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Mediana (Me): Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.
La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento es el punto C.
Existen entonces dos segmentos iguales:
4.2.1 Ejemplo: mediana para datos no
agrupados (cantidad de datos impar)
Encontrar la mediana para los siguientes datos:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
SOLUCIÓN
PASO
1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
4.2.2 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par)
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar la mediana:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5
SOLUCIÓN
PASO 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.
4.2.3 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo A
Calcular la mediana a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
|
Ni |
Clase |
f |
F |
h |
H |
|
1 |
10 |
5 |
5 |
10,4% |
10,4% |
|
2 |
20 |
7 |
12 |
14,6% |
25,0% |
|
3 |
30 |
10 |
22 |
20,8% |
45,8% |
|
4 |
40 |
13 |
35 |
27,1% |
72,9% |
|
5 |
50 |
10 |
45 |
20,8% |
93,8% |
|
6 |
60 |
2 |
47 |
4,2% |
97,9% |
|
7 |
70 |
1 |
48 |
2,1% |
100,0% |
|
Total |
48 |
|
100,0% |
|
|
SOLUCIÓN
PASO 1: Localizar entre que clases se encuentra la mediana. Observe que la mediana se encuentra entre las clases 3 y 4, donde podremos encontrar una frecuencia relativa acumulada del 50%.
|
Ni |
Clase |
f |
F |
h |
H |
|
1 |
10 |
5 |
5 |
10,4% |
10,4% |
|
2 |
20 |
7 |
12 |
14,6% |
25,0% |
|
3 |
30 |
10 |
22 |
20,8% |
45,8% |
|
4 |
40 |
13 |
35 |
27,1% |
72,9% |
|
5 |
50 |
10 |
45 |
20,8% |
93,8% |
|
6 |
60 |
2 |
47 |
4,2% |
97,9% |
|
7 |
70 |
1 |
48 |
2,1% |
100,0% |
|
Total |
48 |
|
100,0% |
|
|
PASO 2: Interpolar los datos para encontrar la mediana.
En el paso anterior habíamos dicho que el punto que divide el 2 parte iguales se encuentra entre 30 y 40.
|
|
Clase |
H |
|
|
40 |
72,9% |
|
|
30 |
45,8% |
|
Diferencia |
10 |
27,1% |
La diferencia entre las frecuencias relativas nos indica que existe entre las clases 27,1% de los datos. Para llegar al 50% de los datos, debemos incrementar en 4,2% datos partiendo desde la clase 30.
Con una regla de tres sencilla hallaremos el incremento en unidades dada en la clase para ese 4,2%.
|
10 |
27,1% |
|
Incremento |
4,2% |
Para llegar al 50% de los datos, a la clase 30 debemos incrementarle 1,55.
4.2.4 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo B
Determinar la mediana de la siguiente tabla de frecuencia:
|
Ni |
Lm |
Ls |
f |
F |
h |
H |
Mc |
|
1 |
21,20 |
29,21 |
5 |
5 |
12,50% |
12,50% |
25,21 |
|
2 |
29,21 |
37,21 |
2 |
7 |
5,00% |
17,50% |
33,21 |
|
3 |
37,21 |
45,21 |
10 |
17 |
25,00% |
42,50% |
41,21 |
|
4 |
45,21 |
53,21 |
7 |
24 |
17,50% |
60,00% |
49,21 |
|
5 |
53,21 |
61,21 |
12 |
36 |
30,00% |
90,00% |
57,21 |
|
6 |
61,21 |
69,21 |
3 |
39 |
7,50% |
97,50% |
65,21 |
|
7 |
69,21 |
77,20 |
1 |
40 |
2,50% |
100,00% |
73,21 |
|
Total |
40 |
|
100,00% |
|
|
||
SOLUCIÓN
PASO 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana.
Podemos observar que el punto que divide el 50% de los datos esta entre el intervalo de clase 3 y 5, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21 (hasta 45,21 hay agrupados el 42,50% de los datos, y hasta 53,21 se resume el 60,00% de los datos).
|
Ni |
Lm |
Ls |
f |
F |
h |
H |
Mc |
|
1 |
21,20 |
29,21 |
5 |
5 |
12,50% |
12,50% |
25,21 |
|
2 |
29,21 |
37,21 |
2 |
7 |
5,00% |
17,50% |
33,21 |
|
3 |
37,21 |
45,21 |
10 |
17 |
25,00% |
42,50% |
41,21 |
|
4 |
45,21 |
53,21 |
7 |
24 |
17,50% |
60,00% |
49,21 |
|
5 |
53,21 |
61,21 |
12 |
36 |
30,00% |
90,00% |
57,21 |
|
6 |
61,21 |
69,21 |
3 |
39 |
7,50% |
97,50% |
65,21 |
|
7 |
69,21 |
77,20 |
1 |
40 |
2,50% |
100,00% |
73,21 |
|
Total |
40 |
|
100,00% |
|
|
||
PASO 2: Interpolar los datos para encontrar la mediana. En resumen tenemos que:
|
|
Límite Superior |
H |
|
|
53,21 (Ls4) |
60,00% (H4) |
|
|
45,21 (Ls3) |
42,50% (H3) |
|
Diferencia |
8,00 |
17.50% |
Entre los dos límites superiores abarcan un total de 17,50% de los datos. Se debe aumentar en 7,50% los datos desde límite superior del tercer intervalo de clase.
|
8,00 |
17,50% |
|
Incremento |
7,50% |
Para llegar al 50% de los datos, 45,21 se aumenta en 3,43 unidades.
4.2.5 La fórmula para calcular la mediana
De este último ejemplo podemos determinar la fórmula para calcular la mediana. Observe que la mediana parte del límite superior del intervalo de clase anterior, la cual simbolizaremos por Lsi-1, siendo i igual a 4 (cuarto intervalo de clase). A este valor se le suma el incremento para llegar al 50% de los datos:
El incremento resulta de multiplicar el incremento para llevar la frecuencia al 50% (50% - Hi-1) por el ancho de la clase (A) sobre la diferencia porcentual entre los límites superiores (Hi Hi-1):
Simplificando aún más la fórmula, recordemos que Hi Hi-1 es lo mismo la frecuencia relativa del intervalo de clase i (hi).
Para expresar la fórmula en frecuencias absolutas tenemos que:
4.2.6 Ubicando la mediana en el gráfico de ojiva
En un gráfico de ojiva, la mediana corresponde a la proyección del punto en eje horizontal que equivale al 50% de los datos. En la el gráfico de ojiva del ejemplo 3.6.1, la mediana estaría ubicada en el sexto intervalo, entre 350 y 400:
4.2.7 Calculo de la mediana en Excel
Excel posee la función MEDIANA para el cálculo de la mediana en datos no
agrupados.
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MEDIANA: Calcula la mediana para una serie de datos.
Formato: MEDIANA(número1;número2; ) Categoría: Estadísticas
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