David Ruiz Muñoz y Ana María Sánchez Sánchez
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Capítulo VI DISTRIBUCIONES ALEATORIAS
1. Introducción
Dentro de la estadística se pueden considerar dos ramas perfectamente diferenciadas por sus objetivos y por los métodos que utilizan:
Estadística Descriptiva o Deductiva
Inferencia Estadística o Estadística Inductiva
• Se utiliza cuando la observación de la población no es exhaustiva sino sólo de un subconjunto de la misma de forma que, los resultados o conclusiones obtenidos de la muestra, los generalizamos a la población
• La muestra se toma para obtener un conocimiento de la población pero nunca nos proporciona información exacta, sino que incluye un cierto nivel de incertidumbre
• Sin embargo sí será posible, a partir de la muestra, hacer afirmaciones sobre la naturaleza de esa incertidumbre que vendrá expresada en el lenguaje de la probabilidad, siendo por ello un concepto muy necesario y muy importante en la inferencia estadística
• Según V. Barnett (1982): -La estadística es la ciencia que estudia como debe emplearse la información y como dar una guía de acción en situaciones prácticas que envuelven incertidumbre-. Las “situaciones prácticas que envuelven incertidumbre” son lo que nosostros llamaremos experimentos aleatorios.
2. Fenómenos Aleatorios
Un experimento es cualquier situación u operación en la cual se pueden presentar uno o varios resultados de un conjunto bien definido de posibles resultados.
Los experimentos pueden ser de dos tipos según si, al repetirlo bajo idénticas condiciones:
Determinístico
Se obtienen siempre los mismo resultados.
Ej: medir con la misma regla e identicas condiciones la longitud de una barra
Aleatorio
No se obtienen siempre los mismo resultados.
Ej: el lanzamiento de una moneda observando la sucesión de caras y cruces que se presentan
Las siguientes son características de un experimento aleatorio:
• El experimento se puede repetir indefinidamente bajo idénticas condiciones
• Cualquier modificación a las condiciones iniciales de la repetición puede modificar el resultado
• Se puede determinar el conjunto de posibles resultados pero no predecir un resultado particular
• Si el experimento se repite gran número de veces entonces aparece algún modelo de regularidad estadística en los resultados obtenidos
3. Espacio Muestral
Se denomina resultado básico o elemental, comportamiento individual o punto muestral a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Los resultados básicos elementales serán definidos de forma que no puedan ocurrir dos simultáneamente pero si uno necesariamente.
Se denomina conjunto universal, espacio muestral o espacio de comportamiento E al conjunto de todos los resultados elementales del experimento aleatorio. Pueden ser de varios tipos:
Espacio Muestral Discreto
Espacio muestral finito Espacio muestral infinito numerable
Espacio Muestral Continuo
Si el espacio muestral contiene un número infinito de elementos, es decir, no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre E y N.
Ejemplo:
Experimento aleatorio consistente en tirar una bola perfecta sobre un suelo perfecto y observar la posición que ocupará esa bola sobre la superficie. E={Toda la superficie del suelo}
4. Sucesos
Un suceso S es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio.
Diremos que ocurre o se presenta el suceso cuando al realizarse el experimento aleatorio, da lugar a uno de los resultados elementales pertenecientes al subconjunto S que define el suceso
Se pueden considerar cuatro tipos de sucesos según el nº de elementos que entren a formar parte:
• Suceso elemental, suceso simple o punto muestral es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio luego los sucesos elementales son subconjuntos de E con sólo un elemento
• Suceso compuesto es aquel que consta de dos o más sucesos elementales
• Suceso seguro, cierto o universal es aquel que consta de todos los sucesos elementales del espacio muestral E, es decir, coincide con E. Se le denomina seguro o cierto porque ocurre siempre.
• Suceso imposible es aquel que no tiene ningún elemento del espacio muestral E y por tanto no ocurrirá nunca. Se denota por .
5. Operaciones con sucesos
Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus operaciones se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a un experimento aleatorio y por tanto serán subconjuntos del espacio muestral E.
Suceso Contenido en Otro
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
Diremos que A está incluido en B si:
Cada suceso elemental de A pertenece también a B, es decir, siempre que ocurre el suceso A, también ocurre el suceso B.
Diremos también que A implica B.
Igualdad de Sucesos
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
Diremos que A y B son iguales si:
Siempre que ocurre el suceso A también ocurre B y al revés.
Unión de Sucesos
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
La union de ambos sucesos A y B es:
Otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes a A, a B, o a los dos a la vez (intersección).
En general, dados n sucesos A1, A2, A3,..., An, su unión es
otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesos Ai.
Intersección de Sucesos
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
La intersección de ambos sucesos A y B es:
Otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elementales que pertenecen a A y a B, simultáneamente.
En general, dados n sucesos A1, A2, A3,..., An, su intersección es otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesos Ai.
Sucesos Disjuntos, Incompatibles o Excluyentes
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
Diremos que estos sucesos A y B son disjuntos,
incompatibles o mutuamente excluyentes cuando:
No tienen ningún suceso elemental en común o dicho de otra forma, si al verificarse A no se verifica B, ni al revés.
Sistema Exhaustivo de Sucesos
Dados n sucesos A1, A2, A3,..., An de un experimento aleatorio:
Diremos que estos forman una colección o sistema exhaustivo de sucesos si la unión de todos ellos es igual al espacio muestral E.
