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MATEMÁTICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES

César Aching Guzmán



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Inflación

La inflación es el movimiento ascendente del nivel medio de precios. Su opuesto es la deflación: movimiento descendente del nivel de precios. El límite entre la inflación y deflación es la estabilidad de precios. Los cálculos de la inflación son igualmente aplicables a una economía deflacionaria.

La inflación significa reducción del valor del dinero. Como resultado de la reducción del valor del dinero, requerimos más dinero para menos bienes.

El dinero en el período T1, puede actualizarse al mismo valor que el dinero en otro t2, aplicando la fórmula:

Llamamos T1 al dinero de hoy (constante) y al dinero del período T2, dinero futuro o corriente de entonces. Si F representa la tasa de inflación por período y n es el número de períodos entre T1 y T2, la fórmula [48] se transforma en:

La unidades monetarias de hoy son conocidas también como UUMM en valores constantes, aplicando la ecuación [48] es posible determinar valores futuros inflados en términos de UUMM corrientes.

Ejercicio 123 (Calculando el precio de un producto con inflación)

Si un producto cuesta UM 10 en 1999 y la inflación en promedio fue 5% durante el año anterior, en dinero a valor constante de 1998, el costo es igual a:

Solución:

VF = 10; n = 1; F = 0.05, VA = ?

Ahora, si la inflación en promedio fue de 5% en los últimos 8 años anteriores, el equivalente en UM constantes de 1999 indudablemente es menor:

Existen tres tasas diferentes, sólo las dos primeras son tasas de interés:

– La tasa de interés real i

– La tasa de interés del mercado o interés corriente ic

– La tasa de inflación ?

Para estimar la inflación en un análisis de valor actual es necesario hacer el ajuste de las fórmulas del interés compuesto para considerar la inflación.

, en esta fórmula i es la tasa de interés real

VF (en unidades monetarias futuras/corrientes) puede convertirse en dinero de hoy/constantes con la siguiente ecuación:

Si definimos a i + ? + i?? como i??, la fórmula es:

i?? es la tasa de interés inflada definida como:

Símbolos:

i = tasa de interés real

? = tasa de inflación

i?? = tasa de interés inflada

Ejercicio 124 (Calculando la tasa inflada)

1) Con la tasa real del 15% y la de inflación del 6% anual, determinar la tasa de interés inflada:

Solución:

i = 0.15; ? = 0.06; i?? = ?

[50] i?? = 0.15 + 0.06 + 0.15*0.06 = 0.219

Es decir, si tomo un préstamo en un mercado inflacionario el interés a pagar será mayor; igualmente, cualquier inversión requerirá una tasa de rentabilidad mayor.

Ejercicio 125 (Seleccionando alternativas de inversión)

Una persona debe decidir invertir en un negocio para lo cual dispone de 3 alternativas:

Alternativa A : UM 45,000 hoy

Alternativa B : UM 10,000 anuales durante 6 años comenzando dentro de 1 año.

Alternativa C : UM 35,000 dentro de 2 años y otros UM 55,000 dentro de 4 años.

Si la persona desea obtener el 15% real anual sobre su inversión y estima la tasa promedio anual de inflación en 4.5%. ¿Qué alternativa debe ejecutar?.

Solución:

La forma más rápida de evaluación es determinar el valor actual de cada alternativa.

i = 0.15; ? = 0.045; VAA = 45,000; VAB, VAC = ?

Calculamos para B y C, la tasa inflada aplicando la fórmula [50]:

[50] i?? = 0.15 + 0.045 + 0.15(0.045) = 0.20175

Luego operando adecuadamente las fórmulas [24] y [49] o las funciones VA obtenemos:

VAA = UM 45,000, está a valor actual

Respuesta:

Seleccionamos la alternativa C, por cuanto arroja el mayor valor actual.

Ejercicio 126 (Calculando el VA con la tasa inflada)

Necesitamos obtener el valor actual de la serie uniforme de pagos de UM 2,500 anuales durante 7 años si la tasa real es 15% anual y la tasa de inflación es 3.8% anual, asumiendo que los pagos son en términos de (1) unidades monetarias de hoy y (2) unidades monetarias futuras.

Solución (1): Dado que las unidades monetarias están a valor actual, utilizamos la i real de 15%.

C = 2,500; i = 0.15; n = 7; VA=?

