ANEXO 4. RESTANTES ESPECIFICACIONES METODOLÓGICAS

I. DISTRIBUCIÓN TEÓRICA Y MÉTODO DE GUMBEL

1. DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS

1.1. MÉTODO DE GUMBEL

1.1.1. Conceptos previos

La distribución de Gumbel ha sido utilizada con buenos resultados para valores extremos independientes de variables meteorológicas y parece ajustarse bastante bien a los valores máximos de la precipitación en diferentes intervalos de tiempo y después de muchos años de uso parece también confirmarse su utilidad en los problemas prácticos de ingeniería de dimensionamiento de redes de drenaje y diversas obras hidráulicas. En nuestro trabajo, se ha empleado para el estudio de los períodos de retorno de las precipitaciones máximas registradas en 24 horas, así como para el cálculo de los periodos de retorno de los caudales del río Ebro.

Si n es el número anual de valores diarios independientes de un cierto element o meteorológico o hidrológico y Ex el número medio anual de valores diarios que exceden el valor x, la probabilidad de que un valor diario sea superior a x es: Ex/n, mientras que la probabilidad de que sea menor será, como resulta bien claro, la complementaria: 1-(Ex/n).

La probabilidad: p = F(x), expresada en tanto por uno, de que el máximo anual sea menor que x vendrá dada por: F(x)=(1-Ex/n)n, y si n es suficientemente grande, entonces: F(x)  e-Ex, ya que se trataría de un límite indeterminado del tipo:

como se quería demostrar.

Si se hace: y =-ln Ex, se tiene que: F(x)= , ya que también:

-y = ln Ex ; Ex = e-y.

y es la variable reducida, y = -ln ln[1/F(x)], y e es la base de los logaritmos neperianos o naturales, tal como ya hemos visto en el epígrafe correspondiente de este mismo trabajo.

En la aplicación de la teoría de los valores extremos suele expresarse la probabilidad en términos del período de retorno o de recurrencia T(x), que para un valor particular de x es "el intervalo medio, expresado en años, en que el valor extremo alcanza o supera a x una sola vez". La relación existente entre la probabilidad: p = F(x) y el período de retorno: n = T(x) viene dada por la expresión:

T(x) = 1/[1 - F(x) , o sea, n = 1/(1-p)

El período de retorno así definido no es el mismo que el intervalo medio entre ocurrencias de valores máximos iguales o superiores a x, T1(x)", ya que en estas series, llamadas de duración parcial, no se considera el año que se han registrado estos valores máximos, pudiendo haber algunos con dos o más y otros sin ninguno.

Según SEELYE, T y T1, están relacionadas por la ecuación:

(1/T1)ln T = ln (T-1)

En algunas aplicaciones puede ser conveniente emplear T1(x), aunque la diferencia entre T1 y T es muy pequeña y tiende rápidamente hacia 1/2 cuando T aumenta.

La variable reducida viene dada por la expresión:

y =  (x - u)

siendo  y u parámetros que pueden calcularse a partir de la serie de valores extremos x.

Para estimar estos parámetros pueden utilizarse diferentes métodos, si bien para el presente estudio se ha adoptado el del ajuste regresional por el método de los mínimos cuadrados ordinarios. También se describirá y aplicará el de probabilidad máxima de FISHER que, aunque se acostumbra a considerar como el mejor para encontrar los parámetros, no se utiliza generalmente ya que requiere unos cálculos bastante complicados y laboriosos.

1.1.2. Ajuste por mínimos cuadrados ordinarios

Para ver, a priori, si la serie de valores máximos anuales se ajusta a la distribución teórica de probabilidad de Gumbel, puede utilizarse un papel de probabilidad extrema. En el eje de abscisas se lleva la frecuencia acumulada o probabilidad:

p = F(x) = 100 • m/(n+1)

La escala es doble logarítmica y, como consecuencia, lineal en y. En la horizontal superior figuran los períodos de retorno o de recurrencia:

n = T(x) = 1/[1-F(x)] = 1/(1-p)

Para representar una distribución de frecuencias de valores extremos se ordenan los n valores máximos anuales de menor a mayor, asignando al primero el valor 1, al segundo el 2, etc. En la expresión: 100•m/(n+1) se dan a m los valores: 1, 2, 3,...,n, y los obtenidos se llevan sobre la escala horizontal. Sobre la escala vertical se llevan los correspondientes valores máximos. Si los puntos representativos están relativamente alineados, la distribución se ajusta a la del tipo Gumbel, tanto mejor cuanto más alineados estén.

Para el cálculo de la línea de óptimo ajuste se ha desarrollado un método que es una variante del de los mínimos cuadrados ordinarios (CHOW). La diferencia consiste en que la suma de los cuadrados de las distancias o desviaciones a la mediana de los valores de la variable aleatoria estadística, la cual ha de ser mínima, no se mide paralelamente a los ejes coordenados (0x o 0y) sino paralelamente a una línea recta cuya pendiente es de signo opuesto a la línea de mejor ajuste. Este método simplifica considerablemente los cálculos y conduce a las relaciones siguientes, con tal de estimar el valor de los parámetros  y u:

en que yn y Sn son, respectivamente, la mediana aritmética y la desviación típica o "standard" de la variable reducida y, obtenidas mediante la siguiente relación:

y = -ln [ln (n+1)/m

y dependen solamente de n (número de años de la serie).

Asimismo, x y Sx son la media aritmética y la desviación típica de los valores máximos anuales, respectivamente. El cociente de la segunda por la primera constituye el conocido “coeficiente de variación de Pearson”, que es una medida relativa o adimensional de la dispersión de los valores de la variable aleatoria estadística empleada.