ESTIMACIÓN DEL PASS-THROUGH EN COSTA RICA

III. MARCO METODOLÓGICO

3.2 Estimación del Pass-Through

B. Cuantificación del Pass-Through mediante Ecuaciones Aparentemente no Relacionadas (SUR)

Un sistema de ecuaciones aparentemente no relacionadas es un caso muy específico de un sistema de ecuaciones simultáneas, en el que la correlación entre las ecuaciones se origina entre los errores de éstas y no en la incorporación de variables endógenas como variables predeterminadas en otras ecuaciones del sistema, tal y como ocurre en un caso típico de ecuaciones simultáneas.

En definitiva, cuando se recurre al método SUR, se supone que existe una correlación identificable de los términos de error entre las ecuaciones del sistema, lo cual no debe confundirse con el problema de autocorrelación, es decir, la correlación de los errores dentro de la misma ecuación.

En este sentido, se puede especificar un sistema SUR tal como sigue:




[ 22 ]

donde
son las variables endógenas
son las variables exógenas
son los errores que están asociadas a cada ecuación.

En el caso en que las ecuaciones fueran completamente independientes en el sentido de la variabilidad de alguna de las variables endógenas no afectara el comportamiento de alguna otra ecuación, cada una de las ecuaciones podría ser estimada con el uso de mínimos cuadrados ordinarios, con resultados de estimadores insesgados y con errores cuadrados medios que pueden no ser elevados.

Sin embargo, esta estimación podría ser incorrecta si se detectara algún movimiento simultáneo de todas las ecuaciones originado por una supuesta relación contemporánea entre los distintos términos de error que no se origina por la presencia de variables endógenas predeterminadas en las ecuaciones.

Un punto general importante es señalado por Araya y Muñoz (1996): “el número de variables exógenas no tiene que ser el mismo para cada una de las ecuaciones. Es más, la eficiencia del método SUR aumenta en el tanto las variables muestren una menor asociación entre ecuaciones”.

Los mismos autores plantean una especificación del modelo general de la siguiente forma:
[ 23 ]

donde . Lo anterior es la representación matricial de la m-ésima ecuación del sistema [17]. En este sentido, al considerar las ecuaciones de forma matricial se tiene la siguiente representación:

[ 24 ]

Ahora, dado que es el valor observado del término de error de la m-ésima ecuación en el i-ésimo periodo, el supuesto de correlación contemporánea de los errores, pero no correlación serial, implica que:
[ 25 ]
donde:
es el valor observado del término error de la j-ésima ecuación en el s-ésimo periodo.
Así, cuando los errores i y s coinciden existe una covariancia diferente de cero entre los errores de las ecuaciones m y j.

En forma matricial se puede especificar una matriz de variancias y covariancias para las ecuaciones y como:
[ 26 ]

Para los vectores de términos de errores existe una matriz de variancias y covariancias que asume la siguiente forma:

[ 27 ]

donde
es el producto de Kronecker
es la matriz de variancias y covariancias de la forma:

[ 28 ]

La matriz anterior presenta las características de que es simétrica (se supone positiva definida) y no es singular.

En cuanto a la estimación de este método, se debe partir de la condición de si se conoce o no la matriz de variancias y covariancias. En el caso de que sea conocida, el procedimiento de estimación corresponde al de mínimos cuadrados generalizados. En este caso el estimador toma la forma:
[ 29 ]

Araya y Muñoz destacan tres aspectos sobre la eficiencia (mínima variancia) de los estimadores SUR: primero, cuanto más elevada la correlación contemporánea de los términos de error entre ecuaciones, mayor será la ganancia de eficiencia del estimador generalizado. Segundo, si esta correlación es muy baja, no hay una ganancia importante por aplicar la regresión SUR a las ecuaciones en vez de utilizar los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) en cada ecuación. Tercero, si cada una de las ecuaciones del sistema tiene las mismas variables exógenas, entonces los estimadores SUR son equivalentes a los mínimos cuadrados ordinarios.

Por otra parte, en el tanto la matriz de variancias y covariancias no sea conocida, tal y como ocurre en la práctica econométrica, es necesario recurrir a una estimación preliminar de los errores. Este procedimiento se logra alcanzar mediante la aplicación de mínimos cuadrados ordinarios a cada una de las ecuaciones del sistema. Si bien las variancias y covariancias calculadas con estos errores mínimos cuadráticos son segados en muestras pequeñas, tienen la propiedad de consistencia, lo cual permite continuar con el método SUR. Por tanto, si se define como la matriz de variancias y covariancias conformadas por las estimaciones MCO, el correspondiente estimador mínimo cuadrático generalizado asume la forma :
[ 30 ]
Empero, existe otro estimador con propiedades asintóticas más deseables: el iterativo. Una vez que se cuenta con el estimador de Zellner, se calculan los errores y variancias a partir de ellos, y luego se aplica un nuevo cálculo de mínimos cuadrados generalizados. Este procedimiento se repite hasta que la función de verosimilitud alcance un máximo.