Solución (2):

Como las unidades monetarias están expresadas a valor futuro, utilizamos la tasa inflada:

Calculamos también el VA convirtiendo los flujos de efectivo futuros en unidades monetarias de hoy mediante la tasa de interés real del 15%. Resulta más sencillo operar la fórmula [24] con el valor de la tasa inflada, que convertir los valores futuros a valores actuales y luego aplicar el factor (VA/VF).

Si los dólares futuros están expresados en monedas de hoy o constantes (o han sido transformados a monedas de hoy), calculamos el valor actual utilizando la tasa de interés real i en las fórmulas de valor actual. Cuando las unidades monetarias están expresadas en monedas corrientes de entonces o en valores futuros, es necesario trabajar con la tasa de interés inflada i?.

3.1. El valor futuro considerando la inflación

En el cálculo del valor futuro considerando la inflación es posible presentar cualquiera de cuatro cantidades diferentes:

1º Dólares actuales acumulados

En este caso utilizamos en las fórmulas de equivalencia la tasa inflada establecida (i?).

Reagrupando la fórmula [49], obtenemos:

o (VF/VA, i?, n)

2º Poder de compra del dinero acumulado en términos de valores de hoy

En este grupo utilizamos la tasa inflada i?, en equivalencia y dividida por (1 + i?)n. La división por (1 + i?)n deflacta el dinero inflado. Esto quiere decir, que los precios aumentan durante la inflación, con UM 10 en el futuro compraremos menos bienes que con UM 10 ahora. Expresamos esto en forma de ecuación:

Ejercicio 127 (De aplicación)

Supongamos que UM 2,500 tienen la tasa inflada del 15% de interés anual durante 9 años. La tasa de inflación anual es de 6%.

Solución:

VA = 2,500; n = 9; i? = 0.15; ? = 0.06; VF = ?

Ahora, asumamos que la inflación es nula (? se acerca a 0), dentro de 9 años los UM 2,500, a la tasa de interés del 15%, aumentará a:

 

[51] VF = 2,500 (1 + 0.15)9 = UM 8,794.69

Esto quiere decir que el poder de compra hoy y dentro de 9 años es igual. La inflación del 6% anual erosoionó el poder de compra en:

8,794.69 - 5,206.56 = UM 3,588.13.

La tasa de interés real puede calcularse resolviendo para i en la fórmula [50]:

de donde:

o también

Esta ecuación permite calcular la tasa de interés real i a partir de la tasa de interés inflada iF del mercado.

Las fórmulas para calcular la tasa de interés real (i) y corriente o comercial (ic) cuando el componente riesgo es cero son: Ver Capítulo 1, numeral 13.3. Componentes de la tasa de interés, páginas 51, 52 y 53:

Nomenclatura:

ic = tasa corriente

i = tasa real

? = porcentaje de inflación en el período

Fórmula para la obtención de la inflación acumulada:

«El uso de la tasa de interés real i es adecuada para calcular el valor futuro de la inversión, especialmente una cuenta de ahorro o un fondo de mercado de dinero, cuando los efectos de la inflación deben ser considerados».

Volviendo a los UM 2,500 anteriores, a partir de la fórmula [53], aplicamos la fórmula (19) o la función VF y obtenemos:

VF = 2,500(1 + 0.0849056)9 = UM 5,205.56

Como vemos, la tasa de interés de mercado del 15% anual sufre una reducción a menos del 9% anual como consecuencia de los efectos de la inflación. Una tasa de inflación mayor que la tasa de interés inflada, es decir, ? > i?, conduce a una tasa de interés real negativa i en la fórmula [53].

3º Dinero requerido para tener el mismo poder de compra

Los precios aumentan en períodos inflacionarios, luego comprar bienes en una fecha futura significa mayores desembolsos de dinero para adquirir lo mismo. En términos sencillos, el dinero futuro (corrientes de entonces) vale menos, luego necesitamos más dinero.

Ejercicio 128 (VF considerando únicamente la inflación)

1) ¿Cuánto tengo que pagar dentro de 7 años por un bien que hoy cuesta UM 7,500 y la inflación es de 4.8% anual?.

Solución:

VA = 7,500; ??= 0.048; n = 7; VF =?

[19] VF = 7,500 (1 + 0.048)7 = UM 10,413.34

Para obtener el resultado hemos adecuado ligeramente la fórmula general del valor futuro incorporando sólo la inflación a la ecuación.

