APLICACIONES DEL C?LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOM?A

5- INGRESOS

Ingreso total (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.

Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.

Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:

Cantidad Q Precio

P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)

En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.

Nótese que el ingreso total máximo se obtiene cuando el IM=0.

Ejemplo 12 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

La función de ingresos total de la Empresa Lycos S.A. dedicada a la producción de piensos para aves viene dada por IT(Q)= 30Q-3Q², donde Q es la cantidad de toneladas de piensos vendida por la empresa en un año.

a-) Determinar el ingreso marginal para Q=3, Q=4 y Q=3.5.

b-) ¿A qué nivel de producción alcanza la empresa un ingreso total máximo? Calcule su valor.

c-) Analice el inciso anterior gráficamente.

Solución:

a-) IM= (IT)’= (30Q-3Q²)’= 30-6Q

Para Q=3 Para Q=4

IM= 30-6*4=6 IM=30-6*3=12

Para Q=3.5

IM= 30-6*3.5=9

Rta: Cuando la producción es de 3 toneladas de pienso, el producir una unidad adicional traería consigo un aumento en los ingresos de $12.00, si fuera de 4 toneladas los ingresos totales aumentarían en $6.00 y si la producción fuera de 3.5 toneladas los ingresos totales aumentarían en $9.00.

b-) El ingreso total máximo se obtiene cuando IM=0:

IM=O IT(5)= 30*5-3*5^2

30-6Q=0 IT(5)= $756Q=30

Q=5u

Rta: Al producir 5 toneladas de piensos obtiene la Empresa Lycos S.A. un nivel máximo de ingresos de $ 75.00.

Solución gráfica:

Nótese que la función de Ingresos Totales tiene el punto de máximo donde su primera derivada es cero (IM = 0).

Ejemplo 13 (Aplicación de la integral indefinida)

La función de ingresos marginales de una fábrica está dada por

Imq = 20/ (4+q)2 .

a-) Hallar la función de ingreso total si este es de 20 unidades monetarias cuando la producción es de 2 unidades.

b-) Calcular la variación en el ingreso total cuando la producción aumenta a 4 unidades.

Solución:

a-) ITq = ∫ IMq *dq

= ∫ 20/(4+q)2 *dq

= -20/4+q + C

IT(2) = -20/4+2 + C

20 = -10 + C

C = 30

Rta: La función de ingresos totales está dada por la expresión

ITq = -20/4+q +30.

b-) IT(4) = -20/4+4 +30 = 27.5

Rta: Al duplicarse la producción los ingresos totales aumentan en 7,5 unidades monetarias.