3.3. VALOR PRESENTE y DESCUENTO COMPUESTO

Creerán que es un tema que ya quedo visto, efectivamente en este capítulo en el punto

3.1. Interés Simple, se comento sobre el tema en cuestión, sólo que ahora se estudiará el valor presente compuesto, su descuento e inflación.

Recordando: en la primera unidad, se analizaron problemas de valor presente en supuestos casos de corto plazo y que están basados en el interés simple.

Éstas fueron las fórmulas y Ahora bien, cuando la fecha de pago del adeudo es mayor, se utiliza la fórmula de valor presente utilizando interés compuesto. Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa "x" y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro.

Un empresario obtuvo un préstamo de Nacional Financiera a una tasa de interés muy baja. Ocho meses antes de la fecha en que debe pagar dicha cantidad, consigue un contrato que le da utilidades suficientes para pagar esa cantidad los $248,000.00 que le prestaron. Considerando que el préstamo se acordó a tasas muy bajas, el empresario decide invertir el dinero necesario y que le permita pagar la deuda contraída, para ello busca un banco que le ofrece el mayor rendimiento, 14% anual capitalizable mensualmente. La pregunta es... ¿Cuánto debe invertir hoy (ocho meses antes) a la tasa del 14%, de tal manera que pueda pagar los $248,000.00 en la fecha de vencimiento de su deuda?

Si P es la inversión inicial, después de ocho meses el capital crece a:

Si se desea que el monto sea $248,000.00, entonces tenemos que satisfacer la siguiente ecuación:

Se despeja P

Con esta cantidad invertida, a los ocho meses habrá acumulado los $248,000.00 que le prestó Nacional Financiera En resumen........ Podemos decir que, a la diferencia entre el valor del monto que se requiere para saldar una deuda y su valor actual neto o presente, le denominaremos descuento compuesto.

S es el monto de la deuda, i a la tasa de interés por el período de capitalización, n al número de períodos de capitalización que se anticipan y P es el valor presente de la deuda:

Despejamos P y tenemos:

3.4. INFLACIÓN

Esta variable explica el cambio del valor del peso, en el tiempo. Es decir, en períodos de inflación alta, nos pasa a perjudicar nuestro bolsillo y caso contrario cuando la inflación es baja no se reciente tanto, aunque también afecta pero en otros porcentajes. En la práctica, todo negocio requiere ser analizado con la inclusión de todas las variables macro y micro que pudiesen afectarnos. Ante esto, La Tasa de Inflación constituye una medida para evaluar el valor de la moneda en determinado período.

Ejemplo de ello: Una inflación anual del 10% eleva en promedio el precio de un bien de "x" cantidad a "1.10x" entre un período y otro (de un año al siguiente). Así, si el precio actual de un producto es "y" pesos, entonces el año anterior en promedio sería de y/1.10. Pastor (1999) señala un error que es muy común en la práctica, ya que se pensaría que el año anterior, el valor de 100 pesos, era de 90. El verdadero significado es, que lo que hoy vale 100, hace un año hubiera sido de 100/1.10= 90.90909091 (comprobando 90.90909091 * 1.10% =100.00).

Supongamos que en dos años la inflación continúa siendo del 10%. Hoy pagamos "x" pesos y en un año 1.10x pesos, en dos años 1.09(1.09x)=(1.09)2x Su equivalencia sería, que lo que hoy nos cuesta "y" pesos, hubiéramos pagado y/1.10 pesos y hace dos años debimos haber pagado: Así, aplicando el factor de acumulación y el tiempo, en resumen podemos decir que:

Lo que hoy cuesta "X" pesos, con el tiempo "n" costará x (1+i)n Lo que hoy cuesta "Y" pesos, habría costado

Veamos un ejemplo: ¿En cuánto tiempo se podría reducir el poder adquisitivo de la moneda a la mitad, si la tasa de inflación anual promedio es del 15%? (sólo es un ejemplo, no se asusten). Esto en lenguaje coloquial sería, en que tiempo lo que hoy vale X pesos costará 2X pesos.

