ANEXO B. PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DEL ANALYSIS CLUSTER

Para la construcción de grupos (estratos) de municipalidades, atendiendo al grado de similitud de determinadas características previamente identificadas, se empleó una variante del “cluster analysis”. Este método consiste en una técnica estadística que permite conformar grupos similares de unidades de análisis, basado en sus caracterís¬ticas (atributos) contenidas en las variables reconocidas como relevantes, las mismas que antes de someterlo al proceso de agrupamiento son normalizadas.

La función objetivo utilizada para medir las similitudes, consiste en el cuadrado de la distancia euclideana existente entre “dos puntos” –en nuestro caso, dos municipalidades. Las coordenadas de cada “punto” (municipalidad) a su vez están expresadas por los respectivos valores de la variable normalizada, que para efecto de la presente explicación se supone Xij.

La función objetivo entonces se expresa mediante la fórmula:

Distancia (Xij, Xj ) = ;

la cual permite calcular la distancia entre las municipalidades i y j pertenecientes al par “k-ésimo”; donde Xilk, Xjlk indica los valores normalizados de la variable “l-ésima” en las municipalidades i y j en el grupo “k-ésimo”; en tanto, l = 1, 2, ..., m indica el número de la variable.

En cuanto al algoritmo general, los pasos de agrupamiento seguido son:

1. Se inicia con n unidades de análisis (en nuestro caso correspondió a los departamen¬tos del país). Se halla, luego, la “matriz de similaridades” de orden n x n: D = {dik }, compuesta por las distancias de cada uno de los puntos a los restantes, las cuales son determinadas mediante el cuadrado de la distancia euclideana.

2. Se escoge en la matriz de distancias los pares de unidades de análisis más cercanos o similares. Supóngase por ejemplo que esa distancia corresponde al par U y V, representada por d(UV) .

3. Con los puntos U y V, se forma el grupo UV y:

a. En una nueva matriz de distancias, se borran las filas y columnas correspon¬dien¬tes a U y V, seguidamente se añade una fila y una columna, las mismas que deben contener las distancias entre el cluster (o grupo) UV y las restantes unidades de análisis.

b. En la nueva matriz se procede a calcular las distancias promedios del grupo UV a los otros clusters W mediante el método de “Average Linkage” : d(UV)W = avg{dUW, dVW }.

4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta un total de n-1 veces.

Para ilustrar el algoritmo planteado, se desarrollará un caso sencillo para el cual se supone que ya se tiene determinada la primera matriz de distancias de cinco unidades de análisis (puntos):

A B C D E  unidades de análisis

Míni,k (dik ) = dEC = 2

A 0

B 9 0

C 3 7 0

D 6 5 9 0

E 11 10 2 8 0

Hallada la distancia mínima en el conjunto de distancias entre los pares de unidades de análisis, se forma el primer cluster (CE). A continuación, se requiere determinar las distancias de (CE) a los objetos A, B y D, las cuales se calculan de la siguiente forma:

d(CE)A = avg{dCA, dEA } = avg{3, 11} = 7

d(CE)B = avg{dCB, dEB } = avg{7, 10} = 8.5

d(CE)D = avg{dCD, dED } = avg{9, 8} = 8.5

Se borra la fila y la columna de C y E, luego, se adiciona una fila y una columna para el cluster (CE), en cuyas celdas se colocan las distancias halladas:

(CE) A B D

(CE) 0

A 7 0

B 8.5 9 0

D 8.5 6 5 0

Se escoge la distancia más pequeña, en este caso es dBD = 5. Paso seguido, se forma el cluster (BD) y se procede a calcular la distancia de este nuevo cluster a los demás clusters:

d(BD)A = avg{dBA, dDA } = avg{9, 6} = 7.5

d(BD)(CE) = avg{dB(CE), dD(CE) } = avg{8.5, 8.5} = 8.5

Se borra la fila y la columna de B y D, luego, se adiciona una fila y una columna para el cluster (BD), en cuyas celdas se colocan las distancias halladas, quedando la tercera matriz de la siguiente forma:

(CE) (BD) A

(CE) 0

(BD) 8.5 0

A 7 7.5 0

A este nivel de agrupamiento ya se tiene formado tres grupos que están representados en la matriz: (BD), (CE) y A. Si se desea conformar solamente dos grupos, se continua con el proceso de agrupamiento, escogiendo la nueva distancia mínima, que en este caso es 7, formándose de este modo el cluster (ACE).

La matriz final se obtendría de calcular:

d(A,CE)(BD) = avg{dA(BD), d(CE)(BD) } = avg{7.5, 8.5} = 8

(ACE) (BD)

(ACE) 0

(BD) 8 0

Finalmente, los dos clusters son (ACE) y (BD).