Arnulfo Arturo García Olivares
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Apéndice 4: Gestión Deterministica de inventarios :
Todo primer intento de estudio del problema de gestión de inventarios en situaciones de retomo de material va a pasar por suponer una situación deterministica. Mientras que en el caso tradicional de gestión de inventarios el modelo EOQ (formula de Wilson) es el punto de partida para este tipo de situaciones, en el caso que nos ocupa este papel lo ocupa el denominado modelo de Schrady . Este modelo, pionero en 1967 del estudio de la gestión de stocks con productos retomados, puede considerarse como la base de toda una serie de modelos que posteriormente han ido surgiendo, y que han ido introduciendo diversas variantes sobre las hipótesis iniciales del modelo básico.
A4.1.- Formulación básica: el modelo de Schrady.
El modelo propuesto por Schrady (1967) surgió no como una respuesta a la gestión de productos retomados por la preocupación por el medio ambiente, sino (como en muchos de los resultados pioneros relacionados con la dirección de operaciones) de las necesidades del ejercito norteamericano. La teoría clásica de inventarios es apropiada para gestionar los consumibles, pero no es valida para controlar los artículos reparables que volvían a los almacenes de la Armada. Estos representaban solo un 7% de los productos almacenados, pero por el contrario suponían el 58% del valor de lo almacenado (lógicamente, los productos de mayor valor suelen estar diseñados para poder repararse).
La solución aportada por Schrady, además de suponer perfectamente conocidos (determinismo) los tiempos de suministro y la demanda (la cual se recibe a un ritmo constante), no acepta roturas de stock, y supone capacidad infinita por parte del proveedor y del taller de reparación (con llegadas y salidas instantáneas de material de los almacenes). Su objetivo será (de modo similar a lo hecho en el modelo EOQ) determinar cuales son los lotes QP y QR que hacen mínimos los costes de posesión y pedido para ambos almacenes. El sistema analizado es el (1, R) de sustitución.
Analizando la Figura 1, observamos que:
• Al ser la tasa de demanda D unidades/año, las QP unidades que se reciben del proveedor se consumen en QP/D años, y los lotes de tamaño QR que se reciben desde el taller de reparación se consumen en QR/D años.
• En la Figura 1 se ve que el tiempo Ta durante el cual se recibe material del cliente sin que salga material del almacen de reparables, es igual al tiempo durante el que se esta recibiendo material del proveedor (QP/D años) mas el tiempo necesario para consumir un lote de reparables (QR/D años).
• El máximo nivel de inventario que tendremos en el almacen de reparables será, dado que llegan a un ritmo r x D y lo hacen durante un tiempo Ta = (QP + QR)/D, igual a r x (QP + QR) unidades.
• Cada vez que sale un lote de tamaño QR del taller de reparables, durante los QR/D años que se tardan en consumir en el almacen final habrán llegado al almacen de reparables r x D x (QR/D) = r x QR unidades. Por tanto, el nivel de stock de reparables habrá disminuido en = QR - (r x QR) = QR x (1 - r) unidades.
• Una vez enviado el primer lote QR al final del periodo Ta, quedaran: r x (QP + QR) – QR = QP – (1 - r) X QR unidades en el almacen de reparables. Al ritmo de decrecimiento de (1 - r) x QR unidades por cada lote enviado desde ese almacen, el numero de lotes enviados (R - 1, pues el primero ya se ha restado antes) necesarios para agotar todas esas existencias de reparables será:
Es decir, el número total de lotes enviados en cada ciclo al almacen final desde el de reparables es:
Nótese que este cociente no tiene por que dar un valor entero, cuando en realidad si debería serlo, pues indica un «numero de lanzamientos». Sin embargo, el error (resto del cociente) al suponer que es entero cuando no lo sea es siempre menor que el denominador (1 - r) x QR, y Schrady lo supone despreciable.
• El tiempo de ciclo T entre llegada y llegada de lotes del proveedor al almacen final será el tiempo necesario para consumir los R lotes, cada uno de tiempo QR/D, que vienen del almacen de reparables, es decir, años), mas el QP/D necesario para agotar el lote QP. Será, pues,
Una vez estimados los distintos tiempos y valores asociados a la evolución de los inventarios en el modelo de Schrady que hemos resumido en la Figura 1, estamos en condiciones de calcular cuales son los lotes óptimos QP y QR que minimizan los costos totales. Veamos cuales son estos costos. Como es habitual, calcularemos el coste total anual.