Diremos que estos forman un sistema completo de sucesos o una partición de E si, además de la anterior, condición, se cumple que son disjuntos dos a dos, es decir, son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles.
El conjunto de todos los sucesos elementales que constituyen un espacio muestral forman una colección de sucesos mutuamente excluyente y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uno debe ocurrir y no pueden ocurrir dos simultáneamente.
Suceso Complementario o Contrario
Dado un suceso A de un experimento aleatorio:
Se define como suceso complementario o contrario de A a:
Otro suceso que ocurre cuando no ocurre el suceso A, o bien, es el suceso constituido por todos los sucesos elementales del espacio muestral E que no pertenecen a A.
Diferencia de Sucesos
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
Se define como la diferencia de ambos sucesos A y B a:
Otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B.
Diferencia Simétrica de Sucesos
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio:
Se define como diferencia simétrica de ambos sucesos A y B a:
Otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, o a B, pero que no simultáneamente a ambos.
6. Propiedades de las Operaciones con Sucesos
Los sucesos asociados a un experimento aleatorio verifican las siguientes propiedades:
7. Sucesión de Sucesos
Límites Inferior y Superior de una Sucesión de Sucesos
El límite inferior de la sucesión es un suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesos de la sucesión excepto quizá a un número finito de sucesos
El límite superior de la sucesión es un suceso formado por todos los resultados o sucesos elementales que pertenecen a una infinidad de sucesos de la sucesión
En el supuesto que se verifique diremos que la sucesión es convergente y se expresa como:
8. Algebra de Sucesos
Como se ha venido observando, los sucesos los consideramos como conjuntos, siendo válido para éstos todo lo estudiado en la teoría de conjuntos. Para llegar a la construcción axiomática del Cálculo de Probabilidades, necesitamos dar unas estructuras algebraicas básicas construidas sobre los sucesos, de la misma manera que se construyen sobre los conjuntos.
Colección de Conjuntos o Sucesos
Es otro conjunto cuyos elementos son conjuntos y lo llamaremos conjunto de las partes de E, es decir, A=P(E) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de E o por todos los sucesos contenidos en el espacio muestral E.
Algebra de Sucesos o Algebra de Boole
Sea A=P(E) una colección de sucesos donde se han definido las operaciones:
- Unión de sucesos - Intersección de sucesos - Complementario de un suceso
y que ademá verifican las propiedades definidas al exponer las operaciones con sucesos.
Diremos que la colección de sucesos no vacia A tiene estructura de Algebra de Boole si A es una clase cerrada frente a las operaciones de complementario, unión e intersección de sucesos en número finito, es decir si se verifican las condiciones siguientes:
• se verifica que su complementario
• se verifica que
• Lo relativo a que la intersección sea cerrada y que el número de sucesos sea finito se obtiene como consecuencia de las condiciones anteriores, como ahora se indicará
Si hacemos la extensión al caso de un número infinito numerable de sucesos, entonces aparece una nueva estructura algebraica que recibe el nombre de -Algebra o Campo de Borel, que es una generalización de la anterior.
Cuando el espacio muestral E es finito, todos los subconjuntos de E se pueden considerar como sucesos. Esto no ocurre cuando el espacio muestral es infinito (no numerable), pues es difícil considerar el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles, existiendo subconjuntos que no pueden considerarse como sucesos.
En resumen, podemos decir que a partir del espacio muestral E, hemos llegado a definir la colección de sucesos A=P(E) que tiene estructura de Algebra de Sucesos o Algebra de Boole si el espacio muestral es finito o bien tiene la estructura de -Algebra si el espacio muestral es infinito.
Al par (E, A) en donde E es el espacio muestral y A una -Algebra sobre E, le llamaremos espacio o conjunto medible, en el cual será posible establecer una medida o probabilidad, como se verá después.
9. Métodos de Enumeración o Conteo
Las siguientes son algunas técnicas útiles para contar el número de resultados o sucesos de un experimento aleatorio.
Tablas de Doble Entrada
Diagramas de árbol
Este diagrama nos permite indicar de manera sencilla el conjunto de posibles resultados en un experimento aleatorio siempre y cuando los resultados del experimento puedan obtenerse en diferentes fases sucesivas.
Ej: Experimento aleatorio consistente en lanzar al aire un dado y después 3 veces consecutivas una moneda.
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones
Combinaciones
Llamaremos combinaciones de m elementos
tomados de n en n al número de subconjuntos diferentes de n elementos que se pueden
formar con los m elementos del conjunto inicial
Combinaciones con repetición
Si en los subconjuntos anteriores se pueden
repetir los elementos
Variaciones
Llamaremos variaciones de m elementos
tomados de n en n a los distintos subconjuntos diferentes de n elementos que se pueden formar
con los m elementos, influyendo el orden en el
que se toman
Variaciones con repetición
Si en los subconjuntos anteriores se pueden
repetir los elementos
Permutaciones
Llamaremos permutaciones de n elementos a las variaciones de n elementos tomados de n en n
Permutaciones con repetición
Llamaremos permutaciones con repeticion de n elementos k-distintos que se repiten uno x1 veces, otro x2 veces, ... y el último xk veces
