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EL CAUDAL MÍNIMO MEDIOAMBIENTAL DEL TRAMO INFERIOR DEL RÍO EBRO

Josep Maria Franquet Bernis



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1.2. AJUSTE POR LA PROBABILIDAD MÁXIMA (FISHER)

Se considera como el mejor método para la estimación de los parámetros, sobretodo si la muestra no es grande y/o los datos son bastante irregulares. Es un método muy laborioso, lo que limita su aplicación a la práctica. Jenkinson (1955) obtuvo una solución general de la ecuación funcional, que es la siguiente:

x = x0 +  • [(1 - eKy )/K

Para K = 0, se obtiene la distribución de Gumbel (Fisher-Tippett, Tipo I):

x = x0 + •y

Los datos se ordenan de menor a mayor y se dividen en sixtilos. Seguidamente se calculan las medianas de estos sixtilos (w1, w2, w3, w4, w5, w6) y después la relación: (w2-w1)/(w6-w5). Finalmente, se calcula la mediana w y la desviación típica de los sixtilos, Sw.

_

Si K = 0, el valor de W es 0'58 y el de SW es 1'20.

La recta estimada se obtiene ajustando la línea recta:

A partir de esta ecuación se obtienen estimaciones de los valores de  y de x0.

Para K=0, como es el caso de que se trata, la solución de la probabilidad máxima se calcula haciendo máxima la probabilidad para la muestra dada, que se obtiene multiplicando los valores de la función de frecuencia:

para los valores reales: x1, x2,..., n. El logaritmo de la probabilidad L será igual a:

De: F(x) = y también: x = x0 +  y, se deduce que:

1 dF(x) dy dF(x) F(x)

--------- ---------- = e-y -------- ; ---------- = -------- e-y

F(x) dx dx dx 

e-e-y

f(x) = --------- e-y , con lo cual, ln f(x) = -ln |  | -e-y -y, de dónde:

  |

-L = N ln |  | +  y +  e-y (función objetivo a optimizar)

Las sumas son para los valores de: y = (x-x0)/, sustituyendo x para x1, x2,..., xn. Las estimaciones de  , x0 son las que maximizan a L, o sea, las que minimizan a -L.

Para estos valores de  y x0, se tiene (condición necesaria o de primer grado):

Se empieza por las estimaciones de  y x0; se tabulan y = (x-x0)/ , e-y e y•e-y y se calculan P y R. Nuevas estimaciones: , se obtienen por el desarrollo en serie de:

considerando solamente la primera y segunda derivadas parciales de -L, y tomando:

La matriz cuadrada de segundo orden:

(ß = constante de Euler = 0'5772)

es la matriz varianza-covarianza para las estimaciones de la probabilidad máxima. Algunos de estos conceptos se desarrollan a continuación.

Efectivamente, la sucesión de término general:

an = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n

es decreciente y acotada, ya que:

an+1 - an = 1 (n+1) - ln (n+1)/n

y como:

1/n > ln(1+ 1/n) > 1/(n+1)

es decreciente, además:

an = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n = 1 - ln ½ + ½ - ln 3/2 + ... + 1/n ln (n+1)/n > 0

así, pues, está acotada. Es, por tanto, una sucesión convergente; su límite es un numero finito y determinado que se designa por  y se denomina "constante o número de Euler". Se tiene:

Esta constante resulta muy útil para calcular ciertos límites.

En cualquier caso, el carácter convergente de la serie numérica:

an = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n,

es perfectamente demostrable, considerando que:

an = 1 + bn

O sea:

bn = ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n =

= (½ + ln1 - ln2)+(1/3 + ln2 - ln3)+(1/4 + ln3 - ln4)+[1/n + ln(n-1) - ln n]

Notamos que los términos de la serie: 1/i + ln(i-1) - ln i,  y  (2,3,...,n) son negativos y decrecientes en valor absoluto. Los cambiaremos de signo, con lo que obtendremos:

cn = -bn = (ln 2 - ln1 - ½ )+(ln3 - ln2 - 1/3) +(ln4 -ln3 - ¼) +

+ ... + [ln n - ln(n-1) - 1/n]

La serie numérica: [ln n - ln(n-1) - 1/n] es convergente, circunstancia ésta demostrable perfectamente por aplicación del criterio del test integral, mientras que:

y = ln x - ln(x-1) - 1/x = f(x).

Si tomamos, ahora :  = 1, tenemos la integral impropia:

y la integral existe.

En consecuencia cn es convergente, y bn y an también lo son, tal y como queremos demostrar.

Las nuevas estimaciones para  y x0 son las siguientes:

= + 1 ;

A continuación, se repite el proceso descrito partiendo de estos nuevos valores. Generalmente, dos pasos son suficientes para resolver exitosamente el problema planteado.


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