Contribuciones a la Economía


"Contribuciones a la Economía" es una revista académica con el
Número Internacional Normalizado de Publicaciones Seriadas
ISSN 1696-8360

 

PRODUCCIÓN CONJUNTA, MERCANCÍA-PATRÓN Y RAZÓN-PATRÓN EN SRAFFA 


Antonio Mora Plaza
antonioamora@hotmail.com

 

Joint production, standard-commodity and standard-rate in Sraffa

In this article it is a matter about the possibility to construct the sraffian standard-commodity and the standard-rate in an economic model of joint production or not. This text can to help to read the chapter VIII of Sraffa´s book Production commodities by means commodities and to clear it.

PRODUCCIÓN CONJUNTA, RAZÓN-PATRÓN Y MERCANCÍA-PATRÓN EN SRAFFA

Este artículo trata sobre si es posible construir una mercancía-patrón y una razón-patrón en la producción conjunta esrafiana o no. En todo caso, pretende servir a la lectura del capítulo VIII de la obra de Sraffa Producción de mercancías por medios de mercancías.

Creo que Sraffa debió sentirse angustiado cuando salió de su producción simple para entrar en las inesperadas y sorprendentes tierras de la producción conjunta. En su época era una novedad porque los economistas se mecían en las cómodas hamacas de la producción simple y daban por supuesto que los conclusiones que se pudieran obtener de la simple valían para la conjunta. En su época era una apuesta arriesgada. En el modelo de Sraffa se verá que las conclusiones son significativamente diferentes. Apuesto yo también que Sraffa debió sentirse angustiado ante este tema. No tengo constancia de ello y quizá no queden testimonios de sus sensaciones ante este tema . Pero digo lo anterior por lo siguiente: Sraffa dedica tres capítulos a la producción conjunta cuando, por ejemplo, sólo dedica uno y -en mi opinión- alicorto, a la reducción del capital a trabajo fechado, cuyo tema es trascendental en su obra y aún más en la historia de la teoría del capital; lo digo porque dedica todo un capítulo -el octavo- a demostrar la existencia y unicidad en la producción conjunta -tal como él la entiende- de la razón-patrón y la mercancía-patrón; ítem más, Sraffa considera los tres capítulos dedicados a la producción conjunta como una especie de introducción a los capítulos siguientes dedicados a la teoría del “Capital Fijo” y de la “Tierra”, y advierte que se pueden saltar si “los lectores los encuentran demasiado abstractos” ; por último, me llama la atención de cómo empieza este octavo capítulo. Dice Sraffa: “Tan pronto como consideramos en detalle la construcción de un sistema patrón con productos conjuntos, resulta obvio que puede que algunos de los multiplicadores tengan que ser negativos” . Es decir, como para curarse en salud de cara el lector, afirma lo que ha de demostrar, aunque, según él, a pesar de esos multiplicadores, ello no implica que no pueda haber razón-patrón. Y concluye el capítulo VIII mezclando los bienes básicos con los no básicos. ¿Cuál es lo correcto de todo esto? En este artículo se va a intentar esclarecer un poco todo esto utilizando una consideración que quizá se le escapó a Sraffa. En todo caso servirá, creo yo, a la lectura de los capítulos VII, VIII y IX.


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Mora Plaza, A.: "Producción conjunta, mercancía-patrón y razón-patrón en Sraffa” en Contribuciones a la Economía, septiembre 2010, en http://www.eumed.net/ce/2010b/ 


I - Producción simple

Para entender el problema de manera más formal que económica -aunque ambas deben ir unidas y más cuando se trabaja con algún grado de libertad- se ha de partir de la producción simple. La ecuación que define el sistema esrafiano en este tipo de producción es como sigue:

(1)

donde P es el vector de precios 1xn, Y la matriz diagonal de n productos finales nxn, r el tipo de ganancia, X la matriz nxn de nxn medios de producción, w la tasa de salarios y L el vector trabajo 1xn. Hemos subrayado lo de diagonal en la matriz de productos finales Y porque esa es la diferencia (única) entre la producción simple -en la que estamos- con respecto a la producción conjunta esrafiana. Y hay que subrayar también lo de esrafiana, porque esta es una producción conjunta muy simple. La ecuación matricial (1) es como sigue:

(2)

