BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

 

APUNTES DE ESTADÍSTICA

 

David Ruiz Muñoz y Ana María Sánchez Sánchez

 

 

 

 

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Capítulo VIII VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES

1. Variable Aleatoria Unidimensional

La relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna se establece a través de variable aleatoria.

Definición

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.

Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y, ... sus valores.

La v.a. puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de v.a.: discretas y continuas.

 

Definición

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles valores.

 

Definición

Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.

1.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Sea X una v.a. discreta que toma un número finito de valores, r en total, x1, x2, ..., xi, ..., xr.

La probabilidad de que la v.a. X tome un valor particular xi se representará por: .

Definición

La distribución de probabilidad o función de probabilidad de una variable aleatoria X, P(x), es una función que asigna las probabilidades con que la v.a. toma los posibles valores, de forma que las probabilidades verifiquen:

Si X es una v.a. discreta, para determinar la , siendo , tan sólo hay que sumar las probabilidades correspondientes a valores de X comprendidos entre a y b, es decir:

Definición

Sea una v.a. X de tipo discreto que toma un nº finito o infinito numerable de valores x1, x2, ..., xr y cuya distribución de probabilidad es P(x). Se define la función de distribución acumulativa de la v.a. X, F(x), como la probabilidad de que la v.a. X tome valores menores o iguales que x, es decir:

Representando la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor x inclusive de la v.a. X.

La función de distribución de una v.a. discreta es una función que verifica:

Se puede decir por tanto que una v.a. X discreta, está caracterizada por su función de probabilidad o distribución de probabilidad P(x) y también por su función de distribución F(x).

1.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

La v.a. de tipo continuo se tratará de forma diferente a como se ha visto en el caso de v.a. discreta, ya que en el caso continuo no es posible asignar una probabilidad a cada uno de los infinitos posibles valores de la v.a. y que estas probabilidades sumen uno (como en el caso discreto), teniendo por tanto que utilizar una aproximación diferente para llegar a obtener la distribución de probabilidad de una v.a. continua.

Definición

Sea X una v.a. continua. Si existe una función f(x) tal que verifica:

Diremos que f(x) es la función de densidad de la v.a. continua X.

En el caso continuo la suma de las densidad o el área bajo la curva f(x) debe ser igual a la unidad, y como consecuencia la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores en el intervalo [a,b] será igual al área bajo la curva f(x) acotada entre a y b, es decir:

Si la v.a. X es discreta, existen las probabilidades puntuales P(X=xi). En el caso continuo, si xi es un punto interior al intervalo de definición de la v.a. continua X, entonces

 

Definición

Sea X una v.a. de tipo continuo que toma un número infinito de valores sobre la recta real y con función de densidad f(x). Se define la función de distribución acumulativa de la v.a. X, F(x), como la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores menores o iguales a x, es decir:

y representa el área limitada por la curva f(x), a la izquierda de la recta X=x.

Consideramos una masa unidad distribuida sobre el intervalo ( ), y la función de distribución F(x) para cada valor x de la v.a. nos da la cantidad de masa que hay en el intervalo , es decir, la masa que hay en el punto x y a la izquierda de x, aunque nos dará igual considerar el intervalo ( ), de forma que:

La función de distribución de una v.a. continua es una función que verifica:

Como la representa gráficamente el área encerrada bajo la curva f(x) y los valores a y b del eje de abscisas, entonces a la probabilidad

se le puede dar la misma interpretación.

2. VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando v.a. bidimensionales o n-dimensionales.

En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas. Para poder estudiar conjuntamente las dos v.a., es necesario conocer la distribución de probabilidad conjunta.

2.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL

Sea la X una v.a. discreta que toma un número finito de valores x1, x2, ..., xr y sea Y una v.a. de tipo discreto, que toma valores y1, y2, ..., ys.

La probabilidad de que la v.a. X tome el valor xi, y la v.a. Y toma el valor yj, la designaremos por:

Definición

La distribución de probabilidad bidimensional o distribución de probabilidad conjunta de una v.a. discreta bidimensional es una función P(xi,yj) que asigna las probabilidades a los diferentes valores conjuntos de la v.a. bidimensional (X,Y), de tal manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

Definición

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo discreto cuya distribución de probabilidad es pij = P(xi,yj), i=1, 2, ..., r y j = 1, 2, ..., s. Se define la función de distribución conjunta, F(x,y) como:

y representa la suma de las probabilidades puntuales P(xi,yj) hasta el valor (x , y) inclusive de la v.a. bidimensional (X,Y).

