David Ruiz Muñoz y Ana María Sánchez Sánchez
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Capítulo VII PROBABILIDAD
1. Introducción
• Se indicaba en el capítulo anterior que cuando un experimento aleatorio se
repite un gran número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse
un número muy parecido de veces, lo cual indica que la frecuencia de aparición
de cada resultado tiende a estabilizarse.
• El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es
adquirido de forma intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida
corriente.
Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un
suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio. A esta medida la
llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por p(A).
La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:
• Al suceso imposible le corresponde el valor 0
• Al suceso seguro le corresponde el valor 1
• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1
El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde
distintos puntos de vista:
• El punto de vista objetivo
• Definición clásica o a priori
• Definición frecuentista o a posteriori
• El punto de vista subjetivo
2. Definición Clásica de la Probabilidad
Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron
(1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de
probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de
realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de
resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso.
La aplicación de la definicion clásica de probabilidad puede presentar
dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los
posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso
de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos
determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar
la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del
proceso de fabricación.
Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de
probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando
así a la definición frecuentista de probabilidad.
3. Definición Frecuentista de la Probabilidad
La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite
cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso.
Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimiento
un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar
como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.
Esta definición frecuentista de la probabilidad se llama también probabilidad
a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de
repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio
correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.
4. Definición Subjetiva de la Probabilidad
Tanto la definición clásica como la frecuentista se basan en las repeticiones
del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden
repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede aplicarse la
interpretación objetiva de la probabilidad.
En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no
dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un
concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual
sobre la posibilidad de que el suceso ocurra.
Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto
que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los
posibles resultados, igualmente válidos.
5. Definición Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas
las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de
axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de
probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y
matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada
por estadísticos y matemáticos en general.
Definición
6. Teoremas Elementales o Consecuencias de los Axiomas
Los siguientes resultados se deducen directamente de los axiomas de
probabilidad.
Teorema I
7. Probabilidad Condicionada
Hasta ahora hemos introducido el concepto de probabilidad considerando que la
única información sobre el experimiento era el espacio muestral. Sin embargo
hay situaciones en las que se incorpora información suplementaria respecto de
un suceso relacionado con el experimento aleatorio, cambiando su probabilidad
de ocurrencia.
El hecho de introducir más información, como puede ser la ocurrencia de otro
suceso, conduce a que determinados sucesos no pueden haber ocurrido, variando
el espacio de resultados y cambiando sus probabilidades.
Definición
8. Teorema de la Probabilidad Compuesta o Producto
9. Teorema de la Probabilidad Total
10. Teorema de Bayes
11.Independencia de Sucesos
