Apéndice de Revisiones Matemáticas

En esta parte revisaremos las herramientas matemáticas, que se utiliza a lo largo de este texto. Donde trataremos de repasar manera simplificada el cálculo elemental y de las matemáticas usadas que es de uso común en los modelos de crecimiento

A.1 Derivadas

Sea una función continua en el intervalo y , cociente incremental cuando ( )

La interpretación de la derivada, nos quiere decir que representa la pendiente de la recta tangente a la función es el punto

Un ejemplo de la definición de la derivada es , entonces la derivada de la función con respecto a es , esto quiere decir que un cambio pequeño del stock de capital, cambia por 25 veces la cantidad.

Notación de derivadas

: Notación de Lagrange.

: Notación de Cauchy.

: Notación de Leibnitz.

Primera Derivada

Esta derivada representa la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto.

Si entonces la función es creciente.

Si entonces existe un punto máximo o mínimo.

Si entonces la función es decreciente.

Segunda Derivada

Esta derivada se utiliza para saber si existen máximos, mínimos o y puntos de inflexión.

Si entonces existe un punto mínimo.

Si entonces la función tiene un punto de inflexión.

Si entonces existe un máximo.

 La regla mas conocida y aplicada es la regla de la cadena, donde es una función continua donde Dom .

A.1.1 Reglas de derivación

Mostraremos las derivadas más utilizadas a lo largo de este texto que han sido aplicados a los modelos.

• (derivada de una constante) : es una constante

• (derivada de una función logarítmica)

• (derivada de una función potencial )

• (derivada de una suma y resta de funciones )

• (derivada de la cadena)

• (derivada de una división de funciones )

• (derivada de un producto de funciones)

Donde

• (derivada de la función de una función)

Donde , siendo

Aplicaciones de las reglas de derivación

• Si entonces

• Si

• Si dado que

Derivadas parciales

Sea en dos o mas variables tenemos que es una función en tres variables .

: La derivada parcial de respecto a .

: La derivada parcial de respecto a .

: La derivada parcial respecto a .

Para las derivadas parciales de asume que la derivada de la función respecto a las demás variables son fijas o constantes y solo es variables la variable en estudio.

Aplicación:

Hallar