Vamos a calcular la forma abreviada de obtener el capital suma al principio de la operación de una renta de cuantía unitaria que vence al final de cada periodo, durante n periodos. Para ello llevaremos todos los capitales unitarios al principio de la operación mediante el factor de contracapitalización. Su representación gráfica será:
Sumamos todos los valores para obtener el capital suma que será el valor actual:
Va = (1+i) - 1 + (1+i) - 2 + (1+i) - 3 + ………. + (1+i) - (n -1) + (1+i) - n
Sacando factor común a (1+i) - 1
Va = (1+i) - 1 [ 1 + (1+i) - 1 + (1+i) - 2 + ………. + (1+i) - n +2 + (1+i) - n + 1 ]
Dentro del corchete se ha formado una progresión geométrica decreciente de n términos, siendo el primer término 1, el último (1+i) - n + 1 y la razón (1+i) - 1 • Sustituyendo estos valores en la expresión matemática de la suma de los n términos de una progresión geométrica decreciente, sabiendo que dicha expresión es:
S = sustituyendo tendremos
Va = (1+i) - 1 • operando las potencias del numerador,
Positivando el denominador y operándolo:
Va = (1+i) - 1 • = (1+i) - 1 • =
= (1+i) - 1 • (1+i) •
Va = Esta expresión se representará con el símbolo a n i
Que representará a la expresión matemática del valor actual de una renta unitaria, es decir que con esta expresión podemos obtener de forma rápida la suma de n capitales unitarios. Si queremos obtener la suma de n capitales de cuantía C, bastará con multiplicar la expresión por la cuantía del capital:
Va = C • a n i