MODELO PARA LA ESTRUCTURACIÓN Y FORMACIÓN DE HABILIDADES LÓGICAS A TRAVÉS DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Elsa Iris Montenegro Moracén

II.3.1.- La determinación del sistema de habilidades lógicas del Análisis Matemático

Derivado de los problemas profesionales de la carrera, que se han precisado a partir de las modificaciones del plan de estudios, vigente desde el curso escolar 2002-2003, como:

• El dominio de estrategias de aprendizaje que le permitan su desarrollo autodidacta, su crecimiento personal y profesional, así como la posibilidad de enseñar a aprender a sus alumnos.

• El planteamiento, la formulación y la resolución de problemas relacionados con la vida económica, política y social del país sobre la base de la interpretación de hechos y procesos que se den en la naturaleza y la técnica, empleando conceptos, leyes, teorías y métodos de las ciencias, en general, y de la Matemática y la Informática en particular.

• La utilización de métodos y formas de trabajo habituales en la actividad científica, tales como: planteamiento de interrogantes, búsqueda de información a partir de diversas fuentes, formulación de hipótesis y problemas, elaboración de vías para su validación o resolución, incluyendo el diseño de experimentos, valoración de estas vías y sus resultados en el colectivo, planteamiento de nuevas interrogantes, la argumentación y comunicación de los resultados.

Se precisa el problema de la carrera, que está dado por la conducción e investigación del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática escolar. Como consecuencia, se precisa, el problema del contenido del Análisis Matemático, el cual se manifiesta en: la utilización del conocimiento, la lógica y los métodos de las dependencias funcionales entre las propias magnitudes variables y las cifras que las expresan para conducir e investigar dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática escolar.

Como resultado del análisis de los modos de actuar lógicos del profesor de Matemática, para resolver el sistema de problemas que genera la lógica esencial de la profesión, se determina el sistema de habilidades lógicas que se requieren para formar la estructura lógica del pensamiento que requiere el profesional. Este sistema de habilidades está compuesto por habilidades lógicas básicas, generalizadas o intelectuales y esencial, en sus distintos niveles.

A partir de que los profesores egresados de la carrera deben ser capaces de lograr que sus estudiantes expongan, expliquen y fundamenten los procedimientos de la Matemática escolar, relacionados con las dependencias funcionales y magnitudes variables en que éstas se expresan, mediante la utilización de la lógica, los conceptos, teoremas, procedimientos y los métodos del Análisis Matemático, lo cual incide directamente en su labor profesional, así como del problema de esta disciplina, se ha determinado que la misma contribuye a formar una habilidad esencial, la cual debe responder a la lógica de actuación del profesor de Matemática, en correspondencia con su pensamiento lógico-matemático, comunicativo e interpersonal.

Se requiere que la habilidad determinada generalice e integre:

Primero: La utilización de los conceptos, teoremas y procedimientos del Análisis Matemático, para la fundamentación de procedimientos, demostración de proposiciones y la resolución de ejercicios y problemas en los que intervienen relaciones funcionales y las magnitudes variables como formas de su expresión. (Que corresponde al pensar lógico del Matemático)

Segundo: Fundamentar procedimientos de la Matemática escolar, en los que intervienen relaciones funcionales y las magnitudes variables como formas de su expresión, a partir de los contenidos del Análisis Matemático, lo cual significa la realización de transferencias de significados matemáticos . (Que corresponde a la lógica del pensamiento del investigador de la Didáctica, de la Matemática escolar, del Análisis Matemático, o del profesor de Matemática)

Tercero: Conducir el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática escolar mediante la utilización de los contenidos del Análisis Matemático. (Que corresponde a la lógica del pensamiento del profesor de Matemática escolar).

Estas acciones expresadas en tres condiciones significan los momentos de abstracción que se realizaron para la determinación de la habilidad esencial. Su formulación ha quedado expresada como sigue: Conducir el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática escolar, utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos del Análisis Matemático.

El carácter de esencia de esta habilidad se manifiesta en que posee un connotado valor metodológico por revelar: la relación causa-efecto, que no es otra cosa que el vínculo existente y no observable entre el fenómeno y su esencia; la tendencia del desarrollo del fenómeno, lo cual implica anticiparnos al comportamiento de éste bajo determinadas condiciones y; su relación necesaria, imprescindible y de relativa estabilidad que fundamenta el movimiento continuo de su existencia. Penetrar en las leyes de la conducta de un fenómeno es también actuar sobre él de forma predeterminada, considerando las posibles variables que pueden incidir en la vida de éste.

