3. FÓRMULAS DE ALTURA-DURACIÓN-FRECUENCIA

La mayoría de las fórmulas de altura-duración-frecuencia de la precipitación, utilizadas en hidrología aplicada, son casos particulares de la fórmula general siguiente:

(1)

dónde:

xt,T, es la lluvia de duración t (horas) con período de retorno T.

a, b y c son coeficientes que hay que encontrar para cada localidad geográfica.

F(T,t) es la llamada "función de frecuencia".

Con los valores obtenidos aplicando la distribución de Gumbel a las estaciones en las que se dispone de datos de precipitaciones máximas en intervalos de 10 minutos a 72 horas, se trata ahora de analizar la posibilidad de emplear la fórmula anterior y de determinar los coeficientes a, b y c para las diferentes localidades de la región del Ebro, objeto de nuestro estudio. En efecto:

, y también:

= coeficiente de variación de Pearson (expresado en tanto por uno que, como ya se ha dicho, es una medida de dispersión relativa de la correspondiente distribución de frecuencias).

Si bien la fórmula general (1) resulta adecuada para representar los valores de la precipitación máxima en una estación concreta, será también posible determinar unos ciertos coeficientes a, b y c tales que los valores de xt se ajusten a la ecuación:

y = a • t (t + c)-b

Si el ajuste es suficientemente bueno, la "función de frecuencia" F(T,t) tomará la configuración matemática:

1 + K(T, n) Vt

Para c = 0, si se hace la correspondiente representación gráfica sobre papel logarítmico, la ecuación:

y = a•t1-b (2)

se reduce a una línea recta de pendiente (1-b), ya que:

log y = log a + (1-b) • log t ,

obtenida tomando logaritmos decimales o neperianos en la expresión (2) anterior.

Si c es positivo (negativo) la curva se encuentra por debajo (por encima) de la línea recta, aproximándose a ella asintóticamente al aumentar el valor de t.

4. GENERALIDADES SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE GUMBEL

En el cálculo de los caudales de avenida para el dimensionamiento y diseño de los aliviaderos de las grandes presas hidráulicas resulta también habitual el uso de la función de distribución de Gumbel. Se trata de una herramienta de cálculo de probabilidades de contrastada validez en el estudio de los máximos (o mínimos) de una serie cronológica de datos meteorológicos o hidrológicos. También es usada en ingeniería marítima y en general en el diseño de construcciones civiles que puedan estar sometidas a condiciones climatológicas extremas. La distribución de Gumbel, desde el punto de vista del análisis matemático, es una distribución gamma exponencial generalizada.

Por parte de algunos analistas técnicos suele ser habitual el uso de herramientas subjetivas y algunas con muy poco o nulo soporte matemático. Se dice que funcionan cuando en realidad lo que consiguen es básicamente situar al usuario en un marco de autodisciplina operativa, lo que en algunos casos es mucho más de lo que cabría esperar. La función de distribución acumulada de Gumbel viene dada por la expresión exponencial doble, como ya hemos visto en el epígrafe 6.2.1. de este mismo Informe:

,

donde: ; y siendo   0’5772... el número o constante de Euler anteriormente definida (ver epígrafe 1.2 de este mismo anexo).

Además se verifica que: , o lo que es igual: y en consecuencia, resulta que: .

Podemos utilizar: , y: .

Así, calculando la media de una variable aleatoria X y la desviación típica o “standard”  de la misma tendremos determinados los valores de los parámetros de la distribución  y u. Recordemos que la probabilidad de que la variable x sea menor o igual que un cierto valor dado Z es el valor que la función de distribución acumulada toma para Z, es decir, que: .

De esta forma al trabajar con una serie temporal o histórica de temperaturas, precipitaciones o caudales podemos fijar la probabilidad en términos de la unidad temporal usada. Por ejemplo si estamos midiendo en días, hablar de una probabilidad del 90% es lo mismo que decir:

días,

o lo que es igual, en los próximos 10 días los valores que tome la serie serán menores o iguales a un cierto valor Z en el 90% de los casos, siendo Z tal que: F(Z) = 0’90.