INFORME DE LA POBREZA HUMANA DE AREQUIPA METROPOLITANA ? 2006

2.1.2. Índices más Utilizados

A. La Curva de Lorenz

Esta curva relaciona el porcentaje acumulado en orden creciente de la población total con el porcentaje acumulado del ingreso total. De manera que es posible leer fácilmente, colocando uno en la abscisa otra en la ordenada, cuanto recibe cada centil, decil o quintil. La bisectriz o la diagonal, si se construye un cuadrado representa la línea de equidistribución de los ingresos. Mientras más se acerca la curva de Lorenz a esta diagonal, menos desigual es la distribución. A la inversa, mientras mas se aleja de ella, más desigual es la distribución. (Pierre Salama y Blandine Destremau – medidas de la pobreza Desmedida, Pág. 26 y 27).

B. Índice de Gini

En base a esta representación sencilla de desigualdad, se deduce la construcción de un indicador igualmente simple y robusto. Para ello relacionamos la superficie definida por la diagonal y la curva de Lorenz con la mitad de la superficie del cuadrado que fue definido por la construcción de los dos ejes, para obtener la relación que varia de 0 (distribución igual) a 1 (extrema desigualdad). Matemáticamente la formula para construir este indicador debe considerar el siguiente procedimiento:

a) Se consideran las diferencias (en valores absolutos) de cada par de ingresos (yi – yk) y (yk – yj); que es la suma de j = 1 a m y de K = 1 a m.

b) Se divide el conjunto por la población (n) elevada a la potencia dos, porque se consideraron pares de individuos, el ingreso medio m dividido por 2.

c) Obtenemos entonces:

G = 1/ (2n2m) (S S nj nk |yj – yk|)

La evolución de este indicador mide de manera global, la evolución de la distribución del ingreso hacia una mayor o menor igualdad cuando se aplica a la población total (a la distribución entre los pobres cuando se aplica solo a la población definida como tal). (Pierre Salama y Blandine Destremau - medidas de la pobreza Desmedida, Pág. 29 y 30).

C. El Índice Theil (1967)

Este índice permite no solo caracterizar las desigualdades; sino que ofrece también otras ventajas como la de indicar si las desigualdades entre dos deciles contiguos, caracterizados cada uno por su ingreso medio, se acentúan o disminuyen. Además tiene la ventaja de poder descomponerse; es posible por lo tanto, atribuir a tal o cual factor (edad, educación, categoría y sector de empleo) la responsabilidad de la pobreza.

Al conocer estas diferentes contribuciones, se podría calcular la probabilidad de que un individuo pertenezca al 20% más bajo de la distribución de los ingresos, en que probablemente se encuentran los pobres, si tal o cual factor tiene un papel negativo como por ejemplo: una educación insuficiente. (Pierre Salama y Blandine Destremau – Medidas de la pobreza desmedida, Pág. 32).

C.1. Construcción Teórica – Formal del Índice Theil

Este indicador se basa en ciertas teorías de la termodinámica, en particular la entropía. Para ello podríamos suponer que un evento “E” Intervenga con una probabilidad “Y”. Si esta probabilidad de acerca a 1, el acontecimiento no representará ninguna sorpresa (el mensaje habrá contenido poca información) e Inversamente, si la probabilidad es próxima a cero, la sorpresa será grande (el contenido en información del mensaje es alto).

Para y comprendido entre 0 y 1, existe una función simple susceptible de reproducir el contenido en información de un mensaje:

H(y)=Log 1/y

Para dos acontecimientos independientes E1 y E2 con sus probabilidades respectivas, tendremos:

H (Y1, Y2) = Log 1/Y1 + Log 1/Y2 = H (Y1) + H (Y2)

La esperanza matemática:

E (y) = y H (y) + (1-y) H (1-y) = y Log 1/y + (1-y) Log 1/(1-y)

Es la entropía de la distribución alcanzar su valor máximo (Log 2) cuando y = ½.

Generalizando “N” acontecimientos independientes cada uno con su probabilidad. La Esperanza E (y) será:

yi H (yi) = yi Log 1/yi

De i = 1 hasta i = n; igual que en el caso precedente, el valor máximo “Log N”, se alcanzará cuando Y1 = 1/N. Si N es grande, la incertidumbre será fuerte y alcanzará su máximo cuando y = 1/N. Inversamente, E (y) será mínima (cercana a 0) cuando y1 = 1 e Yj = 0 para “i” diferente de “J”.

Aplicado a la distribución de los ingresos este razonamiento permite construir un indicador que tiene la ventaja de poder descomponerse. Sea Yi el porcentaje de ingreso recibido por el individuo “i”, el índice de Theil se obtiene sustrayendo al valor máximo la esperanza matemática cuando Yi es diferente de N; tendremos:

R = Log N - yi Log 1/yi = yi Log (Nyi)

Cuando R este próximo a 0, la desigualdad será elevada. Cercana a Log n, la desigualdad será máxima. En realidad sucede como si conocer las probabilidades yi diera un suplemento de información. Este índice es en pocas palabras, la diferencia existente entre la incertidumbre máxima y la información obtenida. Mientras más elevado es, menos importante habrá sido suplemento de información y la desigualdad será alta. (Pierre Salama y Blandine Destremau – Medidas de la Pobreza Desmedida; Pág. 32 y 33).