A partir de la habilidad esencial se determinan las habilidades lógicas generalizadas o intelectuales y lógicas básicas del Análisis Matemático, las cuales se conciben mediante un procedimiento de derivación e integración que permite asegurar su sistematicidad en el proceso de enseñanza - aprendizaje.

Para la conducción de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática escolar al profesional, pueden presentárseles diversos problemas desde el punto de vista matemático, abstrayéndolos de otras situaciones pedagógicas y psicológicas. Entre éstas, ordenadas lógicamente se encuentran: Fundamentar reglas y procedimientos matemáticos, demostrar proposiciones matemáticas sencillas y resolver ejercicios y problemas matemáticos, las cuales se denominan habilidades lógicas generalizadas o intelectuales, porque además de abarcar; integran y sistematizan gran cantidad de operaciones lógicas dentro de la disciplina, que el estudiante debe ejecutar para poder asimilar el contenido adecuadamente.

Fundamentar reglas y procedimientos matemáticos

Representa el primer nivel de generalización dentro del Análisis Matemático para la carrera, prepara al futuro profesor para fundamentar los contenidos de la Matemática escolar tomando como base los contenidos de la disciplina, lo que revela la transferencia en el nivel de sistematicidad de la habilidad, es decir:

- Primero fundamenta los procedimientos y reglas propios del Análisis Matemático, dentro de la disciplina.

- Luego, basado en ellos, fundamenta los contenidos de la Matemática escolar a partir de los conocimientos más amplios que posee, hace una simplificación teórica y sintetiza los conocimientos en aspectos más concretos, dando una visión elemental sobre la base de un conocimiento profundo, con conocimiento del por qué de lo que explica, con conciencia e implicación personal en la explicación del o de los procedimientos, lo cual revela la profundidad en la fundamentación que realiza y va expresando la formación de las habilidades lógicas del Análisis Matemático.

Operacionalización de la habilidad:

- Observar el objeto matemático, para ubicarlo en el contexto del sistema de conocimientos, caracterizarlo como un procedimiento, un teorema, una demostración, un método, etcétera.

- Analizar el objeto matemático: determinar los conceptos, relaciones y dependencias funcionales que aparecen declaradas y subordinadas formas y orden en que aparecen relacionados.

- Seleccionar juicios o proposiciones: realizar una búsqueda interna de conocimientos precedentes, que le permitan seleccionar los juicios o proposiciones adecuados para fundamentar la demostración o procedimiento utilizado.

- Expresar su criterio en forma escrita, gráfica y oral, con relación a las operaciones realizadas.

Demostrar proposiciones matemáticas sencillas

El contenido del Análisis Matemático por su elevado carácter teórico abstracto, se estructura esencialmente a través de conceptos, teoremas y reglas. En la disciplina la mayor parte de los teoremas y reglas se demuestran, pues a través de ellos se revelan métodos y procedimientos matemáticos para demostrar otras proposiciones, resolver ejercicios y problemas. Por tanto, apropiarse de los métodos lógicos de demostración matemáticos generales y propios del Análisis Matemático es de mucha importancia y utilidad.

Para aprender a demostrar proposiciones sencillas del Análisis Matemático; es importante:

- Dominar los conceptos que intervienen en la proposición y su significado, sus relaciones, para poder emitir nuevas inferencias y conclusiones.

- Estar familiarizado con los métodos de demostración: directos e indirectos (reducción al absurdo, diferenciación de cosos, de inducción completa, etcétera).

- Conocer las reglas de inferencias lógicas, las cuales constituyen modelos.

- Identificar la estructura de la proposición a demostrar, según las reglas de inferencia.

- Determinar las hipótesis y tesis de las proposiciones a demostrar.

- Aplicar las reglas de inferencias para poder emitir juicios nuevos.

- Fundamentar la aplicación de las reglas de inferencias y los juicios emitidos.

Si el estudiante posee habilidades para fundamentar, podrá encontrar sin muchas dificultades las relaciones, conexiones y podrá llagar a conclusiones, por tanto la acción de demostrar sistematiza la de fundamentar.

Operacionalización de la habilidad:

- observar la proposición a demostrar,

- determinar exigencias de la demostración.

- analizar la proposición que se va a demostrar,

- reflexionar acerca de las relaciones que se presentan, las condiciones de partida, la tesis, la existencia de modelos, etc.

- comparar las condiciones dadas con las de proposiciones conocidas, sus vías de demostración, los métodos empleados, etc.

- establecer relaciones entre los elementos que se aportan con otros conocidos o determinados mediante el proceso de demostración.

