MANUAL PR?CTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

6.- EJERCICIOS PRÁCTICOS RESUELTOS

 Planteamientos generales. Los cuadros de constitución.

En la parte teórica ya hemos hablado de que las cantidades que se ingresan para el ahorro de un capital determinado, que denominábamos términos impositivos, al contrario que los préstamos forma junto con los intereses devengados en cada periodo el capital ahorrado en un periodo, denominada cuota de capital o cuota de ahorro. Es decir, que continuamos con el aprendizaje, respecto al tema de las rentas, de conocer los componentes de diversas operaciones, en este caso las de ahorro, por lo tanto vamos a analizar qué contienen estos capitales, cuál es la función de cada uno de sus componentes, qué relación tienen entre ellos, etc.

En este apartado vamos a aprender a manejar las tablas de ahorro como herramienta en el aprendizaje del significado de sus componentes, de sus relaciones y de sus desgloses.

Al igual que en los préstamos, es importante que no avancemos si este apartado no nos queda claro, porque es necesario para poder entender el funcionamiento de las operaciones, de forma que sin tener los cuadros sepamos cuál es la posible evolución de la operación, etc.

Actividad nº 1:

Se desea ahorrar un capital de 10.000 € mediante imposiciones anuales constantes y anticipadas en 5 años. El banco valora la operación al 6 % anual. Se pide calcular la cuantía del termino y el cuadro de ahorro.

Solución:

• La cuantía del término se obtendrá con el valor final de una renta anticipada, por lo tanto:

10.000 = C • S 5 0,06 • (1 + 0,06) Operando, C = 1.673,55 €

• El importe de las cuotas se obtendrá por recurrencia entre ellas, conocido el valor de la primera y conocida la razón (1 + 0,06):

A1 = a + I1 = 1.673,55 + 1.673,55 • 0,06 = 1.773,96 €, y por recurrencia:

A2 = 1.773,96 (1 + 0,06) = 1.880,40 €

A3 = 1.773,96 (1 + 0,06)2 = 1.993,22 €

A4 = 1.773,96 (1 + 0,06)3 = 2.112,82 €

A5 = 1.773,96 (1 + 0,06)4 = 2.239,60 €

• Los intereses se obtendrán por diferencia entre el término impositivo y las cuotas de capital : I1 = 1.773,96 – 1.673,55 = 100,41 €

• El cuadro de ahorro será:

Actividad nº 2:

Para constituir un capital de 18.400 € en 8 años se ingresan a principio de cada año imposiciones de cuantía constante valoradas a un tanto del 7 %. Se pide calcular la cuantía de la imposición y el cuadro de la operación.

Solución:

• La cuantía del término se obtendrá con el valor final de una renta anticipada, por lo tanto:

18.400 = C • S 8 0,07 • (1 + 0,07)

Operando, C = 1.676,08 €

• El importe de las cuotas se obtendrá por recurrencia entre ellas, conocido el valor de la primera:

A1 = a + I1 = 1.676,08 + (1.676,08 • 0,07) = 1.793,41 €, y por recurrencia:

A2 = 1.793,41 (1 + 0,07) = 1.918,95 €

A3 = 1.793,41 (1 + 0,07)2 = 2.053,27 € y así sucesivamente.

• Los intereses se obtendrán por diferencia entre el término impositivo y las cuotas de capital: I1 = 179.341 – 179.341 = 11.733 €.

• El cuadro de ahorro será:

Actividad nº 3:

Se pretenden ahorrar 70.000 € en 6 años mediante el ingreso al final de cada uno de los próximos tres años de una cantidad constante y en los tres siguientes de una cantidad doble de la anterior. Si el interés es el 6 % anual, se pide calcular la cuantía de los ingresos, la cuantía de las reservas al final del 3º y 4º año y la cuantía de los intereses del 4º y 5º año.

Solución:

• Estamos ante dos rentas vencidas, de cuantía C y 2 C, valoradas al mismo interés. Por lo tanto la ecuación financiera de la operación, sabiendo que la primera renta tiene su suma en (3) y habrá que capitalizarla, será:

Operando, C = 6.890,50 € y 2 C = 13.781,00 €

• La reserva es el capital constituido hasta ese momento, por lo tanto será la suma de los pagos entregados hasta el momento tercero y cuarto:

• Al ser la operación vencida, la cuota de interés sólo se calcula sobre el capital constituido anterior: Is = Cs-1 • i , por lo tanto:

I4 = 21.936,60 • 0,06 = 1.316,20 €

I5 = 37.033,80 • 0,06 = 2.222,03 €

Actividad nº 4:

Colocamos al final de cada año una imposición constante para disponer dentro de siete años de un capital de 9.850 €, el banco valora la operación al 7 % anual durante los 4 primeros años y al 8 % anual en los 3 restantes. Se pide calcular la cuantía de los ingresos y las cuotas de capital.

