MANUAL PR?CTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

CAPÍTULO 4º: LAS LEYES COMPUESTAS

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Conocer y utilizar las expresiones matemáticas de la ley de capitalización compuesta y de la ley de descuento compuesto.

 Conocer y utilizar la relación existente entre la ley de capitalización y la ley de descuento.

 Plantear correctamente una ecuación financiera identificando los capitales y su vencimiento, con cualquier punto de aplicación.

 Calcular la suma financiera de varios capitales distintos en cuantía y vencimiento.

 Calcular la suma financiera de varios capitales distintos en cuantía y vencimiento, valorados a distintos tipos de interés.

 Calcular la reserva matemática o saldo financiero de una operación.

 Distinguir entre interés nominal, interés fraccionado y el interés efectivo equivalente.

 Dado un tipo de interés nominal calcular cualquier tipo de interés efectivo.

 Dado un tipo de interés efectivo calcular cualquier tipo de interés fraccionado o el nominal equivalente.

 Elegir una operación financiera según su interés efectivo.

1.- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

La característica fundamental de la capitalización compuesta, es que los intereses de un periodo se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. Es decir los intereses son productivos.

La capitalización compuesta es una ley que se caracteriza porque las ecuaciones de equivalencia financiera no van a depender del punto p de aplicación, por lo tanto si se plantean con puntos p diferentes el resultado obtenido será el mismo, a diferencia de la capitalización simple donde la equivalencia sólo se cumplía en un punto p.

Si el factor de capitalización lo definíamos en el capítulo segundo como el número por el que hay que multiplicar el capital al inicio de la operación (t = 0) para obtener el capital sustituto o equivalente al final de la operación (p = n), lo que vamos es a demostrar la expresión matemática que nos permita obtener dicho número.

Sea un capital unitario (C = 1), un intervalo temporal definido en (o , n) y recordando que el interés (I) se obtiene multiplicando el capital por el rédito (I = C • i) y que el montante es la suma del capital inicial más los intereses generados (Cn = C0 + I), tendremos:

Capital al inicio de la operación:

Co = 1

Capital al final del primer periodo:

C1 = C0 + I1 = 1 + (1• i) = 1 + i

Capital al final del segundo periodo: Hay que tener en cuenta que los intereses son productivos, por lo que el interés se calculará sobre el capital anterior C1

C2 = C1 + I2 = (1 + i) + (C1 • i) = (1 + i) + (1 + i)• i sacando factor común a (1 + i)

C2 = (1 + i) (1 + i) = (1 + i)2

Capital al final del tercer periodo:

C3 = C2 + I3 = (1 + i)2 + (C2 • i) = (1 + i)2 + (1 + i)2 • i sacando factor común

C3 = (1 + i)2 (1 + i) = (1 + i)3

Generalizando …………………

Capital al final del periodo n, sería: Cn = (1 + i) n

Que es el valor final que se obtiene al invertir una unidad monetaria a un tanto unitario de interés i, para n periodos. La representación gráfica de la operación sería:

C0 = 1 Cn = (1 + i) n

0 1 2 3 ………………………. n-1 n

A la expresión (1 + i) n se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA, que nos permite trasladar un capital desde un momento dado a otro posterior y obtener así su equivalente.

 El Montante y el Interés.

El montante es el capital final, la suma del capital inicial más los intereses generados entre o y n. Se obtendrá multiplicando el capital inicial C0 por el factor de capitalización (1 + i) n.

Cn = C0 (1 + i) n

El interés, que es el capital que nos muestra la variación experimentada por un capital al pasar de 0 a n, se obtendrá por diferencia entre el montante (Cn) , capital final, y el capital inicial (C0).

I = Cn - C0

Los intereses en capitalización compuesta no son proporcionales al número de periodos de capitalización.

 Los tantos equivalentes.

Son los que surgen al comparar entre sí dos procesos de capitalización distintos. Financieramente se dirá que dos tantos son equivalentes en capitalización compuesta, cuando aplicados al mismo intervalo temporal proporcionan idéntico resultado.

Sea un rédito i, asociado a un periodo de amplitud unitario y un capital de cuantía unitaria, el montante de dicho capital al final del periodo será:

1 (1 + i)

0 1

Si ahora el intervalo unitario anterior, se fracciona en m subintervalos de amplitud 1:m cada uno, y se asocia a cada subintervalo un rédito im , el capital al final del periodo sería:

1 (1+im)m

0 1/m 2/m ……….. m/m

Para que ambos réditos sean equivalentes se ha de cumplir que el valor del capital unitario al final del periodo sea el mismo:

(1 + i) = (1 + im) m

En la práctica real en una operación financiera la unidad temporal suele venir expresada en años, pero también es frecuente que se trabaje con periodos fraccionados del año: Meses, semestres, trimestres, etc. por lo que al realizar una operación se efectúan generalmente dos pactos:

1.- Se pacta el tanto de referencia a aplicar a la operación, es decir el tanto con el que se van a calcular los intereses.

2.- Se pactan los vencimientos de los capitales a entregar: Anuales, semestrales, etc.

El tanto pactado de referencia es el denominado Tanto nominal de la operación que se designa con Jm, si este tanto de referencia, expresado normalmente en anual, no coincide con los vencimientos de los capitales a entregar, es cuando surge la problemática de los tantos y así tendremos:

• El tanto nominal Jm o tanto de referencia pactado.