- evidenciar la veracidad o falsedad de las exigencias iniciales.

Resolver ejercicios y problemas matemáticos

Un problema dentro de la disciplina del Análisis Matemático o de la enseñanza de la Matemática escolar puede ser la formulación de un problema después de haberse expuesto la situación de aprendizaje y logrado la situación problémica, fundamentar o explicar la fundamentación, demostrar o explicar la demostración de un teorema o proposición, lograr que los alumnos fundamenten o demuestren una proposición, resolver una situación de la práctica o la sociedad en que intervienen relaciones funcionales y las magnitudes variables en que se expresan, siempre que represente una situación cuya solución y métodos para encontrarla sean desconocidos por el estudiante y que sienta la necesidad de hallarlos. Esta habilidad sistematiza las dos anteriores, según queda expresado, y es muy importante su formación para el profesor de Matemática.

Operacionalización de la habilidad:

- Interpretar la situación o tarea dada.

- Modelar las relaciones dadas, que resulta del problema formulado o por formular.

- Calcular con magnitudes variables, signos y símbolos que expresan relaciones determinadas por las dependencias funcionales, así como con las cifras que las expresan.

- Valorar la utilización de modelos y métodos matemáticos propios del Análisis Matemático y su relación con las otras ramas de la Matemática, como síntesis de la integración de la Matemática como ciencia, así como las soluciones obtenidas en los problemas resueltos.

Como se ha observado estas habilidades generalizadas no están aisladas unas de otras, sino que se entrelazan y una va consolidando la otra.

La lógica en la formación de estas habilidades está determinada a partir de que los problemas más elementales del Análisis Matemático están en la fundamentación de reglas y procedimientos, luego se van complicando a la demostración de proposiciones matemáticas sencillas y luego se llegaría a la resolución de problemas más generales, que pueden abarcar la fundamentación, la demostración o la búsqueda de soluciones a otras situaciones que requieran de los recursos matemáticos que aporta este contenido para la extrapolación de significados.

La formación de estas habilidades está ligada al tránsito por el sistema de conocimientos con su lógica inductivo- deductiva y depende de la formación de las habilidades matemáticas y lógicas, que condicionan el modo de pensar de los estudiantes, para lograr la asimilación del contenido.

La precisión de estas habilidades generalizadas se ha realizado partiendo del sistema de habilidades propuesto en el programa de la disciplina, teniendo en cuenta las regularidades esenciales que se deben dar en los estudiantes, a través de su tránsito por el sistema de contenidos del Análisis Matemático y el objeto de su profesión.

Determinación y concatenación de habilidades lógicas básicas más trascendentes del Análisis Matemático

Para precisar cuáles son las habilidades lógicas que se deben formar para lograr las generalizadas o intelectuales, en el contexto del sistema de conocimientos de la Disciplina, se realiza un procedimiento que consiste en la derivación e integración de sus operaciones, entendiendo por derivación en el proceso de formación de habilidades, su descomposición en las operaciones que la componen en correspondencia con el grado de generalidad de la habilidad, en las cuales pueden existir operaciones que posean rasgos análogos, comunes y distintos.

La analogía, como factor heurístico positivo, puede ayudar en las direcciones siguientes: aplicarse para descubrir una relación lógica nueva y expresarla formalmente, sugerir el método y el procedimiento para la demostración de una nueva relación lógica y sugerir la vía o procedimiento para la resolución de un problema. Luego constituye un instrumento fuerte a considerar para la determinación de las habilidades esenciales.

Se considera, por esta autora, la integración en el plano de la formación de las habilidades, como la aplicación del razonamiento por analogía a las distintas operaciones que conforman diferentes habilidades para determinar cuáles son las fundamentales o más trascendentes, que inciden en su formación. ( Ver figura II.3.1)

Para ejecutar el proceso de integración de las operaciones, hay que valorar la relación existente entre las habilidades lógicas básicas que integran la generalizada, la cual puede estar dada por la repetición de algunas o por las relaciones entre las operaciones que integran el sistema.

Este proceso de derivación-integración es imprescindible, teniendo en cuenta que las habilidades lógicas no se forman de manera aislada y mucho menos por escalones. Una vez determinadas aquellas con las cuales se va a trabajar, es preciso analizar su concatenación, lo que propicia la integración y a su vez la conformación de la estructura funcional en el sistema de conocimientos.

