3.1.1.3. Distribución de velocidades en la sección transversal

En un caso más general, las relaciones existentes entre las velocidades media y superficial de una corriente natural anteriormente definidas vienen dadas por la expresión:

V = n • Vs

siendo V la velocidad media de la sección mojada transversal del cauce de esta conducción libre artificial, Vs la velocidad superficial y Vf la próxima al fondo del canal, tomando n los valores siguientes, en función de la velocidad superficial:

cuyos valores intermedios pueden interpolarse fácilmente (lineal o parabólicamente), y siendo: V = (1/3)•(2•Vs + Vf), que constituye una expresión alternativa a la anteriormente expresada de Dubuat, debida a Bazin, que ofrece valores de las velocidades estudiadas ligeramente diferentes.

La representación gráfica de la función anterior n= f(Vs) ofrece, teniendo también en cuenta la formulación de R. Prony que veremos posteriormente, el siguiente resultado:

Fig. A6-1. Representación gráfica de la función n (Vs).

Lo mismo podría afirmarse de otra expresión también debida a Bazin, a saber:

en función de la naturaleza más o menos rugosa de las paredes y fondo así como del radio hidráulico medio del cauce natural en estudio, que ofrece parecidos resultados a los deducidos de la formulación de Dubuat.

R. Woltmann opinaba que la ley de distribución de las velocidades puede ser representada por una parábola de eje vertical, cuyo vértice corresponde a la zona de velocidad nula, en el supuesto de que el agua tenga suficiente profundidad como para alcanzarla. No obstante, el segmento de parábola comprendido entre la superficie libre de la lámina de agua y la solera del cauce apenas difería de una línea recta. J. A. Eytelwein, por razones de sencillez, adoptó esta recta y propuso la siguiente fórmula (expresada en el sistema métrico):

V = (1 – 0’0127 • h) Vs

que ofrece valores sensiblemente superiores a los de la formulación de Dubuat.

R. Prony atribuía a la fórmula de Dubuat el inconveniente de que, para corrientes de muy escasa velocidad media, conducía a la consecución de resultados evidentemente falsos, o sea a Vf = 0 m./seg. para una velocidad superficial de Vs = 0’027 m./seg. y a Vf = 0’027 m./seg. para Vs = 0 m./seg.; dedujo así, de las observaciones del mismo Dubuat, que:

, cuyos resultados son coincidentes con la tabla y gráfica anterior, o bien la expresión más simple e intermedia: V = 0’816 • Vs , que ofrecen ambas resultados más coincidentes con las expresadas determinaciones de Dubuat.

Mientras que, según Bazin, la velocidad varía muy poco en las proximidades de la superficie, según Hagen esta variación debería ser muy rápida, lo cual hállase en desacuerdo con la experiencia. En un ulterior trabajo, Hagen propuso la fórmula:

V = Vs (1 – 0’0582 • )

Harder, basándose en la fórmula obtenida experimentalmente para las curvas de distribución de velocidades en la vertical media, empleaba dos elipses que presentan una tangente común vertical en el punto de máxima velocidad. C. Hessle sustentaba la opinión de que solera y superficie libre influyen de análogo modo sobre las velocidades, y supuso que la velocidad V, en un punto cualquiera, era la suma de una parte constante y otra variable según dos segmentos parabólicos tangentes entre sí. Las parábolas de grado superior tienen la propiedad de aproximarse primeramente mucho al eje de abscisas para separarse luego de él con gran rapidez. Por tanto, si la velocidad en la solera ha de ser nula y, sin embargo, en las capas superiores el agua ha de fluir rápidamente, puede con facilidad representarse matemáticamente tal distribución mediante dichas parábolas o funciones polinómicas. No obstante, parece más lógico aceptar el punto de vista de que se admiten distintas leyes para el movimiento en la proximidad de la solera y en el resto de la masa líquida, es decir, iniciar la curva de esta última parte con una abscisa distante de cero. Por otro lado, la confirmación experimental de la distribución, según parábolas de grado superior, no se cumple en muchos casos.

Es de resaltar, por último, la formulación de Siedeck, que para profundidades medias comprendidas entre 0’80 y 2’00 m., ofrece la relación:

que también puede alejarse bastante, por cierto, de la expresada formulación de Dubuat.

Por otra parte, en el excelente trabajo titulado “Determinación de los perfiles de velocidades del Bajo Ebro entre Tortosa y Amposta”, citado en la bibliografía, llevado a cabo por el Departamento de Hidráulica de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Cataluña (Barcelona, mayo de 1985), que hemos tratado también en el capítulo 9 y anexo 2 de nuestro libro, se estudian las velocidades del agua en los puntos más próximos al fondo (Vf) expresadas en m./seg. (a una distancia de 20 a 25 cm. del fondo) y que están resumidas en la tabla siguiente (34 medidas):

Así pues, la relación experimental obtenida entre la Vf y la V, en este caso, es la siguiente:

= 0’77 ; Vf = 0’77  V, que difiere algo de la que propugna Dubuat (Vf = 0’75  V), según puede comprobarse en nuestros estudios (FRANQUET, 2003).

Respecto a la distribución de velocidades en la vertical se observa que en la mayoría de las verticales la velocidad máxima se da en la superficie (correspondiente a la medida A, situada entre 15 y 25 cm. por debajo de la superficie). La velocidad desciende regular y progresivamente con la profundidad, acentuándose la curvatura del perfil de velocidades en las proximidades del fondo. La velocidad de fondo (última medida, entre 20 y 25 cm. del fondo), cualquiera que sea el calado y la velocidad de la conducción libre, es siempre superior al 55% de la velocidad superficial, siendo frecuentes cantidades del 70 y del 75%.

De cualquier modo, las velocidades medias del agua para cada perfil transversal se han obtenido promediando aritméticamente todas las medidas efectuadas con el molinete, según puede verse en el cuadro correspondiente del anexo nº: 2. Dicho cálculo de las velocidades medias podría efectuarse también por el procedimiento analítico del “promedio integral” u “ordenada media”, previa la determinación de la pertinente ecuación de la parábola de las velocidades V = f(h) con las profundidades, por ajuste mínimo-cuadrático no lineal, para cada caso. Recordemos que este concepto deriva en el cálculo infinitesimal del conocido “teorema de la media”, a saber:

siendo h = b y h = a las cotas respectivas del fondo de cada sección y de la lámina de agua, con lo que la profundidad de cada vertical vendrá dada por: Hi = bi - ai. De este modo, el “valor medio” de la velocidad en cada vertical será:

y para cada uno de los 9 perfiles transversales, se tendrá una velocidad media de: =  Vi/n, suponiendo que haya n verticales en cada perfil. En cualquier caso, el valor medio de la velocidad de circulación del agua por el río puede también obtenerse por aplicación del concepto de integral doble para cada vertical, siendo A el área comprendida entre la parábola de las velocidades, las ordenadas extremas y el eje de abscisas (en este caso vertical), así:

por aplicación del teorema de Fubini (*).