2.2. Cálculo de los períodos de retorno para los caudales mínimos anuales

2.2.1. Caudales mínimos absolutos anuales (N = 62 años)

En base a la serie histórica o cronológica de los caudales del río Ebro medidos en la estación foronómica nº: 027 (Tortosa), según datos de la propia Confederación Hidrográfica del Ebro, que abarca desde el año hidráulico 1913-14 hasta el 1990-91 (con la excepción de los años comprendidos entre 1935-1936 y 1950-51, correspondientes a la guerra y postguerra civil española, en que no se obtuvieron registros), calculamos los caudales mensuales del mes de agosto, de lo que se deducen los siguientes resultados:

=73,41 m3/seg.

σ = 72’82 m3/seg. (desviación típica del universo).

, que es el coeficiente de variación de Pearson (en el que se ha eliminado la influencia de la unidad de medida de los valores de la variable aleatoria estadística caudal mínimo anual).

El método de Gumbel que utilizamos en nuestro estudio resulta cómodo por la relativa sencillez de su aplicación, sobre todo cuando se utiliza un gran volumen de datos. De hecho, este método ha sido utilizado “in extenso” en numerosos países, particularmente en trabajos hidrológicos, y la justificación principal de su empleo radica en haber estado sometido a prueba y contrastación de resultados con la realidad, en numerosas ocasiones, ofreciendo valores satisfactorios en la práctica. Por ello, también hemos creído conveniente aplicarlo aquí.

2.2.2. Periodo de retorno de 3 años

p = (n-1)/n = 2/3 = 0'67

y = -ln (ln 1/p) = 0'90387

El cuadro correspondiente de cálculo de los diferentes valores de la yi, en función de los años, es el siguiente:

2.2.3. Periodo de retorno de 4 años

Operando de la misma forma, se obtiene:

p = (n-1)/n = 3/4 = 0'75

y = -ln (ln 1/p) = 1'25527

El cuadro correspondiente de cálculo de los diferentes valores de la yi, en función de los años, es el siguiente:

2.2.4. Periodo de retorno de 5 años

Operando de la misma forma, se obtiene:

p = (n-1)/n = 4/5 = 0'80

y = -ln (ln 1/p) = 1'49994

El cuadro correspondiente de cálculo de los diferentes valores de la yi, en función de los años, es el siguiente:

2.2.5. Periodo de retorno de 10 años

Operando de la misma forma, se obtiene:

p = (n-1)/n = 9/10 = 0'90

y = -ln (ln 1/p) = 2'2634

El cuadro correspondiente de cálculo de los diferentes valores de la yi, en función de los años, es el siguiente:

Como se puede apreciar, la considerable cuantía de la dispersión relativa de los caudales (CV > 50 %) invalida la estimación basada en los caudales de los meses de agosto de la serie cronológica.

2.2.6. Periodo de retorno de 15 años

Operando de la misma forma, se obtiene:

p = (n-1)/n = 14/15 = 0'93

y = -ln (ln 1/p) = 2'2688

El cuadro correspondiente de cálculo de los diferentes valores de la yi, en función de los años, es el siguiente:

Al obtener una estimación negativa del caudal, no procede continuar el cálculo.

2.2.7. Caudales según periodos de recurrencia

Con los resultados obtenidos, podemos elaborar la siguiente tabla, de la que después deduciremos, mediante un ajuste estadístico por regresión no lineal mínimo-cuadrática, la ecuación de la “función de retorno” correspondiente:

Como se puede comprobar, dicho ajuste mínimocuadrático constituye una correlación negativa prácticamente perfecta (inversa) entre las 2 variables del problema planteado (q y n). También los ajustes polinómicos ofrecen excelentes resultados, sobre todo a partir de la parábola o función polinómica de tercer grado.

Veamos que la transformación semilogarítmica natural o neperiana relacionada adopta la configuración matemática:

y, de este modo, la pendiente de la curva decrece claramente a medida que aumenta el período de retorno n.

Por otra parte, cuando q = 0 m3/seg. tendremos que:

ln n = , razón por la cual el punto de intersección con el eje de abscisas se encuentra situado en el punto de coordenadas cartesianas rectangulares: ( , 0). En el caso que nos ocupa, a este punto le corresponde, justamente, un período de recurrencia de:

años.

La inversa de esta función es:

que, de forma abreviada, vendría dada por la expresión simplificada:

n =   q, donde:

 = = 13’07, y:  = = = 0’985,

con lo que se tendrá la expresión potencial: n = 13’07 • 0’985q.

Otras consideraciones conceptuales y metodológicas derivan, precisamente, del estudio de esta función explícita y real de la variable real. Efectivamente, hay una asíntota o rama hiperbólica vertical coincidiendo con el eje de ordenadas, ya que:

Por otro lado, cuando n también la qp, lo cual podría hacer pensar en la existencia de alguna asíntota oblicua, circunstancia ésta que haría falta descubrir. En efecto:

, razón por la que existe una rama parabólica horizontal (según el eje de abscisas).