2) Sí UM 2,500 es el costo de un producto cuyo precio crece exactamente con la tasa de inflación del 6% anual, el costo dentro de 9 años será:

VA = 2,500; ?? = 0.06; n = 9; VF = ?

[19] VF = 2,500 (1 + 0.06)9 = UM 4,223.69

4º Unidades monetarias futuras para mantener el poder de compra y obtener intereses

Este caso considera tanto los precios crecientes (3º caso) como el valor del dinero en el tiempo; es decir, debemos de obtener el crecimiento real del capital, los fondos deben crecer a una tasa igual a la tasa de interés i más la tasa de inflación ?.

Luego con el ejercicio 127, para obtener la tasa de retorno de 8.49% cuando la inflación es 6%, empleamos i? en las fórmulas. Utilizando la misma cantidad:

i = 0.0849; ? = 0.06; i? = ?

VA = 2,500; i? = 0.15; n = 9; VF =?

Esto demuestra que UM 8,794.69 dentro de 9 años es equivalente a UM 2,500 ahora con un retorno real de i = 8.49% anual y la inflación de 6% anual. Finalizando esta parte constatamos: que UM 2,500 hoy a la tasa del mercado de 15% anual se convierten en UM 8,794.69 en 9 años; los UM 8,794.69 tendrían el poder de compra de UM 5,205.56 de hoy si F = 6% anual; un producto con el precio de UM 2,500 ahora, tendría el precio de UM 4,223.69 dentro de 9 años con la inflación del 6% anual; y UM 8,794.69 futuros para ser equivalente a UM 2,500 ahora a la tasa de interés real de 0.0849 con la inflación del 6%.

Ejercicio 129 (Evaluación alternativas con y sin inflación)

Los ejecutivos de una imprenta deben decidir entre dos alternativas para incorporar a su planta de producción una nueva impresora offset: la alternativa A, supone adquirir la impresora ahora al costo de UM 150,000 instalada y lista para operar; y la alternativa B significa diferir la compra durante 4 años y estimamos que el costo aumente hasta UM 310,000. La tasa real no ajustada por inflación es del 13% anual y la inflación estimada es de 3.5% anual. Determinar la mejor alternativa tomando en cuenta: 1) ausencia de inflación y 2) presencia de inflación.

Solución (1) (Ausencia de inflación)

i = 0.13; VAA = 150,000; VFB = 310.000; n = 4; VFA = ?

[19] VFA = 150,000(1 + 0.13)4 = UM 244,571

VFB = UM 310,000

Recomendamos la alternativa A, arroja un valor menor; la compra debe efectuarse ahora.

Solución (2) (Presencia de inflación)

i = 0.13; ? = 0.035; i? = ?

1º Calculamos la tasa ajustada por inflación:

[50] i? = 0.13 + 0.035 + 0.13*0.035 = 0.16955

2º Calculamos el VF para la alternativa B:

i = 0.16955; VAA = 150,000; VFB = 310.000; n = 4; VFA = ?

[19] VFA = 150,000(1 + 0.169555)4 = UM 280,651

VFB = UM 310,000

Después de esta evaluación seguimos recomendando la alternativa A, por cuanto requerimos menos dinero futuro equivalente.

¿Qué sucede en un país con una inflación mayor?. Supongamos la tasa de inflación en 14% anual y la tasa real del 19%. Veamos que sucede:

3.2. Recuperación del capital y fondo de amortización considerando la inflación

En los cálculos de recuperación del capital es importante que éstos incluyan la inflación. Dado que las UM futuras (valores corrientes) tienen menos poder de compra que las UM de hoy (valores constantes), requerimos más UUMM para recuperar la inversión actual. Esto obliga al uso de la tasa de interés del mercado o la tasa inflada en la fórmula [25] (C/VA).

Ejercicio 130 (Tasa real, tasa inflada y cálculo de la anualidad)

Si invertimos hoy UM 5,000 a la tasa real de 15% cuando la tasa de inflación es del 12% también anual, la cantidad anual de capital que debe recuperarse durante 8 años en UM corrientes (futuros) de entonces será:

1º Calculamos la tasa inflada:

i = 0.15; ?? = 0.12; i? =?

[52] i? = 0.15 + 0.12 + 0.15(0.12) = 0.288

2º Calculamos la cantidad anual a ser recuperada:

VA = 5,000; i? = 0.288; n = 8; C =?

Respuesta:

La cantidad anual que debe recuperarse considerando la tasa real incluida la inflación es UM 1,659.04.


 

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