2.4 Modelo de Solow – Swan

El modelo de crecimiento con función Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swan de manera separada en 1956. Este modelo hace referencia a los supuestos, de ecuaciones fundamental, al examen de cómo se alcanza el equilibrio.

Todavía en esta parte se supone que no existe progreso tecnológico en el siguiente Capítulo de este libro (III), veremos como influye la tecnología en el crecimiento de producción de un país.

2.4.1 Supuestos del modelo

A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos particulares:

 Utiliza una función de producción Cobb-Douglas.

 El stock de capital se deprecia a una tasa constate exógena:

2.4.2 Función de Producción agregada (FPA)

La función de producción neoclásica, es homogénea de grado uno o linealmente homogénea, con rendimientos constantes a escala y, además, con rendimientos marginales de cada uno de los factores, positivos y decrecientes.

con:

Rendimientos de escala constante.

s.a:

Rendimientos decrecientes.

Donde:

: Índice de Nivel de tecnología .

: Elasticidad del producto respecto al capital.

: Producción agregada en el instante “t”.

: Stock de capital agregado en el instante “t”.

: Fuerza de trabajo agregada.

Si multiplicado a la ecuación ( ) por , comprobaremos que la función es homogénea de grado uno.

Por lo tanto queda comprobado que a función es homogénea de grado uno.

Esta función también puede ser rescrita con la función de producción intensiva (FPI), de la siguiente forma:

Dividiendo a la ecuación ( ), entre

• La productivaza marginal de capita ( ) es positiva.

• La función es cóncava (por que la segunda derivada es negativa).

• Satisface las condiciones correspondientes a INADA (Inada, 1964).

 Crecimiento poblacional

Solow considera que toda la población está empleada y, además, crece a una tasa constante determinada exógenamente. Su forma funcional es:

2.4.3 Ecuación Fundamental de Solow - Swan

De la ecuación fundamental de Solow con depreciación tenemos:

Pero la función de producción Cobb-Douglas;

Reemplazando la (FPI) en la ecuación de Solow.

La Ecuación fundamental de Solow – Swan

Esta ecuación diferencial de acumulación de capital, donde la tasa de cambio del capital por trabajador es igual al remanente del ahorro bruto por trabajador respecto a la ampliación bruta de capital.

2.4.4 Estado de Crecimiento Proporcionado

Que lo traducen como estado estacionario (Growth steady state), en este estado de crecimiento proporcionado, cuando , entonces se determina .

Hallando :

Donde el asterisco ( ) denota el valor de equilibrio de la variable.

Reemplazando el hallado en la (FPI), nos da el valor de producto por trabajador de equilibrio ( ).

En el Gráfico [2.10] podemos apreciar que en el estado de crecimiento proporcionado se determina, e . Donde también se aprecia que la tasa de ahorro , , donde esta determina el reparto entre consumo por trabajador ( ) y inversión por trabajador ( ). En el cualquier nivel de la producción es , la inversión por trabajador es , y el consumo por trabajador es .

 Versión de Barro

A partir de la ecuación fundamental de Solow – Swan con depreciación;

, dividiendo a esta ecuación entre el capital por trabajador de equilibrio ( ), tenemos:

, La ecuación fundamenta Solow-Swan-Barro

El miembro izquierdo de la ecuación ( ) representa la tasa de crecimiento del capital per capita y es igual a la diferencia entre (curva de ahorro) y ( ) (curva de depreciación).

En el crecimiento proporcionado la , entonces , se determina .

Hallando ;

Donde: : Tasa de crecimiento del capital

En el Gráfico [2.11] podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciente, tiende a cero cuando se aproxima a infinito y cuando k se acerca a cero (CONDICIONES INADA). En cuanto a la curva de depreciación es horizontal, es decir, es independiente de . Considerando que ésta es estrictamente positiva y la curva toma valores entre cero e infinito, las dos funciones (curvas) se cruzan una sola vez en la gráfica (punto ) y la correspondiente que representa a este punto es el capital per capita que existe en el estado proporcionado.

2.4.5 Acerca de la estabilidad

La economía capitalista en el largo plazo tiende a un estado de crecimiento proporcionado, y esto lo veremos en dos casos:

 Caso I ( )

En este caso vemos en el Gráfico [2.12] que, la economía tiene hoy un capital , la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita. Esto quiere decir que va ocurrir una profundización ( aumentara con el tiempo), hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador , cuando , las curvas originado un punto , que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante.

 Caso II ( )

Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha , como se puede apreciar en el Gráfico [2.13], donde el capital por trabajador esta expresado como .En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capital-trabajo constante.

Como , por consiguiente la cantidad de capital por trabajador comienza a declinar hasta que se iguale con.