Es a partir de la producción simple como construye Sraffa su mercancía-patrón y su razón-patrón. La razón de ello -valga la redundancia- es que se puede construir una economía en pequeño que tenga la propiedad de que los productos netos se encuentran en relación con sus medios de producción igual en todos los sectores de la economía. Hoy llamaríamos a esa mercancía-patrón muy probablemente mercancía-virtual. Lo curioso es que esos multiplicadores se obtienen a partir de los datos reales mediante estos dos sistemas de ecuaciones:

(3)

(4)

donde u es un coeficiente, Y la matriz diagonal anterior, Q el vector de multiplicadores qj de dimensión nx1, y L el vector también anterior de trabajo. Desarrollado en sus términos, (3) queda:

(3 bis)

La mercancía patrón es la ecuación (3). Entre (3) y (4) hay n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (n multipliadores qj y el coeficiente u) Los multiplicadores se obtienen haciendo X=AY-1 y aplicando el teorema de Perron-Froebenius a (3). Para ello, la matriz A debe cumplir 3 requisitos: ha de ser cuadrada, indescomponible y no negativa. Con ello se asegura una autovalor (que es u), que es el mayor de los posibles n multiplicadores de (3). Este multiplicador asegura, a su vez, que existen dos autovectores, uno por la izquierda (los precios pi) y otro por la derecha (los multiplicadores qj), que son todos estrictamente positivos (versión fuerte del teorema) . Si además A es productiva, es decir, si Ai >Ai+1, entonces el autovalor u es menor que 1 y con ello la razón-patrón, que es R=(1-u)/u, es mayor que cero.

II - Producción conjunta esrafiana

¿Qué pasaría si la matriz de productos finales Y no fuera diagonal y fuera de producción conjunta, es decir, que pudiera tener un valor positivo en cualquier columna de cualquier fila? Porque esta es la versión esrafiana de la producción conjunta. En lugar de la ecuación (3 bis) tendríamos:

(4)

Pero ahora Y no es diagonal y el cálculo de A=XY-1 no puede asegurar que todos los elementos de A sean positivos, y con ello no se cumple la condición de no negatividad de esta matriz, por lo que no se puede aplicar Perron-Froebenius. Al hacer cero la tasa de salarios en la ecuación (1) que define el sistema, obtenemos una tasa máxima de ganancia, pero eso no nos asegura que sea esta tasa además la razón-patrón R que surge del coeficiente u de (3bis). Sraffa en el capítulo VIII se enzarza en una demostración de lógica económica -de acuerdo con su sistema- por reducción al absurdo, según la cual obtiene la existencia de esta razón-patrón y su unicidad. Veamos cómo se puede hacer los mismo desde el punto de vista matemático, es decir, desde el punto de vista lógico a partir de la lógica económica del italiano. Vamos a partir de una matriz de productos finales Y de producción conjunta, es decir, con todos sus elementos pudiendo ser (aunque no necesariamente todos) mayores que cero. Pero ahora la vamos a diagonalizar, agrupando todos los valores de Y por filas (son todos la misma mercancía, por lo que son sumables) y los resultados de la sumas los vamos a colocar en la diagonal principal de forma que:

(5)

Ello dará una matriz diagonal tal como:

(5 bis)

Y ahora la matriz YD diagonalizada es una matriz de las mismas características que la de la reproducción simple, es decir, cuadrada, indescomponible y no negativa (por hipótesis en (5)), por lo que se puede aplicar el teorema de Perron-Froebenius; ello es así porque nos hemos asegurado de que la matriz de requerimientos A=XYD-1 sea positiva al ser X estrictamente positiva, y al ser la inversa de la matriz diagonal YD positiva al ser sus elementos los inversos de la matriz diagonal YD. ¡Sraffa puede dormir tranquilo, que su mercancía-patrón y su razón-patrón son posibles para su producción conjunta! Ahora vamos a ver si es posible extenderla a otros tipos de producción conjunta. En todo caso, lo anterior no puede sustituir a la lectura del capítulo VIII del libro de Sraffa, pero sí ayudar a su comprensión y a la correcta deriva de sus conclusiones.

