ECONOMÍA DE LA EMPRESA: ideas clave
Jorge Isauro Rionda Ramírez
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SESIÓN 3: DERIVACIÓN DE LOS MÍNIMOS
CUADRADOS
Se parte de indicar que una observación a un valor estimado
tiene un error i-ésimo (ei) dentro de que dicho valor en
coordenadas “x” y “y” se expresa:
yi = α + βxi + ei así el error i-ésimo es: ei = yi - α - βxi
El interés es minimizar el error a cero (0) por lo que se deben
sumar el total de los errores de una forma que exprese la
desviación absoluta promedio del valor estimado expresado como:
yi = α + βxi como dato estimado, y como función y = a + bx
Las observaciones que quedan por encima de la recta observada
tienen un residual positivo. Las observaciones que quedan por
debajo de la recta dan un residual negativo. Si esta recta pasa
geométricamente a la misma distancia existente entre las
observaciones que están por encima y las que están por debajo de
ella, entonces la suma de de los residuales (ei) positivos es
igual a la suma de residuales negativos (ei) negativos:
∑ ei (+) = ∑ ei(-) o como: ∑ ei (+) + ∑ ei (-) = 0
Para evitar que se cancelen los residuales positivos con los
negativos nos valemos de un truco matemático de elevar al
cuadrado cada residual, así los valores positivos resultan en
positivos. Con ello ya podemos proceder a sumar el valor
absoluto de los residuales:
∑ ei^2 = ∑ (yi - - xi)^2 donde el gorrito (^) sobre la α y la β
indican “a estimar”.
Ahora, deseando minimizar el valor de la función de los errores
obtenidos, se aplica el cálculo infinitesimal donde la primera
derivada de la función igualada a cero, para la derivada parcial
de y la derivada parcial de dan los valores críticos de la
función:
∑ ei^2 por lo que
d∑ ei^2 (2) (-1) ∑ (yi – a – xbi)
-------- = -----------------------------
da (2) (-1)
Se iguala a cero (0) y se despeja : ∑ (yi - a - bxi) = 0
∑yi – na - bnX = 0
(siendo que ∑ Zi = nZ)
Siendo X media aritmética
nb - na - bnX
---------------------------- = 0 …
n
Y – a – bX = 0 Donde Y – bx menor o igual a alfa (a)
Se procede ahora bajo el mismo procedimiento a obtener beta (b):
∑ei2
--------- = (2) (-xi) ∑(yi- a - bxi) = 0
db
∑ xiyi - a∑xi - b∑xi^2 = 0
∑ xiyi = a∑xi + b∑xi^2
(siendo que ∑ zi = nZ)
∑ xiyi = anX+b∑xi 2 sustituyendo “a” se tiene:
∑ xiyi = (Y -bX)nX + b∑xi^2
∑ xiyi = nXY - nbX^2 + ∑xi2
∑ xiyi – nXY = b∑xi2 - bXn^2
∑ xiyi – nYX = b(∑xi2-nX^2)
∑xiyi - nXY
b = -----------------
∑xi^2 – nX^2
a = Y - bX
No obstante, los rendimientos son efecto siempre de aplicar una
factor de la producción o más variables a un solo factor fijo,
digamos aplicar el capital y el trabajo a la tierra, los dos
primeros son factores variables de la producción y el último es
el fijo. Cuando el factor fijo es muy abundante (alta densidad)
en relación a la intensidad en que se usa el factor variable,
digamos la tierra respecto a la mano de obra el trabajo
independiente siempre da un producto menor al promedio del
trabajo organizado. Así, si dos trabajadores trabajan de forma
independiente la tierra cada uno puede obtener un docena de
fanegas de maíz por hectárea en un ciclo agrícola, así el
producto de ambos es de 20 fanegas.
Pero si ambos trabajadores se coordinan y unen de forma
organizada su trabajo seguramente el producto obtenido es mayor
a 20 fanegas. Esto sucede en la primer fase de la producción
donde el producto promedio es mayor al producto de cada
trabajador independiente o marginal. Y es efecto a que al factor
fijo aún no se le aplica el factor variable con suficiente
intensidad. Pero si seguimos reclutando trabajadores la tierra
se va saturando hasta el grado que el producto promedio es cada
vez menor y llega a igualarse al marginal. Aqui se marca un
punto de inflexión. Los rendimientos marginales matemáticamente
se pueden obtener de la primera derivada parcial de una variable
independiente respecto a la dependiente. δX/δL que marca la
contribución marginal del trabajo L al valor del producto X.