1. Costo anual de pedido al proveedor. En cada ciclo de periodo T se hace por definición un único pedido. Como se hacen 1/T pedidos al año, el costo anual será CLP/T = CLP x (1-r) x D/QP
2. Costo anual de pedido al taller de reparación. En cada ciclo se procesan R lotes de reparables. Por tanto, el costo por ciclo será R x CLR = CLR x r x QP/ [(1-r) x QR]. Como se hacen 1/T ciclos al año, el costo anual será R x CLR/T = CLR x r x D/QR
3. Costo anual de posesión de inventario en el almacen final. El área bajo el nivel de existencias en el almacen final durante el ciclo T es:
Al dividir esta área entre el periodo T (la base del área calculada) se obtiene cual seria el numero medio de unidades que se mantienen en stock al cabo del año. Por tanto, el costo de posesión anual será:
4. Costo anual de posesión de inventario en el almacen de reparables. El área bajo el nivel de inventario en el almacen de reparables durante el ciclo T es:
Actuando como antes, el coste de posesión por ciclo será:
Se tiene, pues, que el coste total anual será la suma de esos cuatro costos;
Finalmente, para determinar los lotes óptimos que buscamos, bastara hallar la derivada respecto a esa variable y ver para qué valores se anula:
de donde se obtiene el lote optimo
y para la otra variable,
obteniendo el lote optimo
Ambas ecuaciones determinan la solución del modelo de Schrady, el cual es en efecto una extensión del modelo EOQ: cuando no hay retomo de material (r = 0), el valor QP* se corresponde exactamente con la formula de Wilson; cuando el cliente retoma todo lo que consume (r = 1), es QP* = 0 y no se recibe nada del proveedor.
Una vez determinados los lotes óptimos para cada almacen, para que quede totalmente definida la política de inventarios solo resta por identificar cual es el punto de pedido en cada caso. Schrady lo define del siguiente modo:
• En el caso del almacen final, el modo mas adecuado de definir el momento de lanzar un pedido por QP* unidades al proveedor es (en lugar de hacerlo a través de un punto de pedido que resultaría ambiguo), identificar cuanto tiempo R después de recibir el ultimo pedido debe pasar para realizar el siguiente pedido. Obviamente, para que llegue justo T años después, habrá que pedirlo cada T - P anos después de recibir el pedido anterior. Sin embargo, como pudiera ser P > T, en ese caso tendríamos que haber hecho el pedido que llegara a continuación, incluso antes de haber recibido el anterior, en concreto, en [P /T] periodos antes . Por tanto, en general será R = ([P /T] + 1) x T - P.
• En el caso del almacen de reparables, si se puede definir el punto de pedido R respecto al nivel de existencias en el almacen final. Cada vez que falten R años para que se agote el stock, deberá lanzarse un pedido al almacen de reparables por una cantidad QR*. Por tanto, cuando R < QR/D es R = R x D unidades (vease Figura 1). De nuevo, podría ocurrir que R QR/D. Razonando como antes se tiene que en este caso es mod [R / (QR/D)] la fracción de la base de uno de los R triángulos en la que hay que hacer el pedido (vease el ejemplo adjunto), y, por tanto, el punto de pedido será R = mod [R / (QR/D)] x D.
En cualquier caso, como no puede llegar un pedido del almacen de reparables mientras llega material del proveedor, si al aplicar estas formulas ocurriera eso, se suspende la llegada del material reparable hasta completar la recepción
A4.2.- Ejemplo de aplicación del modelo de Schrady
Vamos a ver un ejemplo de como se aplican: las formulas de Schrady a un problema con retomo de material.
Una empresa de electrodomésticos tiene una demanda anual de D = 20.900 unidades.
