3.8.3. GRADIENTES GEOMÉTRICOS

La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada período. A esto se le llama gradiente geométrico. La notación que utilizaremos:

* El gradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo). * Rp1: es la cuota periódica 1. * La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos. * n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)

Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m)

Ejemplo: Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 10 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 5.5% siendo el importe del primer depósito $1,000.00.

De la fórmula: Donde: Rp1 = $1000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)

En Excel podría ser relativamente fácil solucionarlo

Si fueran cuotas pospagables (vencidas) con Gg:

De la fórmula: Se modifica

Mismos datos: Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año) Ejercicio de Valor Actual de Rp:

Para obtener un monto de $14,014.24, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10 cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato de cuotas prepagables y pospagables

Prepagables (anticipadas)

Mismo caso, pero ahora si fueran cuotas pospagables (vencidas)

Para obtener un monto de $13,784.50, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10 cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?:

Si deseamos conocer ahora el plazo, tenemos que despejarlo de la fórmula del monto de una serie de cuotas con gradiente geométrico prepagables:

Desarrollemos un ejercicio con los mismos datos que hemos venido utilizando en este tema:

Mgg = $14,014.24 Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas "x" i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)

De la fórmula:

Se tiene que satisfacer la siguiente ecuación:

A prueba y error utilizamos para "x"= 9, 11 respectivamente y obtenemos:

Los resultados sugieren que entre 9 y 11 puede estar el plazo, por lo que diseñamos en Excel una herramienta para simular con varias opciones de "x":

DATOS: Mgg:14014.24Rp1:1000i/m: .20/12x: Gg:5.50%Prueba y errorx:9.997Desarrollo de la fórmula en Excel (Mgg/(Rp1*1+i/m)((i/m)-Gg))(Mgg/(Rp1*1+i/m)* ((i/m)-Gg)) 13.7844532-0.03833333-0.528403993

(1+i/m)n 1.016666679.9971.179680294 1.0559.9971.7078701140.00021417

El valor de n=9.997, que redondeado al número entero es 10

El resultado es concordante con el ejercicio en donde se calculó el monto

Donde: Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)

3.8.4. GRADIENTE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICO

¿Cómo poder mezclar el gradiente aritmético y geométrico en el desarrollo de un caso?:

Supongamos que para construir la Escuela de Medicina, la Universidad Cristóbal Colón se ha propuesto constituir un fondo con 10 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $350,000.00 cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 25% con capitalización mensual y el importe del primer depósito ascendió a $3'500,000.00. La pregunta es: ¿Cuánto acumulará al final de la última cuota?

El monto acumulado de esta serie aritmética y geométrica esta dado por la siguiente expresión:

Donde: y Se fusionan las expresiones MAant y MGg obteniendo la siguiente fórmula:

Su nomenclatura: Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada MGg = El monto acumulado de la anualidad anticipada A1: la primera cuota n: el número de cuotas i: es la tasa nominal (normalmente es anual) i/m: La tasa capitalizable Gg: El gradiente geométrico La solución entonces es ahora:

Los Datos son: Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada Rp1: la primera cuota n: el número de cuotas i/m: La tasa capitalizable Gg: El gradiente geométrico