Leonid Vitaliyevich Kantorovich

Las matemáticas en la economía: Logros, dificultades, perspectivas

Me siento muy conmovido por el alto honor que se me ha conferido y feliz ante la oportunidad de aparecer aquí como uno de los participantes en esta honorable serie de conferencias.

En nuestra época, las matemáticas han penetrado en la economía de modo tan sólido, generalizado y diversificado, y el tema escogido está relacionado con tal diversidad de hechos y problemas, que nos sentimos inclinados a citar las palabras de Kozma Prutkov, muy populares en mi país: “no podemos abarcar lo inabarcable”. La aplicabilidad de esta sabia oración no disminuye por el hecho de que el nombre del gran pensador sea sólo un seudónimo.

Quiero pues restringir mi tema a los elementos que me quedan más cerca, sobre todo a los modelos de optimación y su empleo en el control de la economía a fin de lograr el uso mejor de los recursos para obtener los resultados mejores. Me ocuparé principalmente de los problemas y las experiencias de una economía planeada, sobre todo la economía soviética. Aun dentro de estos límites, sólo podré considerar unos cuantos problemas.

I. Peculiaridades específicas de los problemas considerados

Antes de discutir los métodos y los resultados, me parece que convendrá hacer alguna referencia a las peculiaridades específicas de nuestros problemas. Estas peculiaridades son distintivas de la economía soviética y muchas de ellas aparecieron ya en los años inmediatamente siguientes a la Revolución de octubre. Entonces, por primera vez en la historia, todos los medios principales de producción pasaron a manos del pueblo y surgió la necesidad de un control centralizado y unificado de la economía del vasto país. Esta necesidad aparecía en condiciones sociales muy complicadas y afrontaba algunas peculiaridades específicas. Los problemas siguientes se relacionan con la teoría económica y con la práctica de la planeación y el control.

1) En primer lugar, se modificó el propósito principal de la teoría económica. Surgió la necesidad de pasar del estudio y la observación de los procesos económicos y de las medidas de política económica aislada al control sistemático de la economía, a la planeación común y unificada, basada en los objetivos comunes y referida a un amplio horizonte de tiempo. Esta planeación debe ser tan detallada que incluya tareas específicas para empresas individuales en periodos específicos y debe garantizar la consistencia común de todo este gigantesco conjunto de decisiones.

Es claro que un problema de planeación en tal escala aparecía por primera vez, de modo que su solución no podría basarse en la experiencia ni en la teoría económica existentes.

2) La ciencia económica no debe producir sólo conclusiones referentes a problemas económicos generales relacionados con la economía nacional en conjunto, sino que debe servir de base a las soluciones relativas a empresas y proyectos singulares. En consecuencia, necesita la información y metodología adecuadas para producir decisiones congruentes con las metas generales y con los intereses de la economía nacional. Por último, la ciencia económica no debe aportar sólo recomendaciones cualitativas generales sino también métodos cuantitativos concretos y suficientemente precisos que puedan proveer la elección objetiva entre decisiones económicas.

3) Junto con los flujos y los acervos de materiales de las economías capitalistas se han estudiado y observado directamente algunos índices económicos importantes tales como los precios, las rentas, la tasa de interés en sus propiedades estáticas y dinámicas. Los índices mencionados sirven de base a todos los cálculos económicos, a la agregación y para la construcción de los índices sintéticos. Se puso en claro que una economía consistentemente planeado no podrá funcionar sin indicadores descriptivos de los aspectos análogos. Estos indicadores no podrían observarse aquí, de modo que se daban como directrices normativas. Sin embargo, el problema de su cálculo no quedaba restringido sólo por los aspectos técnicos del cálculo y las estadísticas. Es importante que en las condiciones nuevas los indicadores similares reciban un sentido y una importancia muy diferente, y así surgieron algunos problemas relativos a su naturaleza, papel y estructura. Por ejemplo, resultaba discutible el hecho de que debiera existir la renta de la tierra en una sociedad donde la tierra estaba en posesión del pueblo o que un indicador como la tasa de interés tuviera el derecho a la existencia.