En la gráfica siguiente en el cuadrante noroeste se observa la
conducta de la función de producción para el factor variable del
trabajo, y en el cuadrante noreste la misma para le factor
variable capital. Los puntos A´y B´ en el cuadrante noroeste y
los C´y D´ indican los puntos críticos donde la función cambia
de conducta, marcando las tres fases de la producción.
Nos concentraremos en el cuadrante noroeste donde vemos que la
primera fase de la producción va del origen (0) al punto A´
donde los rendimientos marginales son crecientes positivos. En
el punto de inflexión A´se vuelven constante positivos para que
a partir de dicho punto hasta el B´ donde inicia la segunda
etapa de la producción se observan rendimiento marginales
decrecientes positivos. En el punto B´ el rendimiento es nulo y
a partir de dicho momento se tiene la tercera etapa de la
producción con rendimientos crecientes negativos.
En el cuadrante suroeste vemos como los rendimientos marginales
se comportan, durante la primera etapa de manera ascendente
hasta el punto A que indica el valor máximo para luego observar
descendencia hasta el punto B donde el rendimiento marginal del
i-ésimo trabajador reclutado fue nulo. En la tercera etapa el
rendimiento es negativo. En el panel sureste se tiene lo mismo
pero para el caso del factor capital.
Durante la primera etapa de la producción se tiene subempleo del
factor variable respecto al fino, en el punto A se marca donde
inicia la saturación del factor variable respecto al fijo hasta
el punto B de pleno empleo.
La función de producción .
El primer acercamiento que se tiene a la modelación de la
función de producción fue planteada por los fisiócratas, quienes
explicaron el rendimiento de la tierra agrícola. De estos
destaca el trabajo de David Ricardo respecto a la estipulación
de la renta obtenida de la producción agrícola con base a la
influencia que tienen las nuevas tierras marginales adicionadas
recientemente por el agotamiento de la tierra como la expansión
continua de la demanda de los productos agrícolas. Es David
Ricardo el primero en observar el rendimiento decreciente en la
producción de los factores variables, capital y trabajo.
La enunciación de la función de producción clásica se redujo
solo a postulados respecto al rendimiento marginal decreciente
de los factores productivos variables respecto al fijo, la
teoría microeconómica retoma modernamente tal función a través
de los trabajos de Cobb y Douglas.
En este planteamiento el autor introduce coeficientes técnicos
de la producción por cada factor de la producción de tal manera
que cada uno de éstos numerales indica el grado en que cada
unidad utilizada en la producción de un producto X contribuye al
valor de la producción total Q.
Algebraicamente esto se representa como Q = aT^b*L^cK^d
donde a, b, c y d son los coeficientes técnicos de la producción
y T son los recursos natuales o tierra, L el trabajo y K el
capital y se obtienen como la primer derivada parcial del factor
productivo respecto al valor total de la producción y miden la
contribución marginal de cada unidad utilizada del factor X
respecto al valor total de la producción Q, se obtienen de la
siguiente forma:
a = es una constante en la producción.
b = δT/δQ: contribución marginal de cada unidad utilizada de T
respecto al valor total producido Q. (PMgT)
c = δL/δQ:contribución marginal de cada unidad utilizada de L
respecto al valor total producido Q. (PMgL)
d = δK/δQ:contribución marginal de cada unidad utilizada de K
respecto al valor total producido Q. (PMgK)
La ley de rendimientos marginales decrecientes se expresa cuando
cada unidad adicional de los insumos involucrados en la
producción de un bien aporta cada vez menos al valor total de la
producción. Cuando la productividad marginal de cada insumo se
anula es el tope del máximo de producción al que puede aportar
este insumo, donde las contribuciones marginales de cada unidad
de los insumos de la producción es nula es precisamente donde se
logra el nivel máximo de producción.
Necesariamente la curva de oferta es la expresión de la función
Qo = aTbLcKd donde Qo es la oferta en términos reales de la
empresa, donde la restricción a la expansión de la oferta es de
carácter técnico con base al rendimiento marginal de cada insumo
en la producción.
La curva de oferta describe una conducta similar a la de la
curva de producción pero en la fase de la segunda etapa de la
producción donde siendo el rendimiento marginal menor al
promedio de cada insumo la curva de producción expresa
rendimientos marginales positivos decrecientes.
