MODELO PARA LA ESTRUCTURACIÓN Y FORMACIÓN DE HABILIDADES LÓGICAS A TRAVÉS DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Elsa Iris Montenegro Moracén

II.5-Modelo didáctico para la estructuración y formación de las habilidades lógicas a través del contenido del Análisis Matemático

La formación de habilidades lógicas y específicas del Análisis Matemático, como fenómeno es un problema de la Didáctica Especial, por lo que no deben verse aislada de los demás componentes del proceso de enseñanza – aprendizaje de este contenido, debe revelarse cómo la manifestación de contradicciones en la dinámica de las actividades docentes provocan la necesidad de ello, de asimilar conocimientos, de utilizar determinados métodos, de buscar vías para el estudio independiente, etcétera, para resolver los problemas que se les presenten.

La formación de estructuras operacionales del pensar se reduce en este caso a la asimilación de significados para realizar correctamente la extrapolación haciendo uso de las operaciones mentales descritas y las acciones con objetos, representaciones y conceptos que correspondan al problema o ejercicio que ha de resolverse.

El modelo que se presenta, ha sido concebido en tres niveles: el primero, expresa el punto de partida de la formación de las habilidades lógicas; el segundo, la etapa de diseño para la estructuración y planificación del sistema de habilidades y el tercero, la ejecución del proceso, en cuya dinámica se produce la estructuración y formación de habilidades lógicas en los estudiantes. (Ver figura II.5.1 ).

Figura II. 5.1. Modelo Didáctico para la estructuración y formación de habilidades lógicas.

Leyenda: PE-A del A. M: proceso de enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático.

HG: habilidad lógica generalizada A. M. : Análisis Matemático

Primer nivel.

La estructuración y formación de las habilidades lógicas que sustentan el conocimiento del Análisis Matemático tienen considerable influencia en las relaciones que se presentan en la Matemática y viceversa, luego si se forman aquellas que pueden potenciar la determinación de relaciones lógicas de significados matemáticos, se logran mejores resultados en el aprendizaje.

Para hacer un análisis de cómo favorecer la formación de las habilidades lógicas a través de esta disciplina, es importante partir de la relación entre la lógica del proceso de enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático, la lógica del pensamiento del profesor de Matemática y el diagnóstico del estado de la formación de estas habilidades en los estudiantes, como génesis del problema, lo cual contribuye a precisar el punto de partida para formar el ¿qué? y el ¿cómo?.

La lógica del proceso de enseñanza – aprendizaje del Análisis Matemático no coincide con la de la Matemática como ciencia, lo cual es una de las barreras que aquí se pone de manifiesto, ¿Cómo enseñar una ciencia deductiva a través de un proceso que generalmente, expresa su dinámica en relaciones inductivo-deductivas, vistas en diferentes direcciones?. Esta contradicción es resuelta en cuanto se trabaje en la formación de un pensamiento lógico-matemático, comunicativo e interpersonal, para lo cual se debe prestar mucha atención a las

acciones que se deben desarrollar en las relaciones objeto-sujeto y objeto-sujeto-objeto.

Para resolver esta contradicción, es esencial que el estudiante aprenda el contenido matemático desde los significados, lo cual en el caso de los conceptos se traduce en la interiorización de su contenido, ello va a permitir comprender la estructura de los temas, como sistemas de significados y extrapolarlos en consecuencia a otros temas de la disciplina con la estructura de la lógica interna de la Matemática. Sin embargo, al valorar las condiciones de los estudiantes tanto cognitivas, instrumentales, como psicológicas, se planifica la forma que debe adoptar el proceso para la enseñanza del material objeto de estudio y los métodos a emplear, lo cual permite precisar la lógica a seguir, para lograr el estado deseado, que está en la formación del pensamiento del profesor de Matemática.

En la determinación de la lógica del proceso de enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático, para un grupo específico de estudiantes, deben tenerse en cuenta factores psicológicos y pedagógicos en la etapa de planificación, organización, ejecución, control y evaluación, que favorezcan la asimilación de los contenidos por los estudiantes, entre los que se encuentran sus habilidades, motivos, la base cognitiva, los intereses y rasgos del profesor.

Los objetos del Análisis Matemático que se estudian en la carrera están estructurados de forma ascendente en cuanto al grado de complejidad, que implica mayor abstracción y con una relación estrecha entre los conceptos, propiedades, teoremas donde se observa un enfoque dialéctico, lo cual dificulta el aprendizaje de estructuras y propiedades si no se dominan las que las preceden. Ninguna temática es independiente de la otra, es por ello que la lógica del contenido para su estudio es muy importante; así como que el estudiante aprenda a analizar cada componente, elemento y estructura relacional que intervenga en los conceptos, juicios, razonamientