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6. Variables dependientes discretas y limitadas
Existen muchos fenómenos en la actividad económica que responden a elecciones discretas como la decisión de trabajar, la decisión de comprar una bien, la decisión de votar por un candidato, etc.
Para Amemiya (1981), existen dos factores que explican el interés en los modelos de respuesta cualitativa: Primero, los economistas trabajan con modelos que involucran más de una variable discreta, más de dos respuestas, y por supuesto, más de una variable independiente. Segundo, el creciente número de encuestas que se realizan y la posibilidad de trabajar los datos que éstas producen.
A continuación, se desarrollarán algunos modelos estadísticos cuyo objetivo consiste en facilitar la contrastación empírica de la teoría del consumidor. Estos modelos son el de probabilidad lineal, el Logit, el Probit y el Tobit en sus diferentes versiones. Luego se presentará una versión del modelo de autoselección de Heckman y, finalmente, el modelo de variables latentes.
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6.1. Especificación del modelo
Suponga que usted desea considerar la ocurrencia de un evento como "comprar un carro"; para describir este evento, definiremos la variable aleatoria dicotómica Y, la cual tomará el valor de 1 si el evento ocurre y 0 si no ocurre. De igual forma, deberemos asumir que la probabilidad del evento depende sobre un vector de variables independientes x* y un vector de parámetros desconocidos . El subíndice i denota el i- ésimo individuo. De esta forma, un modelo general dicotómico univariado, se puede expresar como:
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6.2. Formas comunes de las funciones de probabilidad
Considere el siguiente modelo de consumo de automóviles: el consumidor responderá Y=1 si compra el automóvil y Y=0 si no lo compra. Dado que nosotros consideraremos que los factores x*i, explican la decisión que toma el consumidor:
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6.3. Estimación
A excepción del modelo de Probabilidad Lineal, los modelos Probit y Logit se estiman por máxima verosimilitud donde cada observación es extraída de una distribución de Bernoulli. El modelo con una probabilidad de suceso f('x) y observaciones independientes lleva a una probabilidad conjunta o a una función de verosimilitud de la forma:
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6.4. Algunos modelos aplicados
En economía, la tradición de usar modelos Logit y Probit es extensa, aquí menciono tan sólo algunos modelos, quedando en deuda con el resto.
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6.4.1. Domencich y McFadden
Considérese a un individuo que toma la decisión entre conducir o usar un método alternativo para ir al trabajo (autobús, metro, etc.). La utilidad que se asocia a cada forma de transporte, está en función de las características Z (principalmente el tiempo y el costo en que se incurre en cada elección) y las características individuales socioeconómicas w, más un término aleatorio de error . Definiendo i1 y i0 como la utilidad indirecta13 asociada a la i-ésima persona cuando conduce o toma otro transporte y cuando esta función es lineal:
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6.4.2. Lee, L.F.
6.4.3. Pencavel
Pencavel estudia cómo inciden en las decisiones de trabajar de la esposa y el esposo la ayuda económica brindada por el gobierno de los Estados Unidos en Seattle y Denver. De esta forma, estima la probabilidad de trabajar de la esposa usando 1657 familias durante 2 años. Las variables que el autor usa son: F igual a uno si la familia pertenece al experimento y cero lo contrario; L igual a uno si el esposo trabaja durante el año anterior al experimento y cero lo contrario; Y igual a uno si la observación es extraída del segundo año de experimento y cero si es extraída del primer año; U igual a uno si el esposo estuvo desempleado durante el año. Se estimaron dos modelos: uno que reporta estimaciones bajo un modelo de probabilidad lineal y otro que estima un modelo Logit , como se observa a continuación:
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6.5. Modelo de efectos fijos y aleatorios en datos de panel
Considérese el modelo estructural Probit para datos de panel:
Al condicionar las probabilidades a la suma en las dos observaciones se remueve la heterogeneidad existente. Por lo tanto, la función de verosimilitud condicional será el producto de los conjuntos de observaciones para los que la suma no es cero ni T.
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6.6. El modelo Logit condicionado
Esta es una versión reciente para incluir los atributos presentes en los bienes. Suponga que exista un modelo de elección no ordenada que provenga de una utilidad aleatoria para el i- ésimo consumo en j elecciones. De esta forma, la utilidad de la elección j es:
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6.7. Modelos multinomiales
Un modelo multinomial de respuesta cualitativa se define de la siguiente forma. Asuma que la variable dependiente yi toma mi + 1 valores {0, 1, 2, . . ., mi}, entonces el modelo multinomial vendrá dado:
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6.8. Variables dependientes limitadas
Existe un gran número de datos cuya observación nos muestra que están limitados o acotados de alguna forma. Este fenómeno lleva a dos tipos de efectos: el truncamiento y la censura.
