6.6.2 Planteamiento del problema

(Función Objetivo)

(Ecuación de movimiento)

a. Comenzaremos a aplicar el método del Hamiltoniano.

Donde

: Variable de estado.
: Variable de control.
: Variable de coestado.

b. Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de la variable de control e imponiendo la condición igual a cero.

c. Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la condición del negativo de la derivada del multiplicado con respecto al tiempo.

d. Tomando la derivada con respecto al multiplicador lagrangiano

Condición de Segundo Orden (CIIO)

Esto quiere decir que (el precio implícito de capital en el periodo final) o que (el stock de capital en el momento que muere).

Condición de Transversalidad

Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:

Multiplicando por -1 a la ecuación y tomando la derivada temporal a la ecuación anterior

Igualando la ecuación (II) y (IV)

Despejando tenemos:

, la proposición de Barro – Ramsey

Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

Del largo plazo, donde el gasto tiene que equilibrarse tenemos:

Reemplazando la ecuación ( ) en la proposición de Barro-Ramsey

Podemos apreciar que los valores de esta ecuación están dados, por lo que la tasa es constante.

En el estado de crecimiento proporcionado la tasa de consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital .

6.6.3 Tipología

Para analizar el tamaño del estado y de la tasa impositiva, debemos ver los casos cuando existe tributación, cuando no existen impuesto y el caso intermedio.

Caso I: (cuando la tasa marginal de tributación es nula)

Si reemplazamos en la ecuación ( ) que representa la tas de crecimiento de la economía se tendrá una tasa de crecimiento negativa y con esto el estado no puede proporcionad bienes públicos.

Si entonces

La tasa de crecimiento por trabajador será negativa

Caso II: (cuando la tasa marginal de tributación es del cien por ciento)

Cuando el estado se lleva todas las ganancias las empresas no se ven incentivadas a producir y con esto se obtiene nuevamente una tasa de crecimiento negativa.

Si entonces

Esto implica que se obtendrá una tasa de crecimiento de capital por trabajador negativa.

Caso III: (caso intermedio)

En este caso intermedio el estado va obtener ingresos fiscales y a su vez las empresas s e van a sentir incentivadas a producir. De otro lado dicha tasa de tributación , se puede financiar dicho gasto público.

Si entonces

Para ver los casos mencionados anteriormente y la tasa de tributación que maximiza la tasa de crecimiento de la economía, para esto se puede apreciar en la grafica [6.24], donde la curva tiene forma de U invertida.

Gráfico [6.24]: Relación entre y tasa de crecimiento

Para maximizar la función se puede hallar igualando a cero la derivada de la tasa de crecimiento con respecto a .

>0 =0

Por lo que el tipo impositivo que maximiza la tasa de crecimiento de la economía es .

Para la tasa de impuesto que resulta si el gobierno escoge , entonces la tasa de crecimiento sería.

6.7 Modelo Neoclásico con capital Humano

El capital humano es definido como el stock de conocimientos que es valorizado económicamente e incorporado por los individuos (calificación, estado de salud, higiene...). Esta idea de la acumulación de capital humano fue puesta en valor en 1988 por Lucas, que desarrollo en su modelo el capital humano voluntario que corresponde a una acumulación de conocimientos (schooling) y la acumulación involuntaria (learning by doing).

Al mejorar su nivel de educación y de formación cada persona aumenta el stock de capital humano de una nación y de allí contribuye al mejoramiento de la productividad de la economía nacional, es decir, la productividad privada del capital humano tiene un efecto externo positivo.

Veamos ahora que nos dice Schultz, T. (1961), “Investment in human capital”. La inversión en capital humano constituye uno de los principales elementos explicativos del crecimiento económico, siendo responsable en buena medida de la divergencia apreciada entre el crecimiento del producto y el de la cantidad de factores productivos utilizados, al originar una mejora cualitativa del factor trabajo que aumenta su capacidad productiva y genera crecimiento económico. Abundando en esta idea, la inversión en capital humano fue rápidamente incorporada.

6.7.1 Supuestos del modelo

 Sea una economía capitalista sin relación con el exterior.
 Dicha economía tiene dos sectores:
o Un sector de producción de bien final, representado con el subíndice “t”.
o Un sector educación, representado con el subíndice “E”.
 Los mercados de bienes y factores son de competencia perfecta.
 La fuerza de trabajo crece a una tasa constante y exógena:
 Existen dos tipos de capital.
 El stock de capital físico se deprecia a una tasa constante:
 El stock de capital humano se deprecia a una tasa constante:
 El ahorro se destina para la inversión del sector de producción del bien final.
 Toda la población trabaja.
 La economía produce un bien final.

Sector de producción del bien final

En este sector se considera que la tecnología utilizada por el bien final es distinta a la tecnología para la obtención del capital humano y físico. Su función de este sector se encuentra representada de la siguiente manera:

Donde

: Producto del sector de bien final en el instante “t”.
: Stock de capital físico destinado al sector de bien final en el instante “t”.
: Fuerza de trabajo destinada al sector de bien final en el instante “t”.
: Stock de capital humano destinado al sector de bien final en el instante “t”.
: Fuerza de trabajo eficaz destinada al sector de bien final.
: Elasticidad producto respecto al capital físico.
: Elasticidad producto respecto al capital humano.
: Índice de nivel de tecnología del sector de bien final.

El ahorro destinado a la acumulación de capital físico en el sector de producción del bien final, es una proporción , del producto del bien final.

Función de Producción intensiva

Para hallar esta función de producción intensiva debemos de dividir a la función de producción del bien final, entre la cantidad de trabajo eficaz:

La ecuación que se encuentra en el recuadro es la función de producción intensiva del sector del bien final.

Sea

: Producto por trabajador eficaz.
: Capital físico por trabajador eficaz.
: Capital humano por trabajador eficaz.

Nota: Las barra de las variables denotan que son variables en unidades de eficiencia.

Sector educación

Este sector de producción se encuentra representado por la siguiente función:

Donde

: Producto del sector educacional.
: Stock de capital físico destinado al sector educacional.
: Fuerza de trabajo destinada al sector educacional.
: Stock de capital humano destinado al sector educacional.
: Fuerza de trabajo eficaz destinada al sector educacional.
: Elasticidad producto respecto al capital físico.
: Elasticidad producto respecto al capital humano.
: Índice de nivel de tecnología del sector educacional.

El ahorro destina a la acumulación de capital humano en el sector educacional, es una proporción , del producto del bien final.

Función de Producción intensiva

Para hallar esta función de producción intensiva debemos de dividir a la función de producción del sector educacional, entre la cantidad de trabajo eficaz:

La ecuación que se encuentra en el recuadro es la función de producción intensiva del sector del bien final.

Sea

: Producto por trabajador eficaz en el sector educacional.
: Capital físico por trabajador eficaz en el sector educacional.
: Capital humano por trabajador eficaz en el sector educacional.