Consideremos ahora una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo:

Definición

Sea (X,Y) una v.a. bidimensional de tipo continuo, si existe una función f(x,y) tal que verifica:

diremos que f(x,y) es la función de densidad de la v.a. bidimensional continua (X,Y).

Esta función de densidad conjunta, se puede interpretar como un histograma de frecuencias relativas conjuntas para X e Y, pues la función de densidad f(x,y) representa una superficie de densidad de probabilidad en el espacio tridimensional , y el volumen por debajo de esta superficie y por encima del rectángulo e , es igual a la probabilidad de que las v.a. tienen valores dentro del rectángulo indicado, es decir:

 

Definición

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo que toma valores sobre el espacio bidimensional R2 y cuya función de densidad es f(x,y). Se define la función de distribución de la v.a. bidimensional, F(x,y) como:

La función de distribución bidimensional satisface una serie de propiedades:

3. DISTRIBUCIÓNES MARGINALES

Ahora nos va a interesar conocer la distribución de alguna o de ambas v.a. por separado, a partir de la información que nos proporcionaba la distribución conjunta de (X,Y), lo cual nos lleva al concepto de distribución marginal.

En el caso de la v.a. bidimensional (X,Y), teniendo en cuenta que todos los sucesos bivariantes, correspondientes a los diferentes valores que puede tomar la v.a. bidimensional, es decir: (X=xi, Y=yj) i, j = 1, 2, 3, ....

eran sucesos mutuamente excluyentes, entonces podremos decir que el suceso univariante X=xi es la unión de todos los sucesos bivariantes (X=xi, Y=yj) para todos los valores posibles de yj.

Definición

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo discreto cuya distribución de probabilidad es pij=P(xi, yj). Entonces las distribuciones de probabilidad marginales, de X e Y, respectivamente vienen dadas por

La distribución de probabilidad marginal de X es la probabilidad de que X=xi con independencia del valor que tome Y, con lo que se puede escribir:

De forma análoga la distribución de probabilidad marginal de Y será:

 

Definición

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo discreto cuya distribución de probabilidad es pij = P(xi,yj). Entonces las funciones de distribución marginales de X e Y, se definen:

Si consideramos una v.a. bidimensional de tipo continuo (X,Y) se obtiene:

Definición. Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo, cuya función de densidad conjunta es f(x,y). Entonces las funciones de densidad marginales de X e Y, se definen:

Definición. Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo, cuya función de densidad conjunta es f(x,y). Entonces se definen las funciones de distribución marginales de X e Y como:

4. DISTRIBUCIÓNES CONDICIONADAS

Queremos conocer cómo se distribuye una de las variables cuando se imponen condiciones a la otra variable. En el tema anterior definiamos .

Ahora consideramos la v.a. bidimensional (X,Y), con su correspondiente distribución de probabilidad.

Se define la probabilidad condicionada de la v.a. discreta X dado Y=yj

En este caso yj es fijo y xi varía sobre todos los posibles valores de la v.a. X, obteniendo así la distribución de probabilidad de la v.a. discreta X bajo la condición Y=yj.

Análogamente la distribución de probabilidad condicionada de la v.a. discreta Y dado X=xi sería:

En este caso xi es fijo e yj varía sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y.

4. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS

Definición

Consideremos una v.a. bidimensional (X,Y) cuya función de distribución conjunta es F(x,y) y sus funciones de distribución marginales F1(x) y F2(y) respectivamente.

Se dirá que las v.a. X e Y son independientes si y sólo si se verifica que la función de distribución conjunta F(x,y) es igual al producto de sus distribuciones marginales, es decir:

Si X e Y son v.a. discretas, con distribución de probabilidad conjunta pij=P(xi,yj), y con distribuciones de probabilidad marginales Pi.=P(xi) y P.j=P(yj) respectivamente, entonces diremos que las v.a. son independientes si y sólo si se verifica:

Si X e Y son v.a. continuas, con función de densidad conjunta f(x,y) y funciones de densidad marginales f1(x) y f2(y) respectivamente, se dirá que las v.a. son independientes si y sólo si se verifica:

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