Despeja n de la ecuación x (1+i)n=2x además sustituye i = 0.15 y si divides por x llegamos a (1.15)n = 2

Recordemos que en las ecuaciones en las que se tiene que despejar el exponente, se requiere utilizar logaritmos, de ahí que ahora tenemos:

Log ((1,15)n) = log (2) entonces Log ((1,15)n) es = a log (1.15) Entonces

Algo así como 4.959 años (casi cinco), el poder adquisitivo de la moneda será como de la mitad, o sea 1 peso, valdrá .50 centavos, desde luego si la inflación promedio fuera del 15% anual........... Lo bueno es que sólo es un ejemplo....

3.5. ANUALIDADES

Definición: Se refiere a una serie de flujos normalmente de un mismo monto y períodos iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo más importante, no necesariamente deben ser de periodicidad anual, sino mensual, quincenal, bimestral etc.

Al tiempo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, se refiere al intervalo de pago o intervalo de abono según sea el caso que se desee calcular. Y el tiempo del contrato o convenio, se refiere al plazo de la anualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer y último de los pagos o abonos

De tal forma, podríamos entender a la Anualidad o Renta: como el pago periódico que se realiza en un lapso de tiempo, considerando una tasa de interés y una capitalización en cuyo caso se fija al inicio de la firma del convenio.

* Tipos: En la literatura se pueden encontrar diversas clasificaciones de anualidades, pero centremos el tema en la siguiente clasificación: Ordinarias o Vencidas, Anticipadas, Diferidas, Generales

3.5.1. ORDINARIAS Son aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en la actividad financiera y comercial. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas. Las características de éste tipo de anualidades son: * Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo de pago * Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad * Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago * El plazo inicia con la firma del convenio

3.5.1.1. Variables que se utilizan en este apartado:

VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad) m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i) n: Tiempo

ACLARACION: Para no generar confusión en lo referente a la tasa, la representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización. Ejemplo si nos dan una tasa del 12% nominal capitalizable mensualmente, sabemos que debemos dividir 12/12=1% POR LO ANTERIOR El lector podrá encontrar indistintamente la tasa en su forma i ó en su forma i/m.

3.5.1.2. Procedimiento: Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas: Su monto: ó

Cuando las tasas de interés cambian en el lapso del tiempo, se buscara el VF de la anualidad de la siguiente forma: Calculando VF1, VF2, VFn, esto es, cuantas veces cambie la i, la fórmula se modifica en los siguientes términos.

Para una primera tasa , después y así sucesivamente

La Anualidad o Renta Periódica: ó

Su valor presente: Se despeja

Para calcular el tiempo "n" en valor futuro Pasa dividiendo Rp La i pasa multiplicando y la unidad pasa sumando ahora aplicamos logaritmos y se despeja así de simple

Para calcular el tiempo "-n" en valor presente neto

De la fórmula tenemos que

Para despejar -n Así obtenemos

Ahora se tiene la expresión

Si obtenemos un resultado con decimales: ejemplo 5.78 esto quiere decir que son 5 pagos de una cantidad "x" y 1 pago por la diferencia.

Para ello se trae a valor presente el importe de los pagos:

Para conocer el valor del sexto pago tenemos:

Al despejar "x" El VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la diferencia se multiplica por el factor de acumulación (1+i) con exponente n+1: esto es, n (numero de pagos) más el último pago (1). Para el caso que utilizamos de5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6)

Para calcular la tasa de interés "i"

En Valor Futuro o Monto Del monto tenemos que Rp pasa dividiendo al lado derecho y para calcular i, se hace al tanteo,

equiparando el factor resultante de VF/Rp

En Valor Presente Neto Del valor presentedespejamos y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VPN/Rp