4) Los problemas anteriores ponen de manifiesto otra peculiaridad de la economía planeada. Es evidente que la economía de tal escala y complejidad no puede ser centralizada “hasta el último cavo”, de modo que una parte considerable de las decisiones debe abandonarse a los niveles inferiores del sistema de control.

Las decisiones de diversos niveles de control y provenientes de lugares diferentes deben enlazarse mediante relaciones de balances de materiales y perseguir el objetivo principal de la economía.

El problema consiste en construir un sistema de información, contabilidad, indicadores y estímulos económicos, que permita a los órganos locales de toma de decisiones evaluar la ventaja de sus decisiones desde el punto de vista de toda la economía. En otras palabras, es necesario que las decisiones convenientes para el sistema sean convenientes también para estos órganos locales, y debe existir la posibilidad de verificación de la validez del trabajo de los órganos locales también desde el punto de vista del conjunto de la economía.

5) Los nuevos problemas del control de la economía y los nuevos métodos plantean el problema de las formas estructurales de organización del control más eficientes.

Se han producido algunos cambios en estas formas, debido a la tendencia del sistema de control hacia la perfección y a los cambios ocurridos en la economía misma, conectados con el incremento de su escala, la complejidad creciente de las conexiones y los problemas y condiciones nuevos. El problema de la estructura más eficiente de un sistema de planeación también tiene un aspecto científico, pero no se ha avanzado mucho en su solución.

 

6) Algunos problemas complejos del control económico provinieron del desarrollo contemporáneo de la economía, de la llamada revolución científica-tecnológica. Me refiero a los problemas del pronóstico y el control cuando se producen grandes desplazamientos en las ponderaciones de diversas ramas de la economía nacional, cuando se producen cambios rápidos en la producción y la tecnología; a los problemas de la estimación de las innovaciones técnicas y del efecto general del progreso técnico; a los problemas de la ecología conectados con los cambios profundos operados en el ambiente natural bajo la influencia de la actividad humana, con las perspectivas del agotamiento de los recursos naturales; al pronóstico de los cambios sociales y su influencia sobre la economía; a los cambios ocurridos en relación con la técnica de computación, los medios de comunicación, los instrumentos administrativos, etcétera, que se observan en esta época.

La mayoría de estos problemas surgen también en países de economía capitalista, pero en la economía socialista tienen sus propias dificultades y peculiaridades.

No existían ni la experiencia ni la fundamentación teórica suficiente para la solución de estos difíciles problemas.

La teoría económica de Karl Marx se convirtió en el marco metodológico de la ciencia económica soviética de reciente creación y del nuevo sistema de control. Algunos de sus importantes y fundamentales postulados sobre las situaciones económicas generales resultaron inmediatamente aplicables a la economía socialista. Pero el uso práctico de las ideas de Marx requería una investigación teórica seria. Sobre las nuevas condiciones no había ninguna experiencia económica práctica.

Estos problemas se resolvían en términos prácticos por los organismos gubernamentales y los ejecutivos económicos. Durante los primeros años del Estado, estos problemas se resolvían bajo las difíciles condiciones de la guerra civil, la devastación y la reconstrucción de la posguerra. A pesar de todo, se resolvió el problema de la construcción de un mecanismo económico eficaz. No puedo describir este proceso en detalle, pero deseo señalar que el sistema de órganos de planeación se creó a iniciativa del fundador de nuestro Estado. V. Lenin, y al mismo tiempo, bajo la misma iniciativa, se creó un sistema de contabilidad económica (hozraschet) que produjo cierto instrumento financiero de balance y control de las actividades económicas separadas.

Se encuentra una prueba de la gran eficiencia de este mecanismo en los grandes avances de la economía, la solución feliz del problema de la industrialización, de los problemas económicos de la defensa del Estado antes de la segunda Guerra Mundial y durante ella, en la reconstrucción de la posguerra y el desarrollo posterior.

El sistema de órganos de planeación y económicos mejoró y se modificó en relación con problemas nuevos. La generalización de esta experiencia preparó el terreno para la teoría económica de la economía socialista planeada.

Al mismo tiempo se señalaron repetidamente en nuestro país la necesidad de nuevos perfeccionamientos del mecanismo de control, algunos defectos existentes en el uso de los recursos, el aprovechamiento incompleto de las ventajas potenciales de la economía planeada. Era obvio que tales perfeccionamientos deberían basarse en ideas y medios nuevos. Esto condujo naturalmente a la idea de introducir y usar los métodos matemáticos cuantitativos.

II. Los métodos nuevos

En los años veinte se realizaron los primeros intentos de utilización de las matemáticas en las investigaciones económicas soviéticas. Podríamos citar los conocidos modelos de demanda de E. Slutsky y A. Konjus, los primeros modelos de crecimiento de G. Feldamn, el análisis de balance de “ajedrez” realizado en el Departamento Central de Estadística, que más tarde se desarrollara en términos matemáticos y económicos por W. Leontief, con los datos de la economía norteamericana. El esfuerzo de L. Jushkov por determinar la eficiencia de la tasa de inversión tuvo una continuación profunda en las investigaciones de V. Novojilov. Las investigaciones antes mencionadas tenían algunos rasgos en común con la dirección matemática de la ciencia económica de Occidente desarrollada al mismo tiempo y presentada en las obras de R. Harrod, E. Domar, F. Ramsey, A. Wald, J. Von Neumann, J. Hicks y otros.

Quisiera referirme aquí sobre todo a los modelos de optimación aparecidos en nuestro país a fines de los años treinta (y después en los Estados Unidos, en forma independiente), que en cierto sentido fueron los instrumentos más adecuados para el tratamiento de los problemas aquí mencionados.

El enfoque de optimación es aquí una cuestión de primordial importancia. El tratamiento de la economía como un sistema singular, que debe ser controlado hacia una meta congruente, permitió la sistematización eficiente de una cantidad enorme de material de información, su análisis profundo para la toma válida de decisiones. Resulta interesante el hecho de que muchas inferencias sigan siendo válidas aun en los casos en que no pueda formularse esta meta congruente, ya sea porque la meta misma no esté muy clara o porque esté integrada por varias metas diferentes, cada una de las cuales deba ser tomada en cuenta.

Por ahora se utilizan sobre todo los modelos de optimación lineal de productos múltiples. Supongo que ahora se han generalizado estos modelos en la ciencia económica en medida no menor que, por ejemplo, las ecuaciones de Lagrange del movimiento en la mecánica.

No creo que deba describir en detalle este modelo bien conocido, basado en la descripción de la economía como un conjunto de clases principales de producción (o actividades, según el término utilizado por el profesor T. Koopmans), cada una de ellas caracterizada por el uso y la generación de bienes y recursos. Es bien sabido que la elección del programa óptimo, es decir, del conjunto de intensidades de estas actividades sobre alguna restricción de los recursos o del plan, se traduce en un problema de maximización de una función lineal de muchas variables que satisfaga ciertas restricciones lineales.

Esta reducción ha sido descrita tan a menudo que puede tratarse como algo bien conocido. Es más importante indicar las propiedades que determinan su uso amplio y variado. Puedo citar las siguientes:

a) Universalidad y flexibilidad. La estructura del modelo permite diversas formas de su aplicación; puede describir situaciones reales muy diversas para ramas de la economía y niveles de su control muy diferente. Puede considerarse una serie de modelos donde las condiciones y restricciones necesarias se introduzcan paso a paso mientras no se alcance la precisión descriptiva necesaria.

En los casos más complicados, cuando la hipótesis de la linealidad contradiga significativamente los aspectos específicos del problema y debamos tomar en cuenta insumos y productos no lineales, las decisiones individuales y la información no determinista, el modelo lineal se vuelve un “bloque elemental” y el punto de partida de las generalizaciones.

b) Sencillez. A pesar de su universalidad y buenas precisión, el modelo lineal es muy elemental en cuanto a sus medios, que son sobre todo los del álgebra lineal, de modo que aun las personas dotadas de un adiestramiento matemático muy modesto pueden entenderlo y dominarlo. Esto último es muy importante para el uso creativo y no rutinario de los medios analíticos provistos por el modelo.

c) Eficiencia de la computación. La urgencia de la solución de problemas lineales extremos condujo a la elaboración de métodos especiales, muy eficientes, tanto en la URSS (método de mejoramiento sucesivos, método de multiplicadores de resolución) como en los Estados Unidos (el conocido método simplex de G. Dantzig), así como a la producción de una teoría detallada de estos métodos. La estructura algorítmica de los métodos ha permitido escribir después los correspondientes códigos de computadora y ahora las variantes modernas de los métodos de las computadoras modernas pueden resolver rápidamente algunos problemas con centenares y millares de restricciones, con decenas y cientos de miles de variables.

d) Análisis e indicadores cualitativos. Junto con la solución de planeación óptima, el modelo produce útiles instrumentos de análisis cualitativo de tareas concretas y del problema en conjunto. Esta posibilidad está dada por un sistema de indicadores de las actividades y factores limitantes que se encuentra al mismo tiempo que la solución óptima y de acuerdo con ella. El profesor T. Koopmans llamó “precios sombra” a estos indicadores; yo los llamé “multiplicadores de resolución” porque se utilizan como un recurso auxiliar para el hallazgo de la solución óptima, a la manera de los multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, poco después se advirtieron su significado e importancia económicos para el análisis, modo que en el tratamiento económico se han llamado evaluaciones objetivamente determinadas (la versión rusa utiliza una abreviatura: “o.o.o.”). Estos indicadores tienen el sentido de índices de valor de equivalencia de bienes y factores, determinados en forma intrínseca para un problema dado, y muestran cómo pueden intercambiarse los bienes y factores en las fluctuaciones del estado extremo. Así pues, estas evaluaciones generan un procedimiento objetivo para el cálculo de los precios contables y otros indicadores económicos, y para el análisis de su estructura.

e) Concordancia de los medios con los problemas. Aunque algunas empresas individuales y aun los organismos gubernamentales de estados de economía capitalista han utilizado con éxito estos métodos, su espíritu corresponde más de cerca a los problemas de una economía socialista. La prueba de su eficiencia se encuentra en la aplicación afortunada a varios problemas concretos de la ciencia económica y la investigación de operaciones. Algunas de sus aplicaciones alcanzan la gran escala de la planeación a largo plazo de algunas ramas de la economía soviética, o la asignación territorial de la producción agrícola. Ahora estamos examinando los problemas de complejos de modelos, incluido el modelo de la planeación a largo plazo de toda la economía nacional. Estos problemas se investigan en grandes institutos especiales de investigación, como el Instituto económico-matemático central de Moscú (dirigido por el académico N. Fedorenko) y el Instituto de ciencia económica y organización industrial de Novisibirsk (dirigido por el académico A Aganbegjan).

Debo señalar también la posición actual de la planeación óptima y los métodos matemáticos en las investigaciones teóricas de la ciencia económica soviética. El modelo lineal ha resultado ser un buen medio de la descripción lógica más sencilla para los problemas del control de la planeación y el análisis económico. Ha contribuido grandes adelantos en los problemas de la fijación de precios. Por ejemplo, ha justificado que se tomen en cuenta los fondos básicos en los precios de la producción, los principios de contabilidad del uso de los recursos naturales. Ha producido también un enfoque cuantitativo para reflejar el factor del tiempo en las inversiones. Adviértase que un modelo descriptivo de un índice económico sencillo tiene a veces una forma matemática complicada (podemos mencionar aquí como ejemplo un modelo para el uso de una pieza de equipo de donde se derive la estructura de los pagos de amortización).

Un problema que debe señalarse de manera especial es el de las decisiones descentralizadas. La investigación de un complejo de modelos de dos niveles nos lleva a la conclusión de que en principio es posible la descentralización de las decisiones con observancia del objeto total del complejo mediante una construcción correcta de los objetos en modelos locales. Debe señalarse aquí una formalización matemática brillante de la idea de la descomposición presentada por G. Dantzig y P. Wolfe. El valor de su ensayo de 1960 está mucho más allá de los límites del algoritmo y de su fundamentación matemática. El ensayo generó muchas discusiones fructíferas y diversos tratamientos en todo el mundo y particularmente en nuestro país.

Junto con el análisis de insumo-producto y los modelos de optimación derivados de la actividad de una gran comunidad de científicos, la teoría y la práctica económicas obtuvieron herramientas analíticas tales como la programación estadística y estocástica, el control óptimo, los métodos de simulación, el análisis de la demanda, la ciencia económica social, etcétera.

En resumen podemos afirmar que tenemos algunos resultados importantes como consecuencia de cerca de 15 años de desarrollo y difusión intensos de los métodos mencionados.

III. Las Dificultades

Sin embargo, el nivel de desarrollo y sobre todo el de las aplicaciones, puede producir un sentimiento de insatisfacción. No se ha completado la solución de muchos problemas. Muchas aplicaciones son esporádicas, no se convierten en regulares ni se unifican en un sistema. En los problemas más complicados y de perspectiva, como los referentes a la planeación nacional, no se han encontrado hasta ahora formas de realización eficaces y generalmente aceptables. La actitud ante estos métodos, como ante muchas otras innovaciones, pasó a veces del escepticismo y la resistencia al entusiasmo y las esperanzas exageradas, y luego a cierto desencanto e insatisfacción.

Podemos afirmar sin duda que los resultados no son demasiado malos para un periodo tan breve como el que ha transcurrido. Podemos referirnos a los periodos más largos de difusión de muchas innovaciones técnicas, o a la física y la mecánica, donde no se han realizado algunos modelos teóricos a pesar de la experiencia de doscientos años. Sin embargo, preferimos mencionar algunos problemas concretos para aclarar las dificultades principales y sus causas, y para sugerir algunas formas de solución. Las dificultades surgen de los aspectos específicos del objeto investigado y de los defectos de las investigaciones y de su realización práctica.

La descripción formal de las cuestiones económicas constituye un objeto en vista de su complejidad y peculiaridad. Los modelos ponen de relieve sólo algunos de sus aspectos y toman en cuenta la situación económica real en forma muy burda y aproximada, de modo que generalmente resulta difícil estimar la corrección de las descripciones e inferencias.

Así pues, a pesar de la universalidad del modelo antes mencionados y de sus generalizaciones, a menudo no resulta eficiente un enfoque rutinario. El trabajo sobre todo modelo serio y su aplicación práctica exige la estricta elaboración de la investigación con los esfuerzos conjuntos de economistas, matemáticos y especialistas en el campo concreto, pero aun en los casos afortunados se requieren varios años para la difusión del modelo, sobre todo para la prueba y mejoramiento de las instrucciones prácticas.

Resulta especialmente importante la verificación de la influencia de la diferencia existente entre el modelo y la realidad sobre el resultado obtenido y la corrección del resultado o del modelo mismo. A menudo no se hace esta parte del trabajo. La parte difícil de la realización de un modelo consiste en la recolección y a menudo la elaboración de los datos necesarios, los que en muchos casos tienen errores considerables y a veces están completamente ausentes porque nadie los había necesitado antes. Hay dificultades de principio en los datos de pronóstico del futuro y en la estimación de los variantes del desarrollo industrial.

También tiene dificultades la computación de la solución óptima. A pesar de la existencia de algoritmos y códigos eficientes, los programas lineales prácticos no resaltan muy sencillos porque son muy grandes. Las dificultades aumentan considerablemente cuando el modelo lineal se modifica por cualquiera de sus generalizaciones.

Mencionamos antes que en teoría existe en el modelo lineal una concordancia y armonía perfectas entre la solución óptima y los indicadores de estimación y los estímulos basados en o.o.o. Pero las decisiones reales y el trabajo de los organismos locales no son evaluados por indicadores teóricos sino por los precios efectivos y por métodos de evaluación que no pueden remplazarse con facilidad. Aun si una rama o una región adoptan sus indicadores adecuados, aparecerán ausencias de armonía en los límites con sus vecinos. Además diversas partes de sistema económico están descritas por modelos matemáticos de acceso difícil, que no siempre tienen características cuantitativas claras. Por ejemplo, la producción industrial se describe mejor que la demanda y las preferencias de los consumidores. Al mismo tiempo, en una presentación amplia del problema de optimación del plan, es natural que se tienda no sólo al menor uso posible de los recursos sino también a una estructura de la producción que resulte óptima para los consumidores. Esta condición complica la elección correcta de la función-objetivo.

La situación no es desesperada desde luego. Por ejemplo, podemos utilizar una idea del estado extremo (es decir un estado que no puede mejorarse en todas sus partes, una “decisión eficiente” en el sentido de A. Wald), lo que ya es algo muy importante. Luego podemos transigir entre unos cuantos criterios o mostrarnos menos rigurosos y resolver la parte industrial del problema mediante métodos de optimación y la parte del consumo mediante los métodos tradicionales de los expertos. Podemos tratar de utilizar la econometría. Demasiados “podemos” significan que el problema dista mucho de aproximarse a una solución.

En la planeación, la idea de la descentralización debe conectarse con rutinas de enlace de los planes de partes más o menos autónomas de todo el sistema. Aquí podemos utilizar una separación condicional del sistema mediante la fijación de valores de los flujos y parámetros trasmitidos de una parte a otra. Podemos utilizar una idea de recomputación secuencial de los parámetros, algo que muchos autores han logrado para el esquema de Dantzig-Wolfe y para los modelos lineales de agregación.

A menudo una solución del problemas económicos nuevos y en particular de los relacionados con la revolución científica-técnica, no puede basarse en los métodos existentes sino que requiere ideas y enfoques nuevos. Tal es el problema de la protección de la naturaleza. El problema de la evaluación económica de la eficiencia de las innovaciones técnicas y de la rapidez de su difusión no puede resolverse sólo con la estimación a largo plazo de los productos y resultados directos sin tomar en cuenta las peculiaridades de la nueva tecnología industrial, su contribución total al progreso técnico.

Los métodos de contabilidad basados en modelos matemáticos, el uso de computadoras para la computación y procesamiento de los datos de información, constituyen sólo una parte del mecanismo de control; otra parte es la estructura del control. Así pues, el éxito del control depende de la medida y la forma en que esté garantizada en el sistema la posibilidad del interés personal en una información correcta y completa, en el logro de la realización adecuada de las decisiones. La construcción de tales sistemas de interés y de verificación tampoco es una tarea fácil.

Además, la difusión de una verdadera difusión de los métodos nuevos requiere su estudio y dominio de parte de las personas ocupadas en la planeación y la ciencia económica. Es necesario reorganizar este sistema, superar algunas barreras psicológicas, pasar de rutinas utilizadas durante muchos años a otras nuevas. Para este propósito tenemos un sistema educativo que sirve para familiarizar con los métodos nuevos a los administradores de la planeación hasta el más alto nivel. La reorganización de la contabilidad suele combinarse con la introducción de sistemas de información basados en la computadora. Es claro que tal reorganización de métodos y conciencias resulta difícil y requiere mucho tiempo.

IV. Perspectivas.

A pesar de las dificultades mencionadas, observo con optimismo las perspectivas de la difusión de los métodos matemáticos, sobre todo los referentes a la optimación, en la ciencia económica y en todos los niveles del control económico. Tal difusión puede mejorar considerablemente nuestra actividad de planeación, puede generar un uso mejor de los recursos, así como el aumento del ingreso nacional y de los niveles de vida.

Las dificultades de la construcción de modelos y de datos pueden superarse como han sido superadas las dificultades similares de las ciencias naturales y técnicas. Mi esperanza se basa en la intensidad cada vez mayor de la investigación de métodos y algoritmos nuevos en este campo, en el hecho de la aparición de nuevos enfoques teóricos y nuevos enunciados de problemas, en una serie de estudios concretos de problemas generales y especiales referentes a diversas ramas económicas, en el hecho de que ahora trabaje en este campo todo un ejército de jóvenes investigadores talentosos. Se ha alcanzado un adelanto importante en el desarrollo de la maquinaria y los programas de computadora y en su dominio. Los matemáticos, los economistas y los administradores prácticos han logrado un mejor entendimiento recíproco. Las condiciones favorables para el trabajo en este campo se crearon gracias a los importantes pronunciamientos de nuestras autoridades sobre los métodos de control y sus mejoramientos, que como es sabido se formularon en años recientes.


En Los Premios Nobel de Economía 1969-1977. Lecturas 25 Prólogo de Gustavo Romero Kolbeck. Banco de México, S. A. Fondo de Cultura Económica. México. pp. 264-275. Conferencia en homenaje de A. Nobel, pronunciada el 11 de diciembre de 1975

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