ADMINISTRACI?N FINANCIERA II

La Teoría Moderna de Portafolios: Introducción

El estudio sistemático de la diversificación del riesgo surgió hace relativamente poco tiempo. Apenas en la década de 1950, Harry M. Markowitz comenzó el estudio disciplinado de la forma en la que un inversionista selecciona los instrumentos en los que invierte sus recursos dado un perfil de rendimiento y riesgo. La teoría de Markowitz –también conocida como Teoría Moderna de Portafolios o MPT (por las siglas en inglés de modern portfolio theory)– representa uno de los pilares de la corriente principal del pensamiento de la economía financiera actual. De acuerdo con esta teoría, el rendimiento de un instrumento de inversión es el nivel esperado de utilidad de dicha inversión, esto es, la recompensa por haber invertido en tal instrumento. No obstante, como se explicó, en la gran mayoría de los casos existe un rango de resultados posibles para el rendimiento, lo que significa que toda inversión tiene un determinado nivel de riesgo.

La MPT propone una diversificación eficiente, esto es, la combinación de instrumentos de inversión que tengan poca relación entre sí en un portafolio de inversiones, de modo que se reduzca el riesgo al mínimo posible sin alterar el rendimiento esperado; o bien, que se maximice el rendimiento esperado sin incrementar el riesgo. El riesgo de una inversión tiene dos componentes: (1) el riesgo específico (o diversificable) que es exclusivo de cada instrumento y (2) el riesgo de mercado (o no diversificable) que proviene de las variaciones de mercado en su conjunto y que afecta –en mayor o menor medida– a todos los activos. Factores tales como la naturaleza del negocio del emisor, su nivel de endeudamiento o la liquidez en el mercado de sus acciones son ejemplos de fuentes del riesgo diversificable. Por otra parte, las fuentes de riesgo no diversificable pueden ser factores de mercado como la inflación, la situación económica general y las tasas de interés. Todos estos factores afectan a todos los activos. Un inversionista está en posibilidades de eliminar el riesgo específico manteniendo un portafolio bien diversificado, sin tener que sacrificar sus rendimientos esperados. Sin embargo, el inversionista no puede reducir el riesgo de mercado, ya que este afecta a todos los instrumentos dentro del portafolio de una forma u otra y en diferentes grados.

Rendimiento Esperado de Portafolios

El rendimiento de un portafolio es simplemente el promedio ponderado de los rendimientos de los instrumentos de inversión que lo integran:

Donde:

E(kp) = Tasa de rendimiento esperada del portafolio.

wi = Porción del portafolio invertida en el activo i.

E(ki) = Rendimiento esperado del iésimo activo.

n = Número de activos en el portafolio.

Suponga por ejemplo que un inversionista está interesado en invertir un 50 por ciento de sus recursos en el activo A y el restante 50 por ciento en el activo B. El rendimiento de este portafolio sería de 10 por ciento:

Riesgo de Portafolios

A diferencia del rendimiento esperado de un portafolio, el riesgo de dicho portafolio (v.g. la desviación estándar del rendimiento del portafolio o p) por lo general es distinto al promedio ponderado de las desviaciones estándar de los instrumentos individuales que se encuentran dentro del portafolio. Asimismo, la aportación de cada instrumento particular a la desviación estándar total del portafolio es diferente a (wi)(i). La razón es que la correlación entre los rendimientos de los instrumentos debe considerarse para calcular la desviación estándar del portafolio. El coeficiente de correlación (que se denota por la letra griega “rho” o ) es una medida estadística de la relación entre dos series de datos (p.e. los rendimientos de dos acciones), la cual puede tomar valores desde –1.0, para la correlación perfectamente negativa, hasta +1.0, para la correlación perfectamente positiva (v.g. –1.0    +1.0) . En teoría, sería posible construir un portafolio sin riesgo (v.g. p = 0 por ciento) a partir de instrumentos con un coeficiente de correlación perfectamente negativo. Si dos acciones tienen un coeficiente de correlación perfectamente negativo, el riesgo puede ser eliminado completamente, como se aprecia en la Figura 4–2, en tanto que si la correlación es perfectamente positiva y el mercado no permite la “venta en corto”, la diversificación no ayuda a reducir el riesgo del portafolio, según se muestra en la Figura 4–3.

Las Figuras 4–2 y 4–3 presentan coeficientes de correlación extremos. Sin embargo, cualquier combinación de instrumentos que tenga un coeficiente de correlación menor que +1.0 ayudará a reducir el riesgo, mas no lo eliminará completamente. Este es el caso que prevalece en realidad en los mercados de todo el mundo, es decir, aunque es difícil encontrar correlaciones negativas –aunque las hay– la mayoría de las acciones en los mercados tienen coeficientes bastante menores que perfectamente positivos. Por ejemplo, para las acciones de la Bolsa Mexicana de Valores el coeficiente promedio de correlación es de +0.32 para cualquier par de acciones . En el caso de la Bolsa de Valores de Nueva York o NYSE (por las siglas en inglés de New York Stock Exchange) el coeficiente de correlación promedio de cualquier par de acciones es de alrededor de +0.55, para la Bolsa de Tokio es de +0.42 y para la Bolsa de Francfort es de +0.65.