El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de datos es extraída aleatoriamente de una población de interés, por ejemplo, cuando se estudia el ingreso y la pobreza se establece un valor sobre el cual el ingreso se encuentra por encima o por debajo del mismo. De esta forma, algunos individuos podrán no ser tenidos en cuenta. Por otro lado, censurar es un procedimiento en el cual los rangos de una variable son limitados a priori por el investigador; este procedimiento produce una distorsión estadística similar al proceso de truncamiento.
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6.8.1. Truncamiento
Una distribución truncada es la parte de una distribución no-truncada antes o después de un valor específico; imagínese por ejemplo que nosotros deseamos conocer la distribución de los ingresos anteriores a 100.000 o el número de viajes a una zona mayores de 2, ésta será tan sólo una parte de la distribución total.
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6.8.2. Censuramiento
Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar la variable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en un determinado rango son todos transformados a un valor singular. De esta forma, si definimos una variable aleatoria y transformada de la variable original como:
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6.8.3. Modelos Tobit
Los modelos Tobit se refiere a modelos censurados o truncados donde el rango de la variable dependiente se restringe de alguna forma. El problema puede verse como:
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6.9. Contrastes de especificación
De la mano con el desarrollo de las formas de estimación de los modelos, la literatura ha venido ofreciéndonos una serie de contrastes para conocer la "bondad" de los modelos estimados. El origen de estos contrastes se remonta a los trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score" o "contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959) propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es otra cosa que el mismo contraste de Rao.
El contraste de multiplicadores de Lagrange no es el único que se pueda usar, pues están el de Hausman (1978) y el contraste de momentos condicionales [Newey (1985) y Tauchen (1985)]. Para Pagan y Vella (1989) el uso del contraste de especificación en variables dependientes limitadas no es muy común debido a la dificultad computacional de los mismos.
Los contrastes de especificación que se desarrollarán serán: El contraste de Rao ó contraste de puntuación; el contraste de especificación de Hausman, el cual parte de los trabajos de Durbin (1954) y por lo tanto se conoce también como Durbin-Hausman o Durbin-Wu-Hausman debido a los trabajos de Wu (1973); el contraste de la matriz de información de White (1982) y el contraste de momentos condicionales sugerido por Newey (1985) y Tauchen (1985).
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6.9.1. Contraste de Rao ó contraste de puntuación
6.9.2. El contraste Durbin-Hausman
6.9.3. El contraste de la matriz de información de White
6.9.4. El contraste de momentos condicionados (CM)
6.9.5. Contrastes de heterocedasticidad
6.9.6. Contrastes de normalidad
6.9.7. Contraste de correlación contemporánea
6.9.8. Contraste de sesgos de selección
6.9.9. Contraste de estabilidad
6.9.10. Contraste de exogeneidad
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6.10. Variables latentes
Las variables latentes representan conceptos unidimensionales en su más pura forma, puede decirse que se trata de variables abstractas como inteligencia, paisaje, etc. Como todas las variables latentes corresponden a conceptos, ellas son variables hipotéticas que varían en su grado de abstracción: inteligencia, clase social, poder y expectativas son variables latentes abstractas creadas en la teoría. Variables menos abstractas son la educación y el tamaño de la población.
Un ejemplo es la hipótesis de Emile Durkheim sobre la relación inversa entre la cohesión social y el suicidio: la cohesión social se refiere a la solidaridad de grupo, la cual es una variable abstracta; el suicidio es directamente observable, pero la relación directaindirecta es muy débil de acuerdo con la misma clasificación de los suicidios.
Un modelo latente se acompaña de un conjunto de ecuaciones estructurales que resumen las relaciones entre las variables latentes. Bollen (1989) usa las relaciones entre la democracia política y la industrialización en países desarrollados, para introducir la noción de modelos de variables latentes. Dado que algunas sociedades han alternado entre dictaduras y regímenes electorales, es difícil discernir si la asociación realmente existe. La democracia política se refiere a la extensión de los derechos políticos (imparcialidad de las elecciones) y libertades políticas (libertad de prensa) en un país. La industrialización es el grado en el cual la economía de una sociedad se caracteriza por el proceso de manufactura mecanizado, esto implica riqueza social, población educada, avances en el estándar de vida, y éstas son las oportunidades de una democracia.
Suponga que se tienen tres variables latentes aleatorias: democracia política en 1965 y 1960 e industrialización en 1960. Uno podría asumir que la democracia política en 1965 es una función de la democracia política e industrialización de 1960. No existe nada que nos diga que el nivel de industrialización es una variable latente exógena (independiente) y se simboliza como 1, esta es exógena, en tanto sus causas están por fuera del modelo. La variable democracia política es una variable latente endógena, ella está determinada por variables en el modelo, cada variable latente es representada por i. De esta forma, la democracia política en 1960 es representada por 1 y la democracia política en 1965 por 2, las variables latentes endógenas son parcialmente explicadas en el modelo y el componente no explicado i es un término aleatorio; de esta forma, el modelo de variables latentes para el ejemplo será:
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6.10.1. Ecuaciones estructurales con variables observadas
6.10.2. La Matriz de covarianzas
6.10.3. Identificación
6.10.4. Estimación
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