3.5.1.3. Ejercicios Resueltos: Anualidad ordinaria:

El Sr. Pérez ha decidido crear un fondo para su hijo, el pequeño Martín, el cual podrá disponer íntegramente el día de su graduación Universitaria. Para ello, comienza depositando $200.00 al final de cada mes, dando inicio cuando su hijo Martin, cumplió un año y hasta el día de su cumpleaños número 23. Durante los primeros 10 años la cuenta le paga un interés de 12% anual capitalizable mensualmente. Los siguientes 10 años pago un interés de 15% anual capitalizable mensualmente y los últimos 2 años pago un interés del 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la suma que recibirá Martincito cuando cumpla 23 años?

*Recuerde que Martín ya tenía un año cuando se abrió la cuenta, por lo tanto se cuentan solamente 22 años para llegar a su cumpleaños número 23.

Utilizamos la fórmula del monto de un conjunto de abonos (cuotas uniformes): * Durante los primeros 10 años pagó un interés de:

* Durante los siguientes 10 años pagó un interés de:

* Durante los últimos 2 años acumuló:

Esta es la suma que recibirá Gabriel el día de su cumpleaños número 23. Esto menos el total de depósitos es igual al interés acumulado durante los 22 años, que fue de = 323,635.06

AHORA DESARROLLEMOS UN EJERCICIO PARA CONOCER LA TASA DE INTERÉS "i".

Primero calculamos el monto que logra acumular una persona que realiza un determinado número de depósitos y con ello, comprobamos la operación despejando la "i"

Supongamos que un ama de casa ahorra $100.00 al final de cada mes durante 60 meses, habiendo recibido una tasa de interés del 15% anual con capitalización mensual (15/12=1.25%). ¿Cuánto logro acumular en su cuenta?

De la fórmula del monto tenemos Luego

Ahora calculamos la "i" como variable desconocida Con los datos del ejemplo anterior tenemos:

se pasa dividiendo la cuota uniforme que es lo mismo que

Ahora se tiene Aquí debemos buscar en tablas, una tasa que aproxime el factor 88.5745 que estamos buscando

Ejercicio de valor presente neto

Supongamos que una persona desea adquirir una pantalla de plasma mediante 30 pagos iguales de $30.00 vencidos. Si la tasa de inflación que permanecerá vigente durante todo el lapso de tiempo es del 0.5% mensual, entonces ¿Cuál es el precio de contado de dicha pantalla?

De la fórmula del valor presente tenemos que:

Ahora comprobamos, despejando la "i" como variable desconocida

Del Valor Presente de una anualidad despejamos "i", quedando la siguiente expresión

Aquí debemos buscar en tablas, una tasa que aproxime el factor 27.794 que estamos buscando

De esta forma se comprueba. Como se puede observar el factor que arroja la división entre el monto y la anualidad, es el mismo que el factor que arroja la tasa del 0.005 ó 0.5% Ahora comprobamos, despejando la "n" como variable desconocida

Tomamos el ejemplo del ama de casa que ahorró $100.00 al final de cada mes durante "n" meses, habiendo recibido una tasa de interés del 15% anual con capitalización mensual (15/12=1.25%) y cuyo monto ascendió a la cantidad de $8,857.45. ¿Cuál fue el plazo de esta operación? De la fórmula del monto, se despeja "n", ahora tenemos la siguiente expresión: La solución es:

Como podrán ver, el resultado de 60 (abonos uniformes), corresponde al tiempo que estuvo ahorrando el ama de casa para poder obtener el monto de $8,857.45 del ejercicio resuelto de la pág. 94

Y así, podemos seguir desarrollando ejercicios de reforzamiento tratando de despejar las variables que componen cada teorema, como un ejercicio para reforzamiento del tema. Ahora continuamos con las anualidades anticipadas.

3.5.2. ANTICIPADAS

Son aquellas anualidades que son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, toda vez que los pagos se hacen por anticipado, salvo que el deudor (en caso de alguna compra a plazos) desee liquidar por adelantado sus pagos. Ahora bien, en el caso de una cuenta de depósitos (pudiera ser un fideicomiso), estos se hacen a inicio del convenio y así sucesivamente hasta el final del convenio. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas.

