Ejemplo 25
Dada la función de demanda p = 8-3q y la función Cme = q-3+2/q de un monopolista.
a-) Represente las funciones de los costos e ingresos totales.
b-) Represente las funciones de los costos e ingresos marginales.
c-) Determine el valor de producción que maximiza la ganancia. Halle su valor. Corrobore estos resultados en los incisos anteriores.
d-) Calcule la elasticidad de la demanda para q =1 y q =2. Determine para que valor de producción la demanda es unitaria.
Solución:
a-) Función de costos totales: Función de ingresos totales:
Cme = CT/q IT = P*q
CT = Cme*q IT = (8-3q)*q
CT = (q-3+2/q)*q IT = 8q-3q2
CT = q2-3q+2
b-) Función de costo marginal: Función de ingreso marginal:
CM = (CT)’ IM = (IT)’
CM = ( q2-3q+2)’ IM = (8q-3q2)’
CM = 2q-3 IM = 8-6q
c-) La ganancia máxima se obtiene cuando:
IM = CM Función de ganancias totales:
8-6q = 2q-3 GT = IT - CT
8+3 = 2q+6q GT = (8-3q) – ( q2-3q+2)
11 = 8q GT = 6 –q2
1.375 u = q
Sustituir q = 1.375 en GT:
GT = 6- (1.375)2
GT = $ 4.10
Rta: Con una producción de 1.375 unidades se obtiene el valor de ganancia máxima de $4.10.
d-) E(d,p) = - p/d * d’(p) d’(p) = -1/3
E(d,p) = -p/ (p-8)/-3 * (-1/3)
E(d,p) = -p/ (p-8)
Para q= 1 Para q =2
p = 8-3*1 = 5 p = 8-3*2
E(d,p) = -5/5-8 = 1.66 E(d,p) = -2/2-8 = 0.33
Rta: Para q= 1 y para q= 2 la elasticidad de la demanda es elástica.
Demanda unitaria :
E(d,p) = 1 p = 8-3q
E(d,p) = -p/ (p-8) Sustituir p =4
1 = -p/ (p-8) 4 = 8-3q
p-8= -p q = 1.33 u
p =4
Rta: Para q= 1.33 la demanda es unitaria.
Ejemplo 26
Una empresa industrial determinó que sus funciones de ingresos y costos totales para uno de sus productos son 4q2-q y 3q2+2q-20. Se desea obtener:
a-) El nivel de producción que maximiza la ganancia. El valor de esta y el precio al que debe venderse el producto.
b-) El nivel de producción que maximiza el ingreso y el valor correspondiente de la ganancia.
Solución:
a-) La ganancia máxima se obtiene cuando:
IM = CM IM= (IT)’ CM=(CT)’
8q-1 = 6q+3 IM= (4q2-q)’ CM= (3q2+2q-20)’
8q-6q = 3+1 IM= 8q-1 CM= 6Q+3
2q = 4
q = 2 u
La función de ganancia es: Sustituir q =2 en la función de GT:
GT = IT-CT GT = 22-4*2+20
GT = (4q2-q)- (3q2+2q-20) GT = $16.00
GT = q2-4q+20
La función de ingresos es: Sustituir q =2 en la función de precios:
IT = P*q P = 4*2-1
IT/q = P P = $7.00
(4q2-q)/q = P
4q-1 = P
Rta: El nivel de producción que maximiza la ganancia es de 2 unidades, se obtiene una ganancia de $16.00, vendiendo cada unidad a un precio de $7.00.
B-) El ingreso máximo se obtiene cuando: Sustituir q = 1/8 en GT:
IM = 0 GT = (1/8)2-4*1/8+20
8q-1 = 0 GT = $19.51
q = 1/8 u
Rta: El nivel de producción que maximiza los ingresos es de 1/8 unidades. Para este valor de producción se obtiene una ganancia total de $19.51.
Ejemplo 27
Se conoce que el precio y la cantidad de equilibrio para una empresa son (Pe,qe) = (30,6) y la función de costos marginales es C’(q) = q2 +10.
a-) Obtener la expresión de la función de costos totales si la empresa tiene una ganancia de $100 cuando alcanza el equilibrio.
Solución
CT(q) = ∫ C’(q)*dq - Calcular para q= 6
= ∫ (q2 +10) dq
= q3/3 +10q + C
= 63/3+10*3+C
= 132 + C
IT = P*q = 30*6 = 180
GT = IT – CT
100 = 180 – (132+C)
C = 52
Rta: La función de costos totales está dada por la expresión CT(q) = q3/3 +10q + 52.
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
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Colectivo de Autores. 1997. Matemáticas en la Economía y la Empresa con Derive y Mathematica en un entorno Windows. Editorial RA-MA. P. 397-405
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Fernández, Celia. 1998. Fundamentos matemáticos y su aplicación económica. La Habana. p. 26-31, 64-67, 99-102
Miller, R. 1988. Microeconomía. P. 102-104, 118-120, 178-180, 620-624. Editorial McGraw-Hill.
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