APLICACIONES DEL C?LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOM?A

7- GANANCIA

Ganancia total (G): por definición la ganancia total es igual al ingreso total menos el costo total.

G= IT-CT= P*Q-CT

Relación con el IM y el CM: para maximizar la ganancia, la empresa debe buscar el precio y la cantidad de equilibrio, P* y Q* que le reporten el máximo beneficio, es decir la mayor diferencia entre IT y CT. Este precio y cantidad de equilibrio son aquellos con los que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

IM=CM con una Q* y un P* de máximo beneficio.

Ejemplo 17 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

En una empresa monoproductora en estudio, la función de costos está dada por

CT = Q²+Q+15 y su función de ingresos está determinada por los precios, según la expresión P = 40-1/2Q.

a-) Determine qué ganancia obtiene la empresa cuando produce 10 unidades.

b-) ¿A qué nivel de precios y con qué cantidad de producción encuentra la empresa el máximo beneficio? Calcule su valor.

c-) Analice el inciso anterior gráficamente.

Solución:

a-) G = IT-CT IT = P*Q

G = 40Q-1/2Q² -(Q²+Q+15) IT = (40-1/2Q)*Q

G =39Q-1.5Q²-15 IT = 40Q-1/2Q²

G =39*10-1.5*10²-15

G =$225

Rta: Si la empresa produce 10 unidades obtendrá una ganancia de $225.00.

b-) La ganancia máxima se obtiene cuando:

IM=CM IM= (IT)’ CM= (CT)’

40-Q=2Q+1 IM= (40Q-1/2Q²)’ CM=(Q²+Q+15)’

40-1=2 IM= 40-Q CM= 2Q+1

39=3Q

Q =13u

Sustituir Q =13 en P: Sustituir Q =2 en G:

P=40-1/2*13 G=39*13-1.5*13²-15

P=$33.5 G=$238.5

Rta: La empresa debe producir 1 unidades y debe vender a $33.5 por unidad para obtener el máximo beneficio de $238.5.

c-)

Ejemplo 18 (Aplicación de la integral definida)

La función de ganancia marginal está dada por GM = 60+3q2+10q.

a-) Calcular la ganancia total cuando la producción está en el intervalo (2;5).

b-) Realizar el inciso anterior gráficamente.

Solución

a-) GT = ∫ G’q *dq

= ∫ 60+3q2+10q

= 60q-q3+5q2/52 = $168

Rta: La ganancia total es de $168 cuando la producción está en el intervalo dado.

b-)