Autores clásicos y neoclásicos:
David Ricardo (1772-1823)
Philip H. Wicksteed (1844 - 1927)
C. W. Cobb - Douglas
LOS COSTOS TOTALES, MEDIOS Y MARGINALES
Los costos son de tres tipos: pertinentes, de oportunidad y
económicos.
Los costos pertinentes son aquellos en los que se incurre cuando
se realiza la producción como parte de la misma, mientras que
los de oportunidad son los costos que implica aquello a lo que
renunciamos por hacer algo, o bien por la asignación que se da a
las cosas. Los llamados económicos son la suma de los costos
pertinentes mas los costos de oportunidad, lo que es lo mismo,
los costos implícitos más los explícitos.
Un ejemplo de esto es el suponiendo, los costos que una familia
tiene como pertinentes al enviar a estudiar a la Universidad a
uno de sus vástagos son $2000 al mes, para estudiar el nuevo
estudiante ha dejado de trabajar y de percibir una renta de
$3500 al mes, este es el llamado costo de oportunidad. Entonces
el costo económico en el que incurre la familia es de $5500
mensuales.
Dentro de los llamados costos pertinentes o implícitos se tiene
dos tipos: los variables (CV) y los fijos (CF). Los costos
variables son aquellos que varían en directa proporcionalidad
con la escala productiva, mientras que los fijos están
disociados de la producción, independientemente de lo que se
produzca siempre se incurre en ellos.
En el corto plazo los costos totales describen una función
lineal del tipo Ct = Cf + Cv * Q, y es una recta ascendente con
pendiente positiva, puede originarse desde el origen si los
costos fijos no existen, o bien en orden al origen en la recta
positiva de un plano cartesiano si existen costos fijos, la
pendiente de la curva la marcan los costos variables.
En el largo plazo los costos totales describen una curva
ascendente con incrementos marginales crecientes positivos del
tipo de una función potencia donde el valor exponencial es mayor
a 1, del tipo de Ct = aQ^b
Se puede considerar que "a" es el valor exponencial de los
costos fijos y "b" corresponde al mismo de los variables y con
un valor mayor a 1(+).
El costo total en el largo plazo tiene su expresión relativa en
los llamados costos medios (CMe) o promedio, el costo medio
variable (CMeV) y costos marginales (Cmg) los cuales se obtienen
como:
CMe = Ct / Q y
CMg = δCt / δQ
CMeV = (Ct - Cf) / Q
Los costos medios y marginales:
En la gráfica anterior se pueden apreciar las tres curtas que
describen la conducta del costo medio total, el costo medio
variable y el costo marginal. Las intersecciones de las curvas
CMg con CMeV donde se marca el punta A, y el cruce de las líneas
CMg con el CMeT donde se marca el punto B, indican los puntos
donde se absorben los costos fijos (en el punto A) y donde se
absorben los costos totales de la empresa (punto B).
El punto A es el punto de la mínima pérdida pues indica la
escala de producción Q mínima para absorber los costos fijos, a
una factoría en números rojos no se le aconseja cerrar si al
menos absorbe sus costos fijos, si cierra pierde más. Pero si no
absorbe si quiera los costos fijos lo recomendable es parar la
producción.
El punto B es el punto de equilibrio donde los ingresos totales
de la empresa igualan sus costos totales, no se gana ni se
pierde. A partir de dicho punto las ventas adicionales de Q
aportan a los beneficios totales de la empresa.
LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DERIVADA DE LOS COSTOS MARGINALES
Ingreso Medio y Demanda:
El ingreso total de una empresa es le número
de ventas (Q) del un bien por su precio unitario (P). Esto es It
= P * Q. El ingreso medio (IMe) es simplemente el ingreso total
(It) entre el número de ventas (Q), esto es IMe = PQ/Q = P.
Como ya se vio en temas pasados la función de demanda se obtiene
de una ecuación lineal bivariable P = a - b Q, por lo que el
Ingreso Medio es igual a la función demanda, esto es el precio
de la empresa en razón de la cantidad demandada.
La función del Ingreso total es PQ = (a - bQ) * Q = aQ - bQ2
El ingreso medio es a - bQ
Y el ingreso marginal (IMg) es la primera derivada de la función
del Ingreso total (It):
δIt/δQ = a - 2bQ, lo que indica que el IMg tiene el doble de
pendiente del IMe.