Las características de este tipo de anualidades son: * El plazo inicia con la firma del convenio * Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago * Los pagos o abonos se realizan al inicio de cada intervalo de pago * Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad

3.5.2.1. Variables que se utilizan en este apartado:

VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos) VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad) m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i) n: Tiempo

3.5.2.2. Procedimiento: Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas: Su monto: ó

Al igual que en las anualidades ordinarias, cuando las tasas de interés cambian en el lapso del tiempo, se buscará el VF de la anualidad de la siguiente forma:

Calculando VF1, VF2, VFn ó M1, M 2, M n esto es, cuantas veces cambie la "i", la fórmula se modifica en los siguientes términos: Para una primera tasa , después y así sucesivamente

La Anualidad o Renta Periódica: ó

Para calcular el tiempo "n" en el valor futuro o monto de una anualidad anticipada De la fórmula del monto ó Valor futuro seleccionamos la que utilizaremos.

Para este ejercicio tomamos el valor futuro que es lo mismo que Ahora pasa dividiendo Rp quedando la expresión como:. Posteriormente la i pasa multiplicando y la unidad pasa sumando Ahora aplicamos logaritmos y se despeja n, quedando la siguiente expresión

Así de simple.

Para calcular el tiempo "-n" en valor presente neto de una anualidad anticipada De la fórmula tenemos que Para despejar -n Así obtenemos Ahora se tiene la expresión

Si obtenemos un resultado con decimales: ejemplo 5.78 esto quiere decir que son 5 pagos de una cantidad "x" y 1 pago por la diferencia.

Para ello se trae a valor presente el importe de los pagos:

Para conocer el valor del sexto pago tenemos: Al despejar "x" el VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la diferencia se multiplica por el factor de acumulación (1+i) con exponente n+1: esto es, n (numero de pagos) más el último pago (1). Para el caso que utilizamos de 5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6)

Para calcular la tasa de interés "i"

En Valor Futuro o Monto Del monto tenemos que Rp pasa dividiendo al lado derecho y para calcular

i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VF/Rp

En Valor Presente Neto Del valor presentedespejamos el conjunto y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el

factor resultante de dividir: VPN/Rp

En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores de tasas que van de 1% a 9% (0.01 a 0.09)

Ver ejemplo a continuación

3.5.2.3. Ejercicios Resolvamos el siguiente ejercicio:

Cada 56 días el contador de la empresa Apolo, S.A. de C.V., deposita $15,500.00 en pagarés como una medida de previsión para liquidar algún compromiso futuro de la empresa. La tasa nominal ordinaria es del 9% ¿Qué cantidad tendrá acumulada en el pagaré número 17, de seguir depositando normalmente cada 56 días dicha cantidad?

La solución:

Si la tasa es del 9 nominal ordinaria y los depósitos se hacen cada 56 días, entonces calculamos la tasa de la siguiente forma:

Ahora supongamos que el contador de la empresa Apolo, sigue realizando los mismos depósitos con la misma frecuencia e importe, pero ahora le mejoran la tasa nominal ordinaria quedando en 12%, siempre y cuando reinvierta la cantidad acumulada hasta el momento. ¿Qué cantidad acumularía hasta el pagaré número 30? (consecutivo). Primeramente debemos considerar que los primeros 17 pagarés se depositaron a una tasa diferente, así que a partir del pagaré 18 y hasta el 30, faltarían 13 períodos de 56 días. La fórmula a utilizar es la siguiente: La solución:

Si la tasa es del 12 nominal ordinaria y los depósitos se hacen cada 56 días, entonces calculamos la tasa de la siguiente forma:

Esta es la cantidad que acumularía hasta el pagaré número 30

La Anualidad o Renta Periódica: ó

Para conocer el valor de la anualidad o renta periódica a partir de un monto, podremos utilizar la fórmula del Monto o Valor Futuro, despejando la A ó Rp, según sea la notación que utilicemos:

