Análisis Cuantitativo con WINQSB

Víctor Manuel Quesada Ibarguen y  Juan Carlos Vergara Schmalbach

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8. ANÁLISIS DE DECISIONES

La opción Nuevo Problema (New Problem) muestra una ventana con los siguientes campos:

A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas sobre análisis de decisiones disponibles en WINQSB a través de la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification):

* Análisis bayesiano (Bayesian Analysis)

* Análisis de tablas de pago (Payoff Table Analysis)

* Juegos de suma cero para dos jugadores (Two-Player, Zeros-Sum Game)

* Análisis de árboles de decisión (Decision Tree Analysis)

A continuación explicaremos con un ejemplo algunas de estas opciones:

8.1 ANÁLISIS BAYESIANO

Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creación de una aplicación de análisis bayesiano.

Ejemplo 8-1:

Se tienen cinco urnas con 10 canicas cada una, de colores azul, negra y rojo, según se muestra en la tabla:

Canicas Urna 1 Urna 2 Urna 3 Urna 4 Urna 5 Azul 1 6 8 1 0 Negra 6 2 1 2 6 Rojo 3 2 1 7 4Si se elige una urna en forma aleatoria y se extrae una canica y esta resulta ser roja, cuál es la probabilidad de que provenga de la urna 3.

En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification) procedemos a ingresar los datos básicos para la solución del problema:

En el apartado Número de estados naturales (Number of the States of Nature) colocaremos la cantidad de urnas existentes, mientras que en el campo Número de resultados (Number of Survey Outcomes) escribiremos los tipos de canicas (tres en total: azul, negra y roja).

Al pulsar OK aparecerá una tabla en la cual podremos ingresar las probabilidades individuales, tanto para las urnas como las canicas que tienen dentro.

Para mejorar el aspecto de la tabla y evitar posibles equivocaciones en la interpretación de los datos, cambiaremos los campos de la tabla por los trabajados en el ejercicio. Empezaremos modificando los States por los nombre de las urnas correspondientes, para lo cual, en el menú Editar (Edit) elegiremos la opción Nombres de los estados naturales (State of Nature Name).

La ventana con los nombres modificados debe quedar así:

Para cambiar los Indicators por los correspondientes colores de las canicas haremos el mismo procedimiento solo que esta vez, seleccionaremos la opción Nombre del indicador (Survey Outcomes/Indicator Name)

Al pulsar OK regresaremos a la ventana inicial, la cual debería quedar como la siguiente:

Para poder resolver el problema deberemos pasar primero los datos del ejercicio a las probabilidades:

* De elegir una urna de forma aleatoria (probabilidad anterior)

* De seleccionar una canica dentro de la urna

La tabla resumen quedaría:

Canicas Urna 1 Urna 2 Urna 3 Urna 4 Urna 5 Probabilidad Anterior 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Azul 0,1 0,6 0,8 0,1 0,0 Negra 0,6 0,2 0,1 0,2 0,6 Roja 0,3 0,2 0,1 0,7 0,4 Total probabilidad canicas 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0Ingresemos ahora los datos a la tabla del WINQSB:

Para resolver el problema simplemente pulsamos en Resolver el problema (Solve the Problem) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).

La tabla generada muestra los resultados de las probabilidades condicionales.

En este caso la probabilidad de que al haber seleccionado la urna 3 se saque una balota roja es de 5,88%.

Para activar el modo gráfico pulsamos sobre Mostrar gráfico del árbol de decisión (Show Decision Tree Graph).

Gráficamente tenemos:

8.2 ÁRBOL DE DECISIÓN

Con el siguiente ejemplo expondremos un caso para la construcción y análisis de árboles de decisiones.

Ejemplo 8-2:

Se lanzan tres monedas al tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. El jugador invierte por jugada $100 y si gana recibe $5.000. ¿Es conveniente participar en el juego?

