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REGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

REGLA DE SIMPSON 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva.

Suponemos que tenemos los datos:

donde es el punto medio entre y .

En este caso se tiene que:

donde es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange.

Así, tenemos que:

Si denotamos, entonces:

Simplificando términos:

Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por

Así, calculamos la siguiente integral por partes:

Sea:

por lo tanto,

Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de .

Debido al factor se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.

En la práctica, sustituimos el valor de para obtener nuestra fórmula final:

Ejemplo1.

Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:

Solución.

Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:

Por lo tanto, tenemos que:

REGLA DE SIMPSON 3/8

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:

Este caso corresponde a , es decir,

donde es un polinomio de interpolación para los siguientes datos:

Y donde , y , son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo .

Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula:

donde . Debido al factor es que se le dió el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener:

Ejemplo1.

Aproximar la siguiente integral, usando la regla de Simpson de 3/8:

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes datos:

Los cuales sustituimos en la fórmula, para obtener:

Al igual que en los dos casos anteriores, la regla de Simpson de 3/8, se puede extender si subdividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud .

Sea la partición determinada de esta forma. Cada sub intervalo lo dividimos en tres partes iguales, y sean y los puntos determinados así:

Aplicando la regla de 3/8 en cada uno de los intervalos tenemos:

Esta última, es la regla de Simpson de 3/8 para n subintervalos todos de la misma longitud.