BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

CRECIMIENTO ECONÓMICO

Cesar Antunez Irgoin




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6.10.4 Planteamiento del problema

Lucas asume que las familias productoras tienen la siguiente utilidad, la misma que maximizan.

Luego el planteamiento del problema será, que las familias productoras va elegir, aquella trayectoria de consumo y aquella fracción que le permite maximizar su fracción de bienestar a través del tiempo y sujeto a las condiciones de movimiento de la condición inicial.

(Función objetivo)

(Estado inicial de capital físico y humano)

Donde

Planteamiento de la función Hamiltoniana tenemos:

H

H

Condición de Primer Orden (CIO)

a) Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de las variables de control e imponiendo la condición igual a cero.

b) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a las variables de estado e imponiendo las condiciones del negativo de la derivada de los multiplicadores con respecto al tiempo.

c) Tomando la derivada con respecto al multiplicadores lagrangiano tenemos:

Condición de Segundo Orden (CIIO)

<0 x 0<

Esta condición nos asegura un máximo.

<0 x 0<

Condición de Transversalidad

Esto quiere decir que (el precio implícito de capital en el periodo final) o que (el stock de capital en el momento que muere).

 Reemplazando ( ) en (V) tenemos:

Operando y simplificando obtenemos

 De la ecuación (I) aplicaremos logaritmo

 Tomando la derivada con respecto al tiempo y multiplicando por -1 a la ecuación ( )

Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X) y despejando la tasa de crecimiento del consumo

Esta ecuación de la tasa de crecimiento del consumo nos quiere decir, que la tasa de crecimiento del consumo depende del producto marginal del capital físico menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal entre la utilidad marginal del consumo.

Como se aprecia en la ecuación donde el producto marginal de capital físico depende del capital humano y de la fracción que utiliza el sector final.

 Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X)

Operando tenemos:

Lucas nos dice que en el estado proporcionado todas las variables crecen a la misma tasa constante. Y sabemos que la tasa de crecimiento de u debe ser cero por que es una fracción.

 Tomando logaritmo a la ecuación (XI)

Derivando con respecto al tiempo a la ecuación anterior obtenemos:

0 =

Esto demuestra que la tasa de crecimiento del capital físico es igual a la tasa de crecimiento del capital humano.

 Dividiendo entre a la ecuación de movimiento de capital físico

Aplicando logaritmo a la ecuación anterior

Como en el estado de crecimiento proporcionado las tasa de crecimiento son constantes. Derivando a la ecuación anterior por el tiempo

Esto demuestra que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital físico.

 De la función de producción intensiva del bien final se tiene:

Aplicando logaritmo a la función intensiva de bienes finales

Aplicando una derivada temporal a la expresión anterior

Recordemos que en el estado de crecimiento proporcionado y , reemplazando en la expresión anterior tenemos:

Esto demuestra que la tasa de crecimiento del producto es igual a la tasa de crecimiento del capital humano.

Por lo que Lucas llego a la conclusión que todas las tasa de crecimiento son iguales y constante.

 De la condición de primer orden (ecuación (II)) multiplicando por

En el estado de crecimiento proporcionado, la tasa de crecimiento de t u debe ser cero por que es una fracción.

Derivado con respecto al tiempo y recortado que el estado de crecimiento proporcionado todas las variables crece a un ritmo constante.

 Como se demostró que , igualando la ecuación (IV) con la ecuación (X)

 Igualando la ecuación (X) con la ecuación (IV)

Operando se obtiene:

Se asume competencia perfecta en los mercados de bienes y factores

 Del mercado de capital físico se tiene:

Reemplazando el producto marginal del capital físico en la expresión de la tasa de crecimiento del consumo se tiene:

, la regla de Ramsey – Keynes

La regla de Keynes-Ramsey, nos quiere decir que, a lo largo de la senda optima pequeñas modificaciones en el consumo que impliquen un ahorro hoy para una mejora en el futuro no conllevan aumento de bienestar social, por otra parte los rendimientos decrecientes a escala del capital hacen que cualquier posible aumento en el crecimiento en el corto plazo, obtenido por alguna política de ahorro e inversión desaparezca en el largo plazo (Blanchard y Fischer 1898).

6.11 Modelo de Aprendizaje y Derrame de conocimiento

Uno de los pioneros de los nuevos modelos de crecimiento endógeno, Paul Romer (1990), plante que el conocimiento es el resultado de la inversión, el objetivo consiste en proporcionar un marco teórico que explique y permita modelar, de manera mas adecua da, el tipo de cambio tecnológico al que se enfrentan las economías en la actualidad en donde el elemento desconocimiento es fundamental.

Por el contrario, el modelo de Romer es un modelo de generaciones de capital. Los nuevos bienes de capital son inventados en cada periodo, pero el capital nuevo no es mejor que el anterior. Es simplemente diferente y amplio el menú de aportaciones disponibles, lo que se supone que hace más eficaz la producción. De esta forma el capital no se hace obsoleto cuando envejece –una consecuencia que niega el hecho obvio de que las viejas tecnologías son continuamente sustituidas por otras nuevas.

Romer (1989), destaca que el grado en que un bien económico es excluyente y rival, son atributos fundamentales, ya sea para su uso en la producción o el consumo. Existen algunos bienes intangibles como los diseños, que frecuénteme solo son parcialmente excluibles, en el sentido de que un mismo diseño puede ser utilizado simultáneamente en muchos procesos productivos. El alcance de rivalidad de un bien esta totalmente determinado por la tecnología y por las instituciones de una economía particular, así si un bien es no rival, excluir su uso requiere de cualquier medio tecnológico para prevenir acceso al bien o un sistema legal que evite que otros puedan usar el insumo aunque tecnológicamente sea posible usarlo.


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