De este modo, se observa cómo estos dos procesos en una unidad dialéctica caracterizan la estructuración y formación de las habilidades lógicas a través del sistema de conocimientos en la dinámica del proceso docente-educativo y favorecen la estructuración y organización del contenido. Éstas no se forman en una clase, ni en un tema, en estos niveles se ejercitan las operaciones lógicas del pensamiento y matemáticas que han de conformarlas.

Como resultado del análisis realizado de las habilidades planteadas en el Plan de Estudio “C Modificado” y de la operacionalización de las habilidades generalizadas se infiere que el Análisis Matemático incide directamente en la formación de las habilidades lógicas básicas: analizar, determinar, expresar, relacionar, establecer, evidenciar, interpretar, modelar, calcular y valorar; las cuales inciden en la formación de las habilidades generalizadas. (Ver figura II.3.1).

Para determinar cuáles son las habilidades lógicas básicas más trascendentes del Análisis Matemático se valoraron los siguientes aspectos:

 Que tuvieran gran incidencia en la lógica de la acción para resolver problemas, que es la habilidad generalizada que sistematiza a las demás y contribuye a la solución del problema declarado para la disciplina.

 El pensamiento en su carácter dirigido se expresa fundamentalmente a través de la resolución

de problemas y al incidir en él, se está favoreciendo la formación de sus estructuras lógicas, luego se consideró la contribución al desarrollo del pensamiento lógico que éstas pudieran hacer.

 Que brinden amplias posibilidades de penetrar en la esencia del estudio del Análisis Matemático, propiciando la búsqueda de nexos y relaciones entre las distintas partes de los objetos matemáticos y entre los distintos objetos, para lo cual se apoyan en el estudio de conceptos, juicios y razonamientos como formas lógicas del pensamiento.

 Permitan llegar a conclusiones después de un proceso de elaboración teórico y práctico, aspecto que manifiesta la aplicación concreta de modelos matemáticos establecidos.

 Sistematicen, desde el punto de vista lógico, las operaciones de las restantes habilidades esenciales del Análisis Matemático.

 Otro criterio que se tiene en cuenta es: las dificultades que tienen los estudiantes para llevar el lenguaje matemático a su modo de pensar, que puede corregirse con una adecuada formación de estas habilidades, las cuales fueron reveladas también por la utilización de métodos empíricos como técnicas de interrogación (encuestas y entrevistas a profesores de Matemática), la observación a los estudiantes durante las actividades docentes y otras evaluaciones.

Como resultado de la valoración realizada de las habilidades lógicas básicas del Análisis Matemático, se determinaron como más trascendentes:

1.) Interpretar conceptos, juicios y razonamientos basados en los sistemas de significados matemáticos relacionados con las dependencias funcionales.

2.) Modelar gráfica y analíticamente relaciones matemáticas determinadas por las dependencias funcionales.

3.) Calcular con magnitudes variables, signos y símbolos que expresan relaciones determinadas por las dependencias funcionales, así como las cifras que las expresan.

4.) Valorar la utilización de modelos, métodos y procedimientos matemáticos propios del Análisis Matemático y su relación con otras ramas de la Matemática, basado en las relaciones de significado que se revelan.

En la determinación de las habilidades lógicas básicas más trascendentes del Análisis Matemático se tuvieron en cuenta tres fases de abstracción que permitieron concretar su formulación al contenido, éstas son:

Primero: Se precisan cuatro acciones que al aplicarlas en su conjunto pueden ser básicas para cualquier ciencia, donde se utilice en sus recursos de base el cálculo.

Segundo: se precisan elementos asociados a cada una de las acciones que delimitan su campo a las distintas ramas de la Matemática.

Tercero: Se precisan elementos asociados concretamente al objeto de estudio del Análisis Matemático.

En el proceso de formación de habilidades, un momento importante es el análisis de la concatenación que existe entre ellas, entendiendo por ello, la relación de dependencia o independencia que existe entre éstas, observadas teniendo en cuenta la estructura fenomenológica y técnica de cada una, que desde el punto de vista de la lógica deben ejecutarse, lo cual determina la prioridad de las operaciones que han de realizarse atendiendo al contexto del problema o ejercicio a resolver. Figura II.3.2.

Figura II.3.2.- Concatenación de las habilidades lógicas más trascendentes

Se analiza la dinámica de la formación de cada una de las habilidades determinadas, teniendo en cuenta que para que las formas lógicas del pensamiento puedan aproximarse a la verdad, deben encontrarse vinculadas entre sí, lo mismo que están vinculados los fenómenos del mundo material reflejados en ellas.

