1.6. Los paradigmas de dependencia: regresión logística simple y múltiple en el estudio de la diferenciación de productos

En una primera aproximación a los modelos para validar empíricamente el problema de la diferenciación de productos alimenticios básicos, se parte de reagrupar la ecuación (1) con la incorporación de un término de error estocástico ( ):

. (1)

Por lo tanto, de la expresión anterior, se pueden identificar los siguientes elementos estructurales, vid., Gujarati (2000), que permitirán en lo subsiguiente ir revisando y evaluando la factibilidad de los modelos propuestos en la consecución de los objetivos planteados en la investigación:

1.) , valor teórico (variable respuesta).

2.) η, parámetros o coeficientes de la ecuación.

3.) , variables independientes.

4.) , residual o término de error estocástico.

Analicemos, pues, el modelo de Regresión Logística (RL), a la luz de su estructura funcional. Primero, con relación a los valores , tenemos que para Hair, Anderson, Tatham y Black (1999), en una primera versión de este modelo la consideran como una variable dicotómica (binaria),es decir, se refieren a una variable respuesta de dos grupos, a diferencia de la Regresión Múltiple, (RM) que predicen las probabilidades de ocurrencia del fenómeno a analizar. Por lo que los valores respuesta se encuentran acotados entre los valores 0 y 1.

Para modelar la relación funcional entre y las Hair., et., al., (1999), nos presentan la siguiente representación sigmoide:

Especificando, la parte generalizada funcional de , en su forma operativa, según Gujarati (2000), tenemos que:

Si = probabilidad de éxito de un evento determinado.

Una forma de modelar un problema con variable dependiente dicótoma, puede ser:

(3) Función de Distribución Logística.

Donde

La probabilidad de no ocurrencia del evento, se puede establecer como:

= La variable respuesta puede quedar expresada como la siguiente razón de probabilidades (odds ratio): =

Para Figueroa (2009), los problemas a abordar del modelo precedente quedan resueltos, si toma valores de 0 y 1 de la siguiente manera:

Si, z→ = 1

De la misma forma, Si, z→

Ahora bien, este modelo también puede ser presentado de la siguiente manera en relación a su variable respuesta, así para Pyndyck y Rubinfeld (2001), el modelo se basa en la siguiente expresión de probabilidad logística acumulativa:

(4)

Donde , base de logaritmos naturales , el autor retoma (4) y multiplica ambos lados de la ecuación por y se obtiene ( ) =1, para luego dividirlo entre y restándole 1, tenemos: = , como = = aplicando el logaritmo natural en ambos lados, tenemos que:

Por tanto, retomando (4), finalmente se puede expresar la variable respuesta como:

= (5)

Autores principales en la Regresión Logística son Hosmer y Lemeshow (1989), que en su trabajo clásico Applied Logistic Regresión, razonan de la siguiente manera en relación al valor esperado de la variable respuesta en una función lineal como:

De donde se establece que se mueve en rangos de y . Pero con variables de respuesta de tipo dicotómica los rangos se establecen en Si, , Por lo tanto el modelo Logístico se especifica como:

(6)

Finalmente, efectúan una transformación logística definiéndola en términos de: , así, = (7)

Para seguir a Ferrán (2001), digamos que: = y , entonces: = una forma adicional de presentar el modelo es:

= ( ) ….( ) (8)

Segundo, con relación a η, parámetros o coeficientes de la ecuación (en términos generales), se tiene que para Gujarati (2000), esos parámetros quedan expresados en términos de las siguientes literales: y , así tenemos que, si: = linealizando la expresión, = y , ahora bien, ¿qué interpretación hace el autor de estos coeficientes o parámetros?. En el contexto de un problema que relaciona los niveles de ingreso con las probabilidades de adquirir una casa, Gujarati (2000), comenta:

La interpretación del modelo logit es la siguiente: , es la pendiente, mide el cambio en ℓ ocasionado por un cambio unitario en , es decir, dice cómo el logaritmo de las probabilidades a favor de poseer una casa cambia a medida que el ingreso cambia en una unidad, por ejemplo US $ 1000. El intercepto es el valor del logaritmo de las probabilidades a favor de poseer una casa si el ingreso es cero. (P.544).

Ahora bien, si la variable dependiente queda expresada como un odds ratio, según Hair, et., al. (1999), entonces, los coeficientes quedan expresados como exponentes en la siguiente expresión: = (9)

Por lo que es necesario, volver a transformarlos al aplicarles el anti log, los signos de los coeficientes, pues se interpretarían de la siguiente manera:

Complementando lo anterior, de acuerdo a Álvarez (1995), con respecto al significado de los coeficientes en la explicación o contribución de la variable de respuesta binaria tenemos que:

Por lo expuesto es fácil comprender que, el signo de los coeficientes tiene un significado importante. Si los coeficientes de las variables son positivos, eso significa que la variable aumenta la probabilidad del suceso que estamos estudiando. Si este fuera una enfermedad, el factor cuyo coeficiente es positivo aumentaría la probabilidad de padecer la enfermedad y, por lo tanto, dicho factor sería un factor de riesgo. Si el coeficiente es negativo, el factor cuyo coeficiente es negativo disminuye la probabilidad del suceso que estamos estudiando; en caso de que dicho suceso fuera una enfermedad, estaríamos ante un factor de protección. (P.158).

Tercero, en lo que se refiere a las variables independientes o explicativas en el modelo (RLS), un modelo simple solo incluye una variable explicativa, pudiendo representarse de la siguiente manera:

, pero así mismo, un modelo se pude especificar como un modelo múltiple de la siguiente forma: (10) , es importante destacar que las variables explicativas pueden ser tanto cuantitativas como cualitativas. En el caso de las cualitativas es necesario convertirlas en dummy. Una dummy es una variable cualitativa, siempre y cuando tengan la propiedad de de ser codificadas en forma numérica con la regla conocida de que si se tienen , numero de categorías, entonces habrá que crear -1 variables dummy. Álvarez (1995).

¿Qué sucede cuando en un modelo RL, se tienen más de una variable explicativa? Para Álvarez (1995), es necesario comprobar si existe efecto interacción entre las variables consideradas en el modelo, de tal forma que si retomamos la ecuación (10) y la simplificamos, obtenemos la ecuación (3): = , el exponente puede tener incluidos varias , por ejemplo si:

(11)

Entonces, se habla de un modelo con interacción binaria ( ) en la primer parte y de una interacción terciaria ( ), en la última parte. Para obtener al final un modelo de regresión logística múltiple (RLM).

Cuarto, como parte estructural del modelo tenemos el término de error, residuales o perturbación aleatoria ( ). Así, Pyndyck y Rubinfeld (2001) relacionan la probabilidad de éxito con las variables explicativas, suponiendo que la media del residual es cero. Luego, púes:

E ( i)= (1- ) ) (1- )= 0 , por lo que en términos de

= ,

Otra forma de expresar lo anterior lo tenemos en Hosmer y Lemeshow (1989), cuando fija el valor de salida como: , donde , es la probabilidad de éxito del evento considerado, si , entonces, con probabilidad y el caso complementario, si , entonces , con probabilidad 1- , por lo que el residual se distribuye de acuerdo a ~ (0, [1- ] )

En donde la media de una distribución binomial, se obtiene de , en cambio la varianza, se obtiene de = . Según Lind, Marchal y Wathen (2005).

Para concluir, Gujarati (2000), plantea que la distribución del error ( ), cuando el número de casos es elevado (N), sigue una distribución normal ( como:

(12)