En esta regresión para una muestra intermedia, por ejemplo, el ajuste R2 es 0.59. En contraste con lo común afirmado por el modelo de Solow “explica” la variación en la productividad del trabajo largamente por lo que apela a las variaciones tecnológicas, dos variables observables en este modelo de Solow se focalizan en el hecho de describir las variaciones en el ingreso per cápita.

No obstante, el modelo no es completamente exitoso. En particular la estimación del impacto del ahorro y del crecimiento de la fuerza de trabajo es mucho a lo que predice el modelo. El valor de α implica que los coeficientes podrían ser igual a una parte del ingreso, en aproximadamente un tercio. Esta estimación, sin embargo, implica que α es mucho mayor. Por ejemplo, el α implícita por el coeficiente de la regresión restringida para la muestra intermedia es de 0.59 (con un grado de error estándar de 0.02) así los datos rotundamente contradicen la predicción del modelo, en donde α= 1/3.

Porque la estimación implica que dicha cuota de capital es alta, esto es inapropiado concluirlo pues es el modelo de Solow es exitoso solo porque la regresión en la tabla I se puede explicar una alta fracción de la variación en el ingreso. Para la muestra intermedia, por ejemplo, cuando empleamos el "crecimiento contable" enfoque descrito anteriormente y restringir los coeficientes de ser coherentes con un α de un tercio, el R2 ajustado cae 0,59 hasta 0,28. Aunque el excelente ajuste de las regresiones simples en el cuadro I se prometedor para la teoría del crecimiento en general-que implica que las teorías basadas en variables fácilmente observables pueden dar cuenta de la mayor parte de la variación en la renta real entre países.