Cuando el profesor realiza el planteamiento de una situación o tarea docente, el estudiante debe interpretarlo para que en él se pueda crear la situación problémica, luego, es que podrá realizar cualquiera de las otras operaciones lógicas indicadas, en dependencia de la forma en que se haya presentado el problema. Esto no significa que se interprete solamente en este momento, pues las relaciones se dan en diferentes órdenes. Es posible presentar la situación modelada gráficamente o analíticamente para que el estudiante la interprete.

Si el problema se presenta modelado, procederá interpretarlo haciendo uso de la transferencia de significados matemáticos, luego aplica procedimientos de cálculo o va a la valoración en dependencia de lo que se exija. Si no está dado a través de un modelo matemático, procederá a modelar y luego a calcular o valorar en dependencia de las exigencias del problema planteado. Hay que considerar que para elaborar o aplicar un modelo se hacen valoraciones, pues se debe tener criterios para modelar, éstas son diferentes cualitativamente a las que se hacen al concluir la realización de un problema, pero contribuyen a la formación de la habilidad en cuestión.

Si la resolución del problema, requiere del cálculo, es preciso valorar los procedimientos de cálculo conocidos, seleccionar y aplicar el más adecuado y por último realizar la valoración del resultado en correspondencia con el problema planteado y las exigencias que en él se dan. También deben hacerse valoraciones en cuanto a la posibilidad de utilización de otros modelos o procedimientos o imposibilidad de ello.

Para analizar la concatenación de las habilidades sobre la base de las operaciones comunes, semejantes o con rasgos homogéneos, se realiza el proceso de derivación e integración de estas habilidades, el cual se muestra en el figura II.3.3

Como se puede observar, las habilidades no están caracterizadas por las mismas operaciones, lo que provoca que se realice un análisis de la incidencia de las operaciones: observar, analizar, reflexionar, aplicar y emitir juicios, con relación a las operaciones de las cuatro habilidades y determinar que al incidir en el desarrollo de estas operaciones se puede contribuir en gran medida a la formación de las habilidades previstas, con el objetivo de realizar la estructura funcional de las cuatro habilidades sobre la base del trabajo con las cinco operaciones.

Las acciones observar, reflexionar, aplicar y emitir juicios no se identifican directamente con las operaciones lógicas del pensamiento: analizar, sintetizar, comparar, abstraer y generalizar. Sin embargo, estas operaciones las sustentan.

Observar como operación de la acción de interpretar conceptos, teoremas, propiedades, juicios y razonamientos matemáticos relacionados con las dependencias funcionales y las cifras que las expresan, pertenece al pensar abstracto, porque lleva implícito analizar, sintetizar, comparar, reconocer los elementos que intervienen, aunque no se emitan juicios y sea sólo una acción mental. Por ejemplo:

Observar la estructura de un teorema. El que observa, internamente, debe analizar hipótesis y tesis, cómo están secuenciados los significados expresados en el enunciado, cómo están conectados lógicamente los conceptos y propiedades que intervienen.

Reflexionar en la interpretación de sistemas de significados generalizados relacionados con las dependencias funcionales, lleva implícito observar, la abstracción de elementos, significados, relaciones, propiedades del objeto matemático, la generalización y la comparación. Por ejemplo:

Reflexionar en torno al comportamiento de la representación gráfica de una función en un intervalo dado [a,b]. El que reflexiona debe observar la gráfica, analizar la curva y sintetizar para poder emitir un juicio, aunque no lo exprese, sobre si la curva es continua o tiene puntos de saltos, si está definida para todos los puntos del intervalo, si crece o decrece, si está acotada o no, si tiene extremos o no; aunque no maneje este vocabulario, y para llegar a estos juicios debe comparar, abstraer y generalizar.

Aplicar como operación de la interpretación de sistemas de significados generalizados del Análisis Matemático comprende observar, reflexionar, emitir juicios sobre modelos conocidos, que llevan consigo todas las operaciones lógicas del pensamiento. Luego estas acciones se interrelacionan aunque se separen para el estudio de otras que tienen un nivel de incidencia directa mayor en el contenido matemático. (figura II.3.3). Es por ello que aunque observar, reflexionar, emitir juicios y aplicar no son de las operaciones lógicas del pensamiento declaradas, sí son acciones del pensamiento lógico y se sustentan en ellas; y como son básicas para los diferentes niveles de estudio de la Matemática y se han trabajado, aunque no haya sido de modo planificado, ni estructurado; constituyen acciones de un nivel primario en la sistematización de la formación de las habilidades, por lo que son consideradas como operaciones para las habilidades declaradas como más trascendentes para el estudio del Análisis Matemático.

Volver al index