En este contexto, se puede apuntar que los beneficios de la diversificación aumentan para un inversionista que forma un portafolio incluyendo acciones de dos o más países diferentes. Por ejemplo, de acuerdo con otras investigaciones la correlación promedio entre los rendimientos de las acciones de Canadá y España, Alemania y Australia, y Hong Kong y Japón son de +0.19, +0.18 y +0.14, respectivamente. Más aún, se han reportado coeficientes de correlación negativos entre los mercados del mundo, como es el caso de los rendimientos de México y Dinamarca (–0.17), Japón y Francia (–0.13) o Italia y Singapur (–0.04).

Medidas Específicas de Riesgo de Portafolios

Otras medidas de riesgo diferentes a la desviación estándar son el coeficiente de variación y la semivarianza. Pese a esto, la desviación estándar de los rendimientos del portafolio es más frecuentemente utilizada que las otras dos medidas. Sin embargo, es pertinente aclarar que la desviación estándar de un portafolio no es el promedio ponderado por la proporción de los recursos invertidos en cada activo de las desviaciones estándar de los activos individuales. Esto es, la desviación estándar de un portafolio debe considerar la variabilidad de los rendimientos de los activos que integran dicho portafolio, pero de manera muy importante la correlación de los rendimientos de dichos activos. En las siguientes secciones se establece qué es la correlación, cómo se llega a ella y cuál e su importancia para calcular el riesgo de los portafolios.

Covarianza y Correlación

La covarianza es una medida del grado de asociación entre dos variables como, por ejemplo, los rendimientos de dos acciones. La covarianza de dos acciones X y Y se calcularía como:

Donde:

CovXY = Covarianza de los rendimientos del activo X con respecto a los del activo Y (y viceversa).

(kXi – E(kX)) = Desviación del rendimiento de la acción X con respecto a su valor esperado para cada observación.

(kYi – E(kY)) Desviación del rendimiento de la acción Y con respecto a su valor esperado para cada observación.

Pi = Probabilidad de ocurrencia del escenario i.

Si las dos acciones, X y Y, tienen desviaciones estándar grandes y tienden a moverse en la misma dirección bajo un determinado estado de la economía, su covarianza estará muy por encima de cero; si las dos acciones tienen desviaciones estándar grandes y tienden a moverse en direcciones opuestas bajo un determinado estado de la economía, su covarianza será considerablemente menor que cero; finalmente, el resultado de CovXY tenderá a ser cero si las dos acciones se mueven de forma aleatoria, independientemente de la magnitud de la desviación estándar que tenga cada una. En el ejemplo de los activos A y B se puede demostrar que tienen una covarianza de – 147:

Como la covarianza no es un término estandarizado, su interpretación resulta un tanto difícil. En consecuencia, se ha desarrollado una medida estadística análoga para calcular el movimiento conjunto de dos variables en términos estandarizados: el coeficiente de correlación (), que se explicaba en párrafos anteriores. Este coeficiente se determina como:

Donde:

XY = Correlación de los rendimientos de X y Y.

CovXY = Covarianza de los rendimientos del activo X con respecto a los del activo Y.

X = Desviación estándar de los rendimientos del activo X.

Y = Desviación estándar de los rendimientos del activo Y.

Para el caso de los activos A y B su correlación es de -1.0, esto es, un coeficiente de correlación perfectamente negativo :

Como el cálculo del riesgo del portafolio a partir del promedio ponderado de las desviaciones estándar de los rendimientos de las acciones que lo componen ignora la covarianza de tales rendimientos, esta debe considerarse de forma explícita. Por ejemplo, para el caso de dos activos X y Y, la ecuación 4–2 se expresa como sigue:

Donde:

wX = Proporción de recursos invertidos en la acción X

(1 – wX) = Proporción de recursos invertidos en la acción Y (v.g. 1 – wX = wY).

Suponiendo, como se hizo anteriormente, que se forma un portafolio invirtiendo el 50 por ciento de los recursos en el activo A y el 50 por ciento en el activo B, dicho portafolio tendría una desviación estándar de 2.48 por ciento aproximadamente:

El Cuadro 4–2 resume los resultados de los activos individuales A y B,así como del portafolio formado invirtiendo la mitad de los recursos en A y la mitad en B. En el Cuadro 4–2 se puede observar que un inversionista averso al riesgo claramente preferiría invertir en el portafolio A–B que en el activo A solamente. El portafolio A–B tiene un mayor rendimiento esperado y un menor riesgo que el activo A solo; por lo tanto se dice que el portafolio A–B domina al activo A en términos tanto de riesgo como de rendimiento esperado. No obstante la situación no es tan clara para el activo B. Si bien es cierto el portafolio A–B tiene un menor riesgo que el activo B, éste último ofrece también un mayor rendimiento esperado que el portafolio. Por lo tanto, un inversionista agresivo podría preferir el activo B al portafolio A–B precisamente por la mayor esperanza de rendimiento que ofrece el activo B. En este caso ninguna de las dos alternativas de inversión –el portafolio A–B y el activo B solo– domina a la otra.