Para solucionar el problema debemos tener en cuenta un diagrama de árbol que represente los sucesos:

Primera Moneda Segunda Moneda Tercera Moneda

WINQSB maneja dos tipos de nodos: Nodos de decisión (decision node) y Nodos de oportunidad (chance node), Los segundos trabajan con condiciones de incertidumbre, mientras que los primeros son dispuestos por el usuario.

En este caso, los eventos están dispuestos por nodos tipo oportunidad sujetos a una probabilidad del 0.50 de que ocurra cada uno de forma independiente (de que salga cara o sello).

En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification) digitamos la cantidad de nodos que componen el árbol:

Los datos introducidos en la plantilla deberán quedar como sigue:

La primera columna indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna corresponde al nombre del nodo (se indico con la secuencia de sucesos para facilitar su identificación, por ejemplo, el nodo CCC significa que los nodos anteriores equivalen a dos caras consecutivas). Para indicar el tipo de nodo solamente marcamos con la letra “C” para un nodo tipo oportunidad.

Para mostrar la secuencia en la columna Nodo siguiente inmediato (Inmediate Following Node). Los nodos terminales se identifican claramente por no tener sucesores.

Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos terminales). Para el nodo CCC (sucede cuando las tres caras caen) corresponde a un ingreso de $5.000 (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen una perdida de $100. La probabilidad de cada evento es del 0.50, indicado en la última columna (excepto para el nodo inicio).

Podremos ver un modelo gráfico del árbol pulsando sobre la opción Dibujar árbol de decisión (Draw Decision Tree) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).

El árbol completo quedaría:

Al pulsar sobre en Resolver el problema (Solve the Problem) tenemos un cuadro resumen con los resultados del análisis:

El ingreso esperado (Value Expected) se muestra al final, equivalente a un valor de $537,50. El cálculo se realiza así:

E(X) = $5.000 (0.125) - $100 (0.125) x 7 = 625,0 - 87,5 = 537,5

La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente participar en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el tiempo.

8.3 JUEGOS DE SUMA CERO

La teoría de juegos se ocupa de las situaciones de competencia en las que los competidores deben adoptar decisiones contando con la disponibilidad de unas estrategias cada uno de ellos, las que por cierto son conocidas por ambos. Cuando en un juego las ganancias de un competidor son pérdidas para el otro, se dice que el juego es de suma cero, cual es el caso que nos ocupa.

Si las estrategias son tales que los intereses de los dos competidores se centran en un mismo valor de la matriz de pagos, el juego tendrá un “punto de silla” o equilibrio y esa cantidad constituye el valor del juego. Se dice entonces que los competidores usan estrategias puras, lo que significa que cada competidor tendrá una estrategia que usará el 100% del tiempo. En cambio cuando no se da esta situación los competidores distribuyen su tiempo de juego entre varias estrategias; se habla así de estrategias mixtas.

A continuación se plantean estos dos casos y la forma de introducir los datos en el WINQSB y hallar la solución.

Supóngase dos competidores bajo la situación que se plantea en la matriz de pagos siguiente:

El competidor ubicado a la izquierda de la matriz es el maximizante y el de la parte superior es el minimizante. Introduzcamos los datos en el WINQSB.

La solución:

De la tabla solución podemos observar que la estrategia 1-1 (estrategia 1 del competidor 1) es dominada por la estrategia 1-2 y la 2-1 es dominada por la 2-2, con lo que sólo queda un valor de la matriz (80). Así pues, se alcanza un punto de silla con lo que la estrategia pura para el jugador 1 es la 1-2 y para el competidor 2 es la 2-2. El valor del juego es 80, a favor del competidor 1.

Ejemplo de estrategias mixtas:

Como puede apreciarse en el tablero de la solución, al no existir punto de silla los competidores reparten su tiempo de juego así:

El competidor uno jugará su estrategia 1 el 40% del tiempo, la 2 el 40% del tiempo y no jugará su estrategia 3. El competidor dos jugará la estrategia 1 el 80% del tiempo y su estrategia 2 el 20 %.


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