A.1.2 Tasa de crecimiento

En la literatura de crecimiento es muy utilizada esta tasa, para expresar el cambio porcentual.

En este texto para simplificaciones matemáticas consideraremos a la tasa de crecimiento como la derivada entre su valor inicial , y no usaremos la expresión de cambio porcentual.

Donde usaremos la representación de , para referirnos a , lo que dividiendo entre nos da que representa a la tasa de crecimiento de .

Ejemplo su pongamos que , esta expresión nos quiere decir que la fuerza laboral esta creciendo al 2% en este país anualmente.

A.1.3 Tasa de crecimiento natural

Es muy usada para hallar la tasa de crecimiento, generalmente cuando tenemos una expresión como se muestra a continuación.

Si entonces aplicando logaritmo natural a la expresión .

Si aplicando logaritmo natural a la expresión .

Como vemos aplicando logaritmo natural a la expresión de un producto, una suma o división nos ayuda a obtener la tasa de crecimiento de la variable a analizar en forma sencilla.

A.2 Optimización Dinámica: Teoría de control óptimo

La optimización dinámica tiene sus orígenes en el cálculo de variación, la teoría clásica de control y la programación lineal y no lineal (Bryson (1999)).

El cálculo de variación surgió en el siglo XVIII y recibió en los tratados de Euler (1707-1783) y de Lagrange (1736-1813).

En 1755 Lagrange comunico a Euler el método general analítico, creado por él, en el que introdujo la variable de una función y donde extiende a las variaciones de la regla de cálculo diferencial (Cerda, Emilio (2001) “Optimización Dinámica” pág.:7, editorial: Pearson Educación, S.A. Madrid)

En economía los métodos dinámicos se comenzaron a utilizar en los años cincuenta y sesenta del siglo XX con Hotelling y Ramsey.

Hay que mencionar que existen dos métodos para solucionar problemas dinámicos. El primero fue desarrollado por Richard Bellman (1957), y es muy usado en la solución de problemas estocásticos. El segundo se debe al matemático ruso L.Pontryagin (1962) que se basa en el método del hamiltoniano y este método es el que se a usado para solucionar los problemas a lo largo de este texto y que pasaremos a explicar.

Supongamos que un agente económico tiene que escoger o controlar un conjunto de variables en un tiempo, llamadas variables de control. Para esto el agente quiere maximizar una función objetivo sujeta a una serie de restricciones dinámicas que describen la evolución del estado de la economía, que esta representado por variables de estado.

Esta dado

Donde

: Valor de la función objetivo en el instante inicial.

: Tasa de descuento que se aplica en el último momento.

: Momento final.

: Variable de estado.

: Variable de control.

1º. Identificar las variables de control y estado, como sabemos las variables de control son las que no aparecen con el puntito, al contrario de las variables de estado que aparecen con un puntito encima de la variable.

2º. Plantear el hamiltoniano, donde es la suma de la función objetivo instantánea más un precio implícito o multiplicador de Lagrange multiplicado por la restricción que no tiene el puntito.

3º. Tomando la derivada con respecto a la variable de estado e igualando al negativo del multiplicador con respecto al tiempo.

4º. Se multiplica a la variable de estado por el precio implícito en el momento terminal y se iguala a cero, a esta condición se llama la condición de transversalidad.

Si el horizonte temporal fuese infinito la condición será:

En el caso que la función objetivo no tenga tasa de descuento la condición será:

A.3 Caso de múltiples variables

Es el caso mas general donde existen múltiple variables de control y múltiples variables de estado representados por la generalización del control óptimo.

Suponga un modelo con muchas variables, supongamos variables de control y variables de estado .

Están dadas

La solución de este problema con una variable de control y de estado.

1º Identificar las variables de control y de estado.

Las variables de estado son las que aparecen con el puntito encima de la variable en la [s.a], las variables de control son las que no aparecen con el puntito.

2º Se plantea la función Hamiltoniano como la suma de la función objetivo instantánea más un multiplicado de Lagrange por cada restricción multiplicado por la ecuación que no aparece en el puntito.

3º Se deriva el hamiltoniano con respecto a cada una de las variables de control y se iguala a cero.

4º Se deriva el hamiltoniano con respecto a cada una de las variables de estado y se iguala al negativo de la derivada del multiplicado.

5º Se multiplica las variables de estado en el momento terminal, por su multiplicador con el mismo momento y se iguala acero, a esta condición se llama la condición de transversalidad.