Riesgo de Portafolios: El Caso de “n” Activos

En términos generales, para portafolios que contienen n instrumentos, las ecuaciones 4–8 y 4–8a se pueden escribir como:

; ; (4–9)

Donde:

wi = Proporción de recursos invertidos en el “iésimo” activo.

wj = Proporción de recursos invertidos en el “jotaésimo” activo.

n = Número de activos en el portafolio .

Covij = Covarianza entre los rendimientos de los activos i y j.

Como se puede observar en la expresión 4–9, el número de varianzas (2) será igual al número de instrumentos dentro del portafolio (v.g. será igual a n) y el número de covarianzas será n2 – n. Si, por ejemplo, el portafolio consistiera de tres acciones, X, Y y Z, habría tres varianzas: 2X, 2Y y 2Z; así como tres covarianzas contadas dos veces cada una: XY, YX, XZ, ZX, YZ y ZY; o sea, 2XY, 2XZ y 2YZ.

Sobre esta base se puede afirmar que, a medida que n crece, el riesgo de un portafolio está principalmente determinado por la correlación entre sus activos, y que el riesgo individual de los instrumentos pierde importancia a medida que aumenta su número dentro del portafolio. No obstante, existe un punto de saturación a partir del cual la adición de más instrumentos de inversión al portafolio no reduce el riesgo de manera significativa. Así pues, el riesgo de un instrumento de inversión se puede dividir en riesgo diversificable (o riesgo específico), que es posible eliminar a través de la combinación de instrumentos en un portafolio, y en riesgo no diversificable (o riesgo sistemático de mercado), que afecta a todos los instrumentos de una u otra forma.

Portafolios Eficientes

Una vez que se tienen medidas estadísticas para calcular el riesgo y el rendimiento de los portafolios, es posible definir criterios para seleccionar aquellos que sean mejores; esto es, seleccionar los portafolios que sean eficientes. Los portafolios eficientes, de acuerdo a la terminología de la MPT, son aquellos que ofrecen el mayor rendimiento posible para un grado específico de riesgo o que ofrecen el menor riesgo posible para un rendimiento determinado.

La línea –o más correctamente el arco– ABEFG de la Figura 4–4, conocida por su forma particular como el “parasol de Markowitz”, muestra el conjunto viable de oportunidades de inversión característico para un mercado. Esta área representa todos los posibles portafolios o combinaciones de inversiones en términos de sus desviaciones estándar y sus rendimientos esperados. El parasol de Markowitz es inclusivo; esto es, ningún portafolio o instrumento de inversión individual puede estar fuera de él, porque no es posible alterar el rendimiento esperado de los instrumentos individuales ni la desviación estándar de los portafolios.

La frontera eficiente, representada por la curva BCDE, es el conjunto de portafolios que dominan al resto de las posibles combinaciones. Por ejemplo, el portafolio Q está dominado por el portafolio D –debido a que éste ofrece un rendimiento mayor para el mismo grado de riesgo– y por el portafolio C –ya que éste ofrece un menor riesgo para el mismo nivel de rendimiento. No obstante, ningún otro portafolio que no se encuentre sobre la frontera eficiente domina a los que sí lo están. De acuerdo con la MPT, una vez que el inversionista se ubica sobre la frontera eficiente, el portafolio que escoja dependerá de su preferencia respecto a la relación riesgo – rendimiento. Un inversionista muy agresivo deseará una inversión que le ofrezca un rendimiento alto, por lo que podría escoger el portafolio E. Otro inversionista más conservador preferirá un riesgo menor aunque sacrifique rendimientos, por lo que podría escoger el portafolio B. Por último, algún inversionista moderadamente conservador (o moderadamente agresivo, según el punto de vista) podría inclinarse por los portafolios C o D.

Determinación de la Frontera Eficiente

La MPT propone de forma específica un modelo para encontrar la frontera eficiente ejemplificada en la Figura 4–4. La MPT plantea la maximización del rendimiento dado un nivel determinado de riesgo a través de las expresiones:

Alternativamente, la MPT señala que es posible encontrar la frontera eficiente especificando un nivel mínimo de riesgo dado un nivel de rendimiento:

Una vez más, wi es la proporción de recursos invertidos en el iésimo activo, E(ki) es el rendimiento esperado del iésimo activo, wj es la proporción de recursos invertidos en el jotaésimo activo, n es el total de activos en el portafolio, Covij es la covarianza entre los rendimientos posibles de los activos i y j, en tanto que K es una constante.