Para probar este teorema, utilizaremos los datos del ejercicio anterior relativos al primer momento del monto. M=$299,315.42 i= 9% nominal ordinaria A= ¿ ? Cada 56 días n=17

La solución es:

Su valor presente:

De la fórmula del Valor Presente Neto de una serie de cuotas uniformes Se despeja

Para probar este teorema, utilizaremos los siguientes datos:

Se tiene la opción de adquirir un auto en 12 meses con pagos iguales, sólo que deben ser anticipados. El precio de contado de dicho vehículo es de $187,000.00 que incluye seguro, comisión de apertura de crédito y todo lo que conlleva esta operación. Para ello queda estipulada una tasa de interés del 2.8% mensual.

Ahora se desea conocer el importe de los pagos mensuales iguales Rp= ¿ ? VPN= $187,000.00, i= 2.8% mensual ordinaria (i/m solo si la tasa es anual) n=12 La comprobación es:

El resultado son 12 pagos de $18,057.22 que dan un total de $216,686.64 el cual ya incluye los intereses generados.

Ahora bien, si fuera el caso que la agencia de autos ofreciera el mismo auto en 12 pagos mensuales de $18,057.22, la pregunta ahora sería: ¿Cuál es el precio máximo de contado que el cliente podría pagar, considerando una inflación mensual estimada del 0.6%

Ahora se desea conocer el valor presente neto de los 12 pagos mensuales iguales VPN= ¿ ? , i= 0.6% mensual ordinaria, n=12, Rp=$18,057.22 La comprobación es:

Como podrán notar, las cantidades resultantes difieren una de otra, esto obedece a lo siguiente:

1.- En el ejercicio en donde se calcula el importe de los pagos (Rp), se incluye el interés del 2.8% mensual lo que hace que el importe del automóvil se eleve a $216,686.64 2.- En el cálculo del vapor presente neto de los pagos, partimos del supuesto de que la Agencia de Autos, ofreciera dicho vehículo a 12 pagos de $18,057.22, entonces tendríamos que traer a valor presente el importe de cada uno de estos pagos, y determinar un VPN del total de los mismos y con ello, conocer el precio máximo de contado que en ese esquema, debiera pagar el cliente 3.- Debemos considerar que para fines académicos, y para poder probar matemáticamente las fórmulas, es que se utilizaron los mismos datos, pero como recordarán, en los datos iniciales quedó establecido que el auto tiene un precio de lista de $187,000.00 y es con este precio, que finalmente usted podría adquirir el auto, o mejor aún, no compre nada y mejor ahorre su dinero.

Resolvamos un ejercicio de Anualidad anticipada: (a partir de VPN)

Considere el caso de una persona que adquiere para su hogar un equipo hidroneumático el cual incluye la instalación. El importe de contado de la operación es de $114,500.00, pero éste es adquirido en 12 pagos iguales de $21,500.00 a partir de haber firmado el contrato. Ahora la pregunta es: ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que se pagó por dicho equipo? Rp= 21,500.00 VPN= $114,500.00 i= ¿ ? n=12

La solución es: De la fórmula del valor presente, sabemos que: entonces

Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor presente neto de una anualidad anticipada)

Como se puede observar, el factor resultante VPN/Rp es similar al factor que arroja la fila denominada "al tanteo", con una tasa del 0.0532 ó 5.32% Ahora resolvamos un ejercicio de Anualidad anticipada: (a partir de VF)

Considere el caso de una persona que ahorró $150,000.00, habiendo realizado 50 depósitos mensuales anticipados de $2,500.00 Ahora la pregunta es: ¿Cuál fue la tasa de interés mensual promedio que obtuvo?

A= 2,500.00 VPN= $150,000.00 i= ¿ ? n=50

La solución es:

Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor futuro o monto de una anualidad anticipada)

La tasa promedio que obtuvo fue de 0.0069787700 ó 0.697877% Ahora comprobemos esta operación: De la fórmula del monto: se tiene que

La diferencia de $7.50 se debe al manejo de los dígitos