BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

MANUAL INTRODUCTORIO A LAS TEORÍAS DEL CRECIMIENTO ECONÓMICO

Germán Chavarría y otros




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B. Desarrollo

1. El modelo de Solow

El modelo a examinar gira en torno a cuatro variables: la producción (Y), la tecnología (A), el capital (K) y el trabajo (L). La economía cuenta con una cierta dotación de estos factores.

En la función anterior el tiempo no aparece directamente , sino que lo hace a través de sus variables, lo que quiere decir que el nivel de producción varía en el tiempo sólo si lo hace a través de los factores que lo determinan (Romer, D. 2006)

Es importante observar que el progreso técnico y el trabajo aparecen en forma de producto. AL se denomina trabajo efectivo, y el progreso técnico en este caso es incorporado a la función de forma neutral en el sentido de Harrod . Esta manera de trabajar con la función de producción junto con los supuestos del modelo , implican que la relación capital-producto, (K/Y), se estabiliza en el largo plazo .

Fuente: Jones, Hywell (1988)

El modelo utiliza una función de producción que exhibe rendimientos constantes a escala en sus dos factores: capital y trabajo efectivo , y decreciente en cada uno. Esto significa que si duplicamos la cantidad de capital y trabajo efectivo, el nivel de producción también se duplicará. Es decir, si multiplicamos los factores productivos por una constante “c”, el nivel de producción también se multiplicará por dicha constante.

Para todo

Por otra parte, se dice que la función es decreciente en cada factor ya que una unidad adicional de K o L, manteniendo todo lo demás constante, aportará menos a la producción que la unidad precedente.

El supuesto de rendimientos constantes a escala permite operar con una función en forma intensiva , es decir, cada coeficiente es dividido por AL, que se refiere a trabajo efectivo (trabajo multiplicado por tecnología)

Por lo tanto:

Esta función de producción debe cumplir ciertos requisitos para representar correctamente los ya antes mencionados, rendimientos constante a escala.

Como se aprecia la función de producción de forma intensiva satisface las condiciones de Inadas. Dichas condiciones son: la primera derivada de la función debe ser positiva.

Como se observa, entre mayor es el capital por unidad de trabajo efectivo, menor es su producto marginal, (o primera derivada)

La segunda derivada debe ser negativa (f´´(k)<0). Esto significa que la función de producción es cócava hacia abajo, por tanto después de un cierto punto el aumento de k causará decrementos en f(k) y el punto en el que se maximice la producción será en el que la primera derivada sea igual a 0 (f´(k)=0).

Adicionalmente la función de producción muestra las condiciones dinadas: . La primera condición significa que a medida en que k se acerca a 0 la pendiente tiende al infinto (la pendiente se vuelve vertical), esto se observa en el punto A del gráfico anterior. Asimismo, la segunda condición significa que a medida en que k se acerca al infinito, la pendiente se vuelve 0, esto ultimo lo representa el punto B en el gráfico anterior.

La funcion de produccion cobb-douglas cumple todas las condiciones necesarias (todas las antes expuestas en los gráficos respecto a las derivadas), por tanto será correctamente utilizada ya que dichas condiciones nos dice que a medida de que el capital tiende a 0, su productividad marginal tiende al infinito, mientras que cuando el capital se hace más grande, su productividad marginal tiende a 0, y esto es posible gracias a la concavidad que antes mostramos que posee la gráfica.

Las condiciones de Inada junto con los supuestos del modelo, garantizan que la evolución de la economía no sea divergente en los países, ya que la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo no crece indefinidamente sino que al llegar al momento en que su productividad es cero deja de crecer.

Además puesto que como nos indica uno de los supuesto; la productividad marginal de cada factor es igual a su remuneración, y dada la ley de la oferta y la demanda; en países donde existe abundancia de capital su productividad marginal, y por tanto su remuneración, es baja, mientras en países en donde existe poco capital ocurre lo contrario, por lo que el capital tiende a irse a donde más remuneración obtienes, es decir a los países pobres ; esto garantiza la no divergencia entre los países.

Entonces, ya hemos demostrado que la función Cobb Douglas, cumple con todas las condiciones necesarias y suficientes para poder ser utilizada en este modelo.

Con el objetivo defacilitar los procedimientos dividimos entre las unidades de trabajo efectivo (AL) la función de producción, para obtener que la produción por unidad de trabajo efectivo depende del capital por trabajo efectivo.

En donde ; y

El trabajo y el tecnología crecen a tasas de crecimiento constantes y exógenas (n y g respectivamente), es decir no se determinan en el modelo.

En donde denota la derivada de L respecto al tiempo o variación en el tiempo, que al ser dicidida entre ella misma (L) da como resultado la tasa de crecimiento de L. Ocurre lo mismo con .

Además la tasa de crecimiento de una variable es igual a la tasa de crecimiento de su logaritmo natural . Es por ello que si en 2 y 3 se toman ogaritmos naturales y se derivan con respecto al tiempo nos queda igual a n y g respectivamente.

Por otra parte, la proporción del consumo destinada a la inversion, s, es exogena y constante. Además: Horro=Inversión.

(a)

Una unidad de ahorro genera una unidad de inversión, ademas existe depreciación a una tasa δ. Por lo que la inversión neta en cada periodo o la derivada de K respecto al tiempo es igual a la inversion (o ahorro en el periodo actual) menos la depreciación del acervo de capital.

(b)

Las empresas necesitan maximizar sus beneficios, esto se logra cuando la variación en el tiempo (o derivada con respecto al tiempo), es igula a 0. Para llegar a este punto primero tenemos que plantear que el capital por unidad de trabajo efectivo es igual a:

A continuación se debe igualar a 0. Para derivar (c) se aplica la regla de la cadena . Es decir sustituir el producto del denominador (AL) por una U . Es decir la ecuación (c) queda:

Aplicando la regla de la cadena:

(d)

(e)

Sustituyendo (e) en (d):

Aplicando lo expuesto en (2) y (3) :

Sustituyendo las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación anterior:

Finalmente, recordando que: ,

En el estado estacionario , por lo que igualando la ecuación (4) a 0:

Despejando y eliminado términos:

Para llegar a la funcion a estimar debemos utilizar los datos observados en la realidad, los cuales no se encuentran en unidades por trabajo efectivo, es por ello que com vertiremos la ecuacion para que quede en unidades per capita. Para ello dividimos la funcion de produccion entre el trabajo.

Sustituyendo la ecuacion 5 en la ecuación anterior obtenemos:

Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación anterior obtenemos:

Tomando logaritmos obtenemos:

Recuérdese que el término A(0) no refleja únicamente la tecnología, sino también las dotaciones de recursos, el clima, las instituciones, etc. Esto podría por lo tanto diferir en los países. Se asume que:

Donde es una constante y es un choque entre los países. Así el registro de ingreso per cápita en un tiempo dado-tiempo 0 para simplificar- es:


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