6.13.2 Contabilidad de crecimiento con una función Cobb-Douglas

Para esto asumiremos aparte de los supuestos básicos que el progreso tecnológico es Harrod-neutral.

Donde

: Producto total (PBI)

: Unidades de capital físico.

: Unidades de trabajo.

: Factor aumentativo de la eficiencia del trabajo.

: Elasticidad del producto respecto al capital.

: Elasticidad producto respecto a la fuerza de trabajo.

Propiedades de la función de producción

4º. Si multiplicamos a la función por un

La función presenta rendimientos constantes a escala

5º. Los ratios (productos marginales del capital y trabajo) son constantes y positivos. + + + +

Recordemos que entonces , es un valor positivo

La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa. + - +

Recordemos , entonces es una constante negativa. - + +

Recordemos que , entonces es una constante positiva .

6º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen:

Aplicando logaritmo a la función de producción agregada y derivado con respecto al tiempo

Donde

: Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo.

: Elasticidad del producto respecto al capital.

: Elasticidad del producto respecto al trabajo.

Esta ecuación nos quiere decir que el crecimiento del PBI agregado es igual a la suma del crecimiento del capital multiplicado por su participación en el PBI , el crecimiento tecnológico multiplicado por su participación en el PBI y la tasa de crecimiento del trabajo multiplicado por su participación en el PBI .

Despejando de la ecuación ( )

Esta ecuación nos quiere decir que la tasa de progreso tecnológico es igual a la diferencia o residuo entre el crecimiento observado del PBI y el crecimiento ponderado de los factores directamente observables dividido entre la elasticidad producto respecto al trabajo.

 Como no interesa expresar la tasa de crecimiento del PBI por trabajador (per cápita) reemplazaremos las tasas agregadas por sus equivalentes.

 Sabemos que el PBI por trabajador es igual al PBI agregado dividido por el número de trabajadores.

 Sabemos que el capital por trabajadores igual al PBI agregado dividido por el numero de trabajadores

Reemplazando (IV) y (V) en la ecuación ( )

La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del PBI por trabajador se puede descomponer entre la contribución del progreso tecnológico y la tasa de crecimiento del capital por trabajador, de hay que ha esta descomposición se le lama contabilidad de crecimiento.

6.13.3 Ejercicios resueltos

Problema Nº1

En el año 2008 se sabe que un país tiene una tasa de crecimiento del PBI per cápita que es 4%, la tasa de crecimiento del capital agregado fue 2%, la tasa de crecimiento de las horas de trabajo per cápita fue del -1% y la tasa de crecimiento de la población fue 1.5%. La participación de capital en el PBI era de 45% ¿Cuál fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada?

Problema Nº2

Se sabe que un país “Z” tiene una tasa de crecimiento del PBI 5%, la tasa de crecimiento del capital por trabajador es 1.5% la tasa de crecimiento de las horas de trabajo fue de -1%, la tasa de crecimiento de la población per cápita fue del 1% y la participación del capital en el PBI era del 30%. ¿Cual fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada?