6.11.3 Planteamiento del problema

Romer asume que las familias maximizan su bienestar social, con una función de utilidad agregada de la siguiente forma:

Luego las familias productoras eligen aquella trayectoria de crecimiento del consumo por trabajador, de tal manera que le permite maximizar en un horizonte temporal de muy largo plazo sujeta a las ecuaciones de movimiento y a las condiciones iniciales

(Función objetivo)

(Ecuación de Movimiento)

(Estado inicial)

Donde

Variable de estado:

Variable de control:

Variable de coestado:

Para solucionar el problema de maximización plantearemos el Hamiltoniano de la función

Condición de Primer Orden (CIO)

a. Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero.

b. Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la condición del negativo de la derivada del multiplicado con respecto al tiempo.

c. Tomando la derivada con respecto al multiplicador lagrangiano tenemos:

Condición de Segundo Orden (CIIO)

<0 x 0<

Esta condición nos asegura un consumo máximo

Condición de Transversalidad

Esto quiere decir que (el precio implícito de capital en el periodo final) o que (el stock de capital en el momento que muere).

Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:

Aplicando la derivada temporal a la ecuación y multiplicando por -1 a toda la ecuación

Igualando la ecuación (II) y (IV)

Operando y despejando:

Sabemos que:

Donde

: Tasa de rendimiento bruto de capital.

: Tasa de rendimiento del capital

: Representa la elasticidad de la utilidad marginal del consumo.

Reemplazando estas tres condiciones en la tasa de consumo (ecuación V)

, la proposición de Ramsey – Keynes

Supongamos que la tasa de interés es constante y examinamos las trayectorias óptimas de consumo, en tres casos que se muestran a continuación:

Caso I

En este caso la tasa de crecimiento de consumo es positiva, entonces consumo aumenta cada momento del nivel inicial de .

Caso II

La tasa de crecimiento de consumo es cero, entonces consumo es constante, igual a su nivel inicial para siempre.

Caso III

En este caso, la tasa de interés no es suficiente por lo que la persona decide que su preferencia de consumir ahora, es decir .

Todos estos casos se pueden apreciar en el gráfico [6.31], donde la tasa de interés de capital, es mayor, menor e igual a la tasa de descuento.

 Romer asume que la externalidad va ser el conocimiento y esta va ser igual al stock de capital.

Reemplazando la externalidad asumida por Romer en la función de producción agregada del modelo

Dividiendo la ecuación anterior entre el numero de trabajadores

Pero sabemos que

Reemplazando ( ) en ( )

Ecuación Dinámica fundamental

De la condición de equilibrio macroeconómico

Sabemos que

Reemplazando ( ) en ( )

En este modelo existe un efecto escala, que quiere decir que la tasa de cambio del producto por trabajador depende directamente del crecimiento de la población

Al respecto Romer asume:

o Que la población se mantiene constante ósea

o Que la tasa de crecimiento de la población es nula .

Al reemplazar los supuestos anteriores en la ecuación dinámica, llegamos a la conclusión que se trata de una extensión de los modelo AK, donde no existe tasa de crecimiento proporcionado, sino tasa de crecimiento y progresivo, y esto por que la curva de ahorro y depreciación no se curtan en una punto, por ende el capital por trabajador queda indeterminado en la economía.

Reemplazando , en la función de producción intensiva obtenemos: tendrá la forma de una recta con pendiente positiva como se puede apreciar en el grafico [6.31], donde se grafica la curva de ahorro bruto por trabajador y la curva ampliada bruta por trabajador .

Versión de Barro

Dividiendo la ecuación dinámica fundamental, entre la cantidad de trabajadores, obtenemos la tasa de crecimiento por trabajador:

En el estado de crecimiento proporcionado;

Si entonces , esto nos quiere decir que la tasa de ahorro supera curva de depreciación como muestra el grafico [6.32], donde se aprecia que no existe un capital por trabajador y esto debido por que las curvas antes mencionadas no se cruzan en ningún punto y con esto queda indeterminado el capital por trabajador.