Cuando los clientes compran un nuevo aparato, la tienda les retira el equipo viejo, retornando así un 70% (r = 0,7) de los equipos a la empresa. De los equipos recogidos, tras la oportuna reparación, se consigue que uno de sus componentes fundamentales, la fuente de alimentación, pueda ser utilizada en los nuevos equipos que se fabriquen. Este componente puede ser comprado directamente a un fabricante que lo sirve en 90 días (P = 0,247 años) después de hacer el pedido. Cada vez que se hace un pedido al fabricante se incurre en un costo CLP = 750 UM , y su valor es de 60 UM, por lo que, al suponerse una tasa de costo de posesión del 20 %, se tiene un ChP = 12 UM en el almacen final. En el almacen de reparables, cada fuente se supone con un valor de 5 UM, por lo que ChR = 1 UM. Las fuentes «reparadas» y ya en el almacen final, se suponen indistinguibles de las compradas nuevas. Iniciar un lote en el taller de reparación (que se considera con capacidad ilimitada) se supone que tiene un costo de preparación CLR = 100 UM. Desde que se inicia la reparación de un lote (sacándolo del almacen de reparables) hasta que se entrega el lote en el almacen final pasan 17 días (R = 0,04657 años).
Vamos a calcular cual seria la política de gestión de este sistema usando el modelo de Schrady. Aplicando las formulas de lote óptimo para cada almacen se obtiene:
Por tanto, el ciclo T entre llegada y llegada de pedidos del fabricante es T =1479/(0.3 x 20900) = 0.2359 años (es decir 86 días). y el tiempo Ta en que solo se recibe en el almacen de reparables y no sale nada es Ta = (1.479 + 567)/20900 = 0.0979 (36 días) Al final de periodo T, el nivel máximo de existencias en el almacen de reparables es 0.7 x (1479 + 567) = 1432, que tras el inmediato primer envió al taller de reparación quedan en 1432 – 567 = 865 unidades. Salvo durante el periodo Ta sale material del almacen de reparables cada 567/20900 =0.0271 (10 días), disminuyendo en cada ocasión el nivel de existencias en ese almacen en = 567 x (1 – 0.7) = 170 unidades. Por tanto, para agotar las 865 unidades a ese ritmo, harán falta 865/170 = 5 envíos en efecto es R = [0.7/(1 – 0.7)] x (1479/567) = 6 (en realidad el cociente da 6.086 pero ese error es asumido por el modelo de schrady como aceptable - vease figura 2 -). En el almacen final, se consume exclusivamente material recibido del proveedor durante un tiempo 1479/20900 = 0.07 ( días).
Respecto a los puntos de pedido, en el caso del proveedor tenemos que P/T = 0.247/ 0.2359 = 1047, y por tanto R = ([1.047] + 1) x 0.2359 – 0.247 = 0,2248 años (82 días), Es decir, cada vez que se recibe un pedido 82 días después se lanza otro por una cantidad de QP = 1479 unidades, el cual se recibirá 90 días después (posteriormente al pedido lanzado la vez anterior). Para el caso del almacen de reparables, es R = 0.04657 QR /D = 0.0271. Por tanto, hemos de usar el segundo procedimiento de calculo del punto de pedido R: como 0.04657/0.0271 = 1.717 es mod [R / (QR/D)] = mod [0.04657/0.0271] = 0.04657 - (1 x 0.0271) = 0.0194 y por tanto R = 0.0194 x 20900 = 406. Es decir, cada vez que las existencias en el almacen final bajen a 406, se hace un pedido al almacen de reparables (el cual llegara posteriormente al anteriormente lanzado según se ve en la figura 2).
Usando la formula de calculo del costo CTaño para los valores recién obtenidos, se obtiene un costo total CTaño =11519.46 UM. Un sencillo análisis de sensibilidad variando los tamaños de los lotes en incrementos del 5% (de 30 en 30 en el caso QR, y en saltos de 74 en el caso QP) revela que los incrementos de porcentaje en el costo total crece menos (al igual que en el modelo EOQ) al sobredimensionar los lotes que al infradimensionarlos: Nota: Este apéndice es mencionado en el inciso 3.3 y se menciona también en las conclusiones como un primer paso para abrir una nueva línea de investigación.
Solución al caso de aplicación del modelo Schrady del ejemplo