Sin embargo -y salvo que alguien demuestre lo contrario- esta reproducción conjunta es la única y la última que puede dar lugar a la mercancía-patrón y a la razón-patrón tan cara a Sraffa. Tiene esta producción conjunta la enorme limitación de que los precios que aparecen multiplicando a los productos finales Y son los mismos que los que lo hacen con los medios X. Según esto, no hay creación neta de productos nuevos que obliguen a nuevos precios ni nuevos productos. Dicho de otra manera, en la producción conjunta esrafiana no puede haber productos no básicos.

III - Producción conjunta con bienes básicos y no básicos

Vamos a intentar también en la producción conjunta, pero con separación de bienes básicos y no básicos, si se puede prorrogar a este caso la construcción de una mercancía-patrón y una razón como en la producción simple esrafiana. La ecuación que definiría un sistema así sería:

(6)

donde en (6) la única novedad respecto a (1) es el vector de precios PN de los bienes no básicos de dimensión 1xm y la matriz de bienes no básicos YN de dimensión mxn. Aquí parecería que andamos por el buen camino, porque si hacemos la tasa de salarios w=0 obtenemos:

(7)

En (7) no tenemos el vector de rentas salariales wL porque los salarios los hemos hecho cero, por lo que ahora la tasa de ganancia se ha hecho la máxima gm. Si ahora añadimos las ecuaciones:

(8)

que es el primer numerario, siendo I el vector de unos nx1 y un segundo numerario como:

(9)

Con las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) sale la ya conocida:

(10)

La cuestión que se plantea ahora en la producción con diferenciación entre bienes básicos y no básicos es si la tasa máxima de ganancia gm coincidirá con la razón-patrón, si es que esta existe. Veamos. Para que exista tendríamos que encontrar un conjunto de precios PD y una matriz diagonal (o diagonizable) YD tal que cumpliera que:

(11)

Pero la ecuación (1) es un imposible, porque las cantidades por filas de las matrices YN e Y son distintas cuantitativamente y cualitativamente. Además, no necesariamente son de la misma dimensión. En cuanto a los vectores de precios, les pasa lo mismo. En todo caso, si alguien consigue hacer el milagro de igualar el lado izquierdo de (11) con el derecho, habemus razón-patrón y mercancía-patrón para la producción conjunta con diferenciación entre bienes básicos y no básicos. Para este caso, Sraffa no encontró la solución -y eso que era un genio-, por lo que tampoco me siento decepcionado por no encontrarla un simple mortal como este autor. La razón económica es la de que tal y como se ha definido los productos básicos, estos han de entrar en el lado derecho e izquierdo en la ecuación que define el sistema económico ((1) y (6)). Eso no ocurre con los bienes no básicos, porque son productos finales pero nunca medios de producción. Y lo que ocurra con los precios en esta cuestión ocurrirá con los multiplicadores, porque estos son la solución por la derecha de la ecuación uYQ=AYQ junto con LI=1, mientras que los precios son la solución por la izquierda de uPY=PAY con LI=1 también. Según eso, si puede haber precios negativos, ocurrirá lo mismo con los multiplicadores y viceversa: Perron-Froebenius dixit. Al llegar a la producción conjunta con diferenciación entre bienes básicos y no básicos, el sueño de Sraffa (al menos parte de el) se desvaneció. Sraffa entonces se lanza por lo que he llamado el método del recuento manual: se calculan los excedente netos relativos de todos los bienes y servicios i, es decir:

(12)

y se toma el menor de todos ellos. Con ello se asegura Sraffa que ningún sector va alcanzar al excedente de su propio sector por más que crezca la tasa de ganancia hasta llegar a su tasa máxima gm, .. El problema es que, salvo que se demuestre otra cosa, sólo aplicando Perron-Froebenius se puede asegurar un vector de precios positivos y de multiplicadores positivos, por lo que no tenemos mercancía-patrón; tampoco que la supuesta razón-patrón obtenida mediante el método manual de recuento coincida con la tasa máxima de ganancia gm. La diferencia para el cálculo de la razón-patrón entre el método del recuento y el de aplicación (si es posible) de Perron-Froebenius es la siguiente: por el método del recuento puede ocurrir que el menor de los excedentes relativos de todos los sectores sea igual a la razón-patrón obtenida por el teorema, pero también puede ocurrir que este mínimo no sea lo suficientemente bajo como para alcanzar al del teorema. La razón es que la razón-patrón del teorema se calcula a partir de un autovalor que garantiza precios positivos. Lo que nunca puede ocurrir es lo contrario: que la razón-patrón surgida del teorema sea mayor que el alcanzado por el de recuento. Aún así, ambos, si no son iguales, están muy cerca.

Madrid, septiembre de 2010.

Anexo I: Producción simple

PY=(1+g)PX+wL

sumas sumas

13 0 0 13 4 4 3 11

Y= 0 11 0 11 X= 3 5 2 10

0 0 20 20 4 8 4 16

w= 0,7 g= 4% L= 0,4 0,5 0,1 1

0,077 0,000 0,000 0,308 0,364 0,150

Y-1= 0,000 0,091 0,000 A=XY-1 0,231 0,455 0,100

0,000 0,000 0,050 0,308 0,727 0,200

P=wLY-1(I-(1+g)A)-1= 0,07 0,15 0,04

Anexo II: Producción conjunta

PY=(1+g)PX+wL

sumas sumas

3 4 6 13 4 4 3 11

Y= 7 2 2 11 X= 3 5 2 10

5 3 12 20 4 8 4 16

w= 0,7 g= 4% L= 0,4 0,5 0,1 1

-0,10 0,17 0,02 1,09 0,36 -0,35

Y-1= 0,42 -0,03 -0,20 A=XY-1 1,67 0,22 -0,70

-0,06 -0,06 0,13 2,70 0,16 -1,05

P=wLY-1(I-(1+g)A)-1= 0,46 0,16 -0,16

Puede comprobarse que, a pesar de que la suma del producto final de cada mercancía (fila) es la misma, el resultado de su inversa Y-1 es distinta, por lo que los precios finales son distintos. En cuanto a la matriz A de requerimientos tiene elementos negativos en la producción conjunta y no puede haberlos en la producción simple.

Anexos III: y IV

Excedente neto físico y tasa de ganancia máxima

modelo: PY = (1 + g) PX + wL L= 0,19 0,31 0,50 1,0

productos finales sumas medios de producción sumas

180 0 0 180 90 50 40 180

Y= 0 450 0 450 X= 120 125 40 285

0 0 480 480 60 150 200 410

w= 0,7 g = 19,99% 0,500 0,111 0,083 0,69

A=XY-1 0,667 0,278 0,083 1,03

0,0056 0 0 0,333 0,333 0,417 1,08

Y-1= 0 0,0022 0 1,500 0,722 0,583

0 0 0,0021

0,694 < autovalor < 1,083

excedente físico relativo

0,0% 57,9% 17,1% 44% < R < 71%

P=wLY-1(I-(1+g)A)-1= 16,74 6,09 4,57

Excedente neto físico y tasa de ganancia máxima

modelo: PY = (1 + g) PX + wL L= 0,19 0,31 0,50 1,0

productos finales sumas medios de producción sumas

180 0 0 180 90 50 40 180

Y= 0 450 0 450 X= 120 125 40 285

0 0 480 480 60 150 200 410

w= 0,7 g = 20,01% 0,500 0,111 0,083 0,69

A=XY-1 0,667 0,278 0,083 1,03

0,0056 0 0 0,333 0,333 0,417 1,08

Y-1= 0 0,0022 0 1,500 0,722 0,583

0 0 0,0021

0,694 < autovalor < 1,083

excedente físico relativo

0,0% 57,9% 17,1% 44% < R < 71%

P=wLY-1(I-(1+g)A)-1= -16,74 -6,09 -4,56

La única diferencia entre los cuadros de los anexo III y IV es la tasa de ganancia. En el III, la tasa de ganancia g es 19,99%; en el IV, la tasa es de 20,01%. En ambos se toma esta tasa como variable independiente. Con 19,99% los precios aún son positivos; con 20,01% ya hemos pasado a negativos. El ejemplo es el mismo que pone Sraffa en su libro y él calcula que la razón-patrón es el 20%. Vemos aquí que la tasa máxima de ganancia (que aquí es g) coincide con la razón-patrón porque ambos están en la frontera del paso de los precios positivos a negativos. El autovalor mayor (que es el único que garantiza un vector de precios positivos) de A=XY-1 es u=0,8333, con el cual se haya la razón-patrón mediante R=(1-u)/u, que es justamente igual a 20%.

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