Solución:

• Estamos ante dos rentas, al ser de la misma cuantía pero valoradas a dos tantos de interés distintos y vencidas. Por lo que la ecuación financiera de la operación será:

• Las cuotas de capital se obtendrán por recurrencia, una vez conocida la primera, ésta será igual al término al ser éste vencida: A1 = 1.114,32 €

A2 = 1.114,32 (1 + 0,07) = 1.192,32 €

A3 = 1.114,32 (1 + 0,07)2 = 1.275,78 €

A4 = 1.114,32 (1 + 0,07)3 = 1.365,09 €

Como en el segundo tramo cambia el tipo de interés, cambia la recurrencia entre las cuotas, por lo tanto calcularemos primero el valor de la quinta cuota y el resto por recurrencia. El capital ahorrado al finalizar el cuarto año será la suma de las cuotas calculadas, es decir C4 =  As = 4.947,51 €

A5 = C + I5 = 1.114,32 + 4.947,51 • 0,08 = 1.510,16 €

A6 = 1.510,16 (1 + 0,08) = 1.630,93 €

A7 = 1.510,16 (1 + 0,08)2 = 1.761,40 €

Actividad nº 5:

Una entidad va a realizar los siguientes ingresos al inicio de cada año: 100.000 €, 186.000 €, 200.000 € y 300.000 €, si le valoran la operación a un interés del 6 % se pide: La cantidad ahorrada, confeccionar el cuadro de la operación y si en el tercer año no puede realizar el depósito ¿Qué cantidad ha de ingresar en el cuarto?.

Solución:

• La ecuación de equivalencia que nos permite calcular la cantidad ahorrada sería la suma de los cuatro capitales llevados a p = 4:

Cn = 100.000 (1 + 0,06)4 + 186.000 (1 + 0,06)3 + 200.000 (1 + 0,06)2 +

300.000 (1 + 0,06)

Cn = 890.496,67 €

• El cuadro de ahorro se obtendrá por líneas al igual que en el caso anterior:

I1 = 100.000 • 0,06 = 6.000 €.

A1 = 100.000 + 6.000 = 106.000 €.

C1 = 106.000 €.

I2 = (106.000 + 186.000 ) • 0,06 = 17.520 €.

A2 = 186.000 + 17.520 = 203.520 €.

C2 = 106.000 + 203.520 = 309.520 €.

I3 = (200.000 + 309.520 ) • 0,06 = 30.571,20 €

Etc....

• En este caso la ecuación de equivalencia sería:

890.496,7 = 100.000 (1 + 0,06)4 + 186.000 (1 + 0,06)3 + C (1 + 0,06)

C = 512.000 €

Actividad nº 6:

Una empresa necesita para dentro de cuatro años 5.000.000 €, para disponer de dicha cantidad va a iniciar un plan de ahorro de forma que al final de cada año disponga de 1.250.000 €. Si la operación se valora al 6 % anual y las imposiciones se realizan al inicio de cada año, calcular los elementos del cuadro de ahorro.

Solución:

• Como la condición es ahorrar la misma cantidad de dinero, el valor de la cuota es la cuantía del capital que se quiere disponer cada año, es decir de 1.250.000 € y los términos serán variables de razón: d = - A • i • (1 + i) -1

Calculando las reservas, capital ahorrado hasta un periodo s, obtendremos el valor de los términos a imponer.

C1 = 1.2500.000

C2 = 1.250.000 • 2 = 2.500.000 €

C3 = 1.250.000 • 3 = 3.750.000 €

C4 = 1.250.000 • 4 = 5.000.000 €

• El valor de los pagos e intereses:

a1 = 1.250.000 • (1 + 0,06)- 1 = 1.179.245,28 €

I1 = (0 + 1.179.245,28) • 0,06 = 70.754,72 €

a2 = 1.179.245,28 – 70.754,72 = 1.108.490,86 €

a3 = 1.179.245,28 – 2 • 70.754,72 = 1.037.736,14 €

a4 = 1.179.245,28 – 3 • 70.754,72 = 966.981,42 €

• Los intereses que son crecientes en el tiempo tendrán, por lo tanto:

I2 = 70.754,72 + 70.754,72 = 141.509,44 €

I3 = 70.754,72 + (2 • 70.754,72) = 212.264,16 €

I4 = 70.754,72 + (3 • 70.754,72) = 283.018,88 €

Actividad nº 7:

Se desean ahorrar 6.000 € con imposiciones anticipadas en cinco años con la condición de que las cuotas de ahorro sean constantes. Si se valora la operación a un tanto anual del 5 % en los dos primeros años, del 6 % en los dos siguientes y del 7 % en el último, calcular los elementos del cuadro de la operación.

Solución:

• Como hay que ahorrar la misma cantidad cada año, el valor de la cuota será de 6.000 : 5 = 1.200 € anuales y por lo tanto los ingresos serán variables.

Calculando las reservas por recurrencia obtendremos el valor de los términos a imponer.

C1 = 1.200

C2 = 1.200 • 2 = 2.400 €, C3 = 1.200 • 3 = 3.600 €, C4 = 1.200 • 4 = 4.800 € y

C5 = 1.200 • 5 = 6.000 €

• El valor de los términos a imponer, vamos a calcularlos ahora mediante la relación entre las reservas que será más sencillo que por las recurrencias, ya que al existir tres tipos de interés existirían tres recurrencias diferentes, sabiendo que: Cs = (Cs-1 + as) (1 + i):

1.200 = (0 + a1) (1 + 0,05) operando a1 = 1.142,86 €

2.400 = (1.200 + a2) (1 + 0,05) operando a2 = 1.085,71 €

3.600 = (2.400 + a3) (1 + 0,06) operando a3 = 996,23 €

4.800 = (3.600 + a4) (1 + 0,06) operando a4 = 928,30 €

6.000 = (4.800 + a5) (1 + 0,07) operando a5 = 807,48 €

• Los intereses serían: Is = (Cs-1 + as) • i

I1 = (0 + 1.142,86) • 0,05 = 57,14 €

I2 = (1.200 + 1.085,71) • 0,05 = 114,29 €

I3 = (2.400 + 996,23) • 0,06 = 203,77 €

I4 = (3.600 + 928,30) • 0,06 = 271,70 € y

I5 = (4.800 + 807,48) • 0,07 = 392,52 €