5.1.8 Dinámica

La dinámica que esta representada por las flechas como se observa en el grafico [5.5], donde en el origen existe un estado inestable, por que nunca llegamos a un estado proporcionado.

El segundo estado proporcionado, es estable en todas sus flechas que existen alrededor apuntan hacia este punto.

El tercer estado proporcionado es con estabilidad este punto es llamado “punto de silla” en estado trayectoria llamamos “saddle paht stability” o “trayectoria estable” que converge a un estado proporcionado. Este tercer punto también genera el punto de silla, por que existen líneas aerodinámicas que convergen y divergen alrededor del punto.

La dinámica de transmisión nos dice que si aumentara el consumo, el capital en el largo plazo, la economía converge hacia un estado proporcionado .

5.2 Modelo de Ramsey con progreso tecnológico

Es esta parte introduciremos el progreso tecnológico exógeno en el modelos de crecimiento, dicho progreso es potenciados del trabajo, este es el nuevo supuesto que se agrega al modelo.

Entonces pasaremos a introducir el progreso tecnológico en 1er Ecuación diferencial , planteamos nuestra función de utilidad agregada de la sociedad.

(Función Objetivo)

(Ecuación de Movimiento)

(Condición Inicial)

Para solucionar el problema se debe cumplir que: es decir que la función de utilidad este acotada en este caso.

1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano.

Donde

Variable de estado.

: Variable de control.

: Variable de coestado.

Condición de Primer Orden (CIO)

2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero.

Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico

3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo.

4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos:

Condición de Segundo Orden (CIIO)

>0 x 0<

Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.

5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero.

Condición de Transversalidad

Esto quiere decir que (el precio implícito de capital en el periodo final) o que (el stock de capital en el momento que muere).

De la ecuación (II) tenemos

Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:

Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos:

A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador ( )

Donde

: Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos:

Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV)

Despejando , tenemos:

, La proposición Ramsey - Keynes

Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación, la tasa de aumento tecnológico debido a la eficiencia del trabajo y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo.

Así mismo se puede expresar la ecuación como: