3.5.4. GENERALES

Entramos a una modalidad de anualidades que por sus características particulares, son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, los pagos o abonos no coinciden con la capitalización, de ahí que tengamos que calcular tasas equivalentes.

Las características de este tipo de anualidades son: * El plazo inicia con la firma del convenio o apertura de cuenta de ahorros o inversión (en su caso) * Las capitalizaciones no coinciden con el intervalo de pago * Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad

Con estas consideraciones, ¿qué hacer entonces cuando la tasa que se nos otorga, no coincide con la capitalización?

En el desarrollo de este tema, se dará respuesta a esta interrogante: 3.5.4.1. Variables que se utilizan en este apartado:

VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad) m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) n: Tiempo : Tasa de Interés equivalente (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento:

3.5.4.2. Procedimiento: Para calcular el monto o valor futuro de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:

Su monto: ó

Siguiendo el mismo esquema que las anualidades ordinarias, recordaremos que es muy probable que las tasas de interés cambien en el lapso del período, ante ello debemos realizar cálculos parciales utilizando tasas equivalentes para: VF1, VF2, VFn, conforme cambien las tasas, de acuerdo a la siguiente notación:

Para una primera tasa , para una siguiente tasa y así sucesivamente

La Anualidad o Renta Periódica: ó

Su valor presente: Se despeja Para calcular el tiempo "n" ó "-n" Pasa dividiendo Rp La i pasa multiplicando y la unidad pasa sumando ahora aplicamos logaritmos y se despeja así de simple

Para calcular la tasa de interés "i equivalente"

En Valor Futuro o Monto Del monto tenemos que Rp pasa dividiendo al lado derecho y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VF/Rp

En Valor Presente Neto Del valor presente despejamos y para calcular i equivalente, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VPN/Rp

En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores de tasas que van de 1.5% a 9.5% (0.015 a 0.095)

3.5.4.3. Ejercicios Resolvamos un ejercicio de Anualidad general:

Consideramos el caso de una persona que vende calzado por catálogo y considerando sus ventas es acreedora a un incentivo bimestral de $250.00. A partir de estén premio decide aperturar una cuenta de ahorro la cual le ofrece una tasa de interés del 1.5% capitalizable mensualmente, con la salvedad que debe incrementar el saldo de la misma, con una cantidad similar al de apertura y con la frecuencia en que recibirá su incentivo. Además no podrá retirar de su saldo vigente, cantidad alguna al menos durante el primer año.

Si dicha persona sigue al pie de la letra las instrucciones, ahora la pregunta es: ¿Cuánto acumulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años siguiendo este esquema de ahorro? Utilizamos la fórmula del monto de un conjunto de abonos (cuotas uniformes): Posterior a ello, considerar los siguientes aspectos:

a.- En primer término debemos identificar la tasa equivalente a la tasa capitalizable que ofrece la cuenta de ahorros. Si tenemos una tasa mensual de 1.5% mensual con capitalización igual, entonces debemos calcular una tasa bimestral que sea equivalente.

b.- Determinar el número de depósitos que se realizarán en tres años. c.- Trazar una línea de tiempo para visualizar la frecuencia de los depósitos Solución:

a.- Para determinar la tasa equivalente, tomamos la expresión Como la tasa que se nos da, esta referenciada mensualmente, entonces ahora tenemos que la tasa del 1.5% mensual, es equivalente a:

De donde sale la tasa del 3.0225% bimestral:

Del factor de acumulación

Para nuestro ejemplo tendríamos que:

Entonces: , es la tasa bimestral equivalente a la tasa del 1.5% mensual

b.- Si son seis bimestres por año, entonces en tres años son 18 bimestres (6*3), lo que es igual a 18 abonos o depósitos iguales en la cuenta de inversión o ahorro.

Cada depósito se multiplica por su factor de acumulación y se eleva a la potencia según el tiempo acumulado, siendo al final del último depósito, el que no acumulará interés alguno, ya que no devenga ningún interés. Si vemos la siguiente expresión, el primer depósito no acumula interés, hasta que se realiza el siguiente depósito que acumula un bimestre de intereses devengados y el segundo depósito ahora no genera interés alguno y así sucesivamente.

La solución entonces es:

Este es el monto que acumulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro aquí descrito.

Si fuera el mismo caso, pero ahora el esquema cambia, los depósitos se realizan al inicio de cada período. Entonces debemos asumir que tiene un comportamiento de anualidad anticipada:

La solución es: De la fórmula del monto de una anualidad anticipada general sabemos que:

Este es el monto que acumulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro con depósitos anticipados.

Cuando se tiene que tomar una decisión ante diferentes escenarios

Ejercicio: Supongamos que para cubrir el importe del seguro de su flamante Mercedes, una ejecutiva de importante empresa refresquera, se encuentra ante la disyuntiva siguiente:

a.- Pagar por adelantado el seguro de su auto, esto es, de contado debe cubrir la cantidad de $17,430.00

b.- Tomar la opción de liquidarlo en pagos vencidos semestrales o trimestrales, asumiendo un gravamen financiero del 2.5% mensual para el primer esquema y del 1.15% mensual para el otro esquema.

La pregunta es: ¿Cuándo debe pagar esta bella ejecutiva, en cada uno de los escenarios planteados? La solución es: De la fórmula del monto de una anualidad anticipada general sabemos que: Para conocer el valor de cada pago, ahora se sustituye A (abono-anualidad) por Rp (pago periódico), y se modifica el factor de por , resultando: esta es la expresión de inicio.

Para el desarrollo del ejercicio, primero tenemos que convertir las tasas de referencia, en sus tasas equivalentes de acuerdo al período de capitalización:

Tasa de referencia Procedimiento Resultado:

Escenario b.- Pagos semestrales

Escenario b.- Pagos trimestrales

Si la ejecutiva invierte los $17,430.00 los primeros tres meses y luego a los 6 meses considerando una tasa intermedia del 1.5% mensual

Que le convendría a la ejecutiva: ¿Pagar de contado?, ¿invertirlo los primeros 3 o 6 meses?

Ejemplo: El importe de lo que pagaría de contado en caso de que lo tuviera disponible, invertido a 6 meses le podría generar un monto de:$19,058.72Escenario b: 2 pagos semestrales anticipados de $9,359.59-$9,359.59Le restan$9,699.13Esa misma cantidad la invierte otros 6 meses y cubre el segundo pago y además le queda alguna utilidad.

Así pueden seguir los cálculos y tomar la mejor decisión, aunque debiera mejor vender ese carro............ no lo cree usted?

Ahora finalizaremos este tema, con la comprobación de la tasa. Para ello utilizaremos los mismos datos De la opción b: con el esquema de pagos semestrales el importe de cada pago es de $9,359.59 y un valor neto de $17,430.00 que representa el importe del seguro, la pregunta es ahora: ¿Qué tasa mensual le fue cargada en su adeudo?

De la fórmula del Monto se transforma en VPN y cambiamos la notación a: entonces ahora tenemos que pasa dividiendo el pago periódico (Rp) al lado derecho

Ahora recurrimos a una tabla en Excel que previamente habremos diseñado, para ensayar con diferentes valores:

La comprobación es ahora:

Elevando ambos lados a 1/2 obtenemos: 1.025, que es lo mismo a 2.5%

3.6. AMORTIZACIONES

3.6.1. CONCEPTOS BÁSICOS

En el ámbito de las finanzas y el comercio el concepto amortización está asociado a deuda, es decir, se refiere al pago gradual que se realiza para liquidar un adeudo proveniente generalmente de algún préstamo o crédito. En la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). El financiamiento o crédito adquirido debe reembolsarse en un plazo que previamente haya quedado establecido, sea en cuotas uniformes periódicas vencidas o anticipadas, o con cuotas que se incrementan de manera proporcional, en cantidad o de manera porcentual, aunque este tema lo analizaremos en el apartado de Gradientes (geométricos y aritméticos).

3.6.2. Procedimiento:

Para calcular el importe de las cuotas periódicas, debemos utilizar la fórmula del valor presente de un pago vencido (Rp)

Para conocer el valor de Rp el valor de la deuda pasa dividiendo al factor resultante de por lo que la expresión ahora es:

Recordemos que la expresión i/m la utilizamos para el caso en que se tenga que calcular la tasa que habrá de capitalizarse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal (anual) del 12% y su capitalización es mensual, entonces se debe tomar (12/12).

3.6.3. Ejercicio: Supongamos los siguientes datos:

Se adeudan $250,000.00, los cuales serán liquidados en 10 pagos iguales vencidos, considerando una tasa nominal del 12%.

De la fórmula tenemos que

Donde: NPV = Valor presente de la deuda Rp= el pago periódico i = la tasa de interés m = la capitalización -n= el tiempo o número de pagos

Entonces:

Se diseña una tabla de amortización:

También puede ser representado de la siguiente forma:

Ahora supongamos que el arreglo entre deudor y acreedor cambia de términos. El acreedor decide que deben ser pagos iguales de $45,000.00 por lo que ahora la pregunta es:

¿Cuántos pagos se deben hacer?, y ¿cuál es el importe del último pago, cuya diferencia sería el saldo final previo a liquidar el adeudo?

De la fórmula tenemos que Sus valores son: Para despejar -n traemos el factor de acumulación: esto es Así obtenemos que es lo mismo que: Despejar -n:

El valor presente de los pagos sería entonces:

Para conocer el valor del sexto pago tenemos

Despejar "x" de Ahora tenemos:

El resultado es: 5 pagos de $45,000.00 y 1 de $33,539.36

Veamos otro ejercicio:

Veamos el caso de una empresa que adquiere una camioneta de reparto por un valor de $180,000.00 y acuerda con el distribuidor pagar en seis abonos mensuales iguales, el primero de ellos con vencimiento un mes después de la firma del convenio de compraventa. Cuál es el importe de cada uno de los pagos si la tasa de interés que cobra el distribuidor es del 2% mensual. (24% nominal)

Primer paso: Sabemos que el monto de los pagos se determina empleando la fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria, entonces tenemos que:

Ahora deseamos conocer el importe del saldo insoluto al finalizar el mes m

La fórmula aplicable es:

Con los datos del ejercicio anterior, resolver lo siguiente:

Cuál es el saldo insoluto al finalizar el mes 4, de una deuda por $180,000.00 la cual venía siendo liquidada con pagos parciales de $32,134.65

Como se puede observar, el saldo de $62,391.36 que muestra la tabla de amortización al final del mes 4, coincide con el resultado de la fórmula.