• El tanto fraccionado im o tanto a aplicar a cada subperiodo, cuando existe fraccionamiento de los pagos respecto al tanto pactado o tanto nominal.

• El tanto efectivo i o tanto equivalente de la operación, que mide el coste o rendimiento real de la operación motivado por los fraccionamientos.

Si en una operación se pacta un tipo de interés del 8 % anual, y se ofrecen dos alternativas de pago: Anual y semestralmente. El coste real de la operación es diferente en cada uno de los casos debido a la anticipación de los capitales basándonos en el principio de subestimación de capitales:

• En el primer caso los 8 € a pagar al final del año están en nuestro poder, por lo que podemos gastarlos, prestarlos o invertirlos, sacando un rendimiento con ellos hasta el final del año.

• En el segundo caso sólo podemos de disponer todo el año de 4 € puesto que los otros hay que pagarlos antes, con lo que dejamos de disponer de ellos durante medio año perdiendo la posibilidad de invertirlos, gastarlos o prestarlos. Esto nos supondrá un coste que puede ser medido financieramente a través del tanto efectivo i de la operación.

• Esto supone, a modo de conclusión, que a mayor fraccionamiento de los pagos o de los cobros mayor coste o rentabilidad de la operación.

 Relación entre los tantos.

Establecidos los distintos tantos que aparecen en una operación financiera, vamos a establecer las relaciones entre ellos:

• Relación entre el tanto nominal Jm y el tanto fraccionado im:

El tanto nominal es la suma aritmética de los tantos de cada subperiodo, es decir:

Jm = im • m

Es por lo tanto proporcional al del subperiodo y en consecuencia actúa como un tanto en capitalización simple, tal como se explicó en el capítulo 2. Conocido el tanto nominal pactado podemos obtener el tanto asociado a cada subintervalo:

im =

• Relación entre el tanto fraccionado im y el efectivo equivalente i:

Será la relación establecida anteriormente, es decir son aquellos que producirán el mismo montante aplicado sobre el mismo capital en el mismo periodo de tiempo. Por lo tanto nos va a medir la variación, financieramente hablando, que se origina al fraccionar los pagos.

(1 + i) = (1 + im) m

Establecidas todas estas relaciones podemos comprobar que ahora seremos capaces de establecer todo tipo de relaciones entre las leyes simples y compuestas y entre sus tantos ya que conocido el tanto a aplicar a un subperiodo im podemos conocer de forma inmediata su equivalente en capitalización simple, que es el tanto nominal Jm o su equivalente en capitalización compuesta, que es el tanto efectivo i .

Veamos algunos ejemplos:

1.- En una operación de préstamo se ha pactado un tanto anual del 12 %, con pagos trimestrales. Calcular el tanto efectivo anual equivalente.

• El tanto pactado es del 12 % anual.

• Los pagos pactados son trimestrales, por lo que respecto al tanto pactado, m = 4.

Conocidas las expresiones de su relación, calcularemos los tantos pedidos:

 El tanto trimestral es: im = 12 %: 4 = 3 %, que será el tanto a pagar cada trimestre.

 El tanto anual efectivo: i = (1 + 0,03) 4 - 1 = 0,12550881, es decir del 12,550881 %, que es el coste real de la operación por el adelantamiento trimestral de los pagos.

Es decir pagar de una sola vez supone el desembolso de los 12 € al finalizar el año, y pagar cuatro veces desembolsando cada una de ellos 3 €, al estar efectuando un adelantamiento de los pagos dejamos de percibir los posibles beneficios de su inversión, por lo que supondrá un coste negativo que se cuantifica con el tanto anual efectivo.

2.- Se ha pactado una inversión por la que recibiremos un interés del 6 % semestral, pero pagadero mensualmente. Calcular el tanto nominal anual y el tanto efectivo anual equivalente.

• El tanto pactado es del 6 % semestral.

• Los pagos pactados son mensuales, por lo que respecto al tanto pactado, m = 6.

Conocidas las expresiones de su relación, calcularemos el tanto mensual y el resto de tantos:

 El tanto mensual es del im = 6 % : 6 = 1 %.

 El tanto anual equivalente para m = 12: i = (1 + 0,01) 12 - 1 = 0,126825, es decir el 12,6825 % anual.

 El tanto nominal anual para m = 12 sería: Jm = 0,01• 12 = 0,12 es decir del 12 % anual.

Si recibiésemos al finalizar el año todos los intereses juntos recibiríamos 12 €, pero como se van a recibir mensualmente, este dinero adelantado podemos invertirlo a su vez lo que nos dará un rendimiento en la operación superior, este rendimiento lo refleja el 12,6825 %.

 Comparación entre la capitalización simple y compuesta.

En la capitalización compuesta, el factor de capitalización (1 + i) n, es una función exponencial, cuya representación gráfica será una curva mayor que la unidad y creciente:

Sabiendo que el montante en capitalización simple es Cn = C0 (1 + i • n) y cuya representación gráfica es una recta creciente y que en capitalización compuesta el montante es Cn = C0 (1 + i) n y su representación gráfica es una curva creciente, tendremos para C0 = 1.

Comprobamos que para valores n < 1 , la capitalización simple produce montantes mayores que la simple, siendo el punto t0 la máxima diferencia. En cambio para valores n > 1, es la compuesta la que produce mayores montantes y para el caso en que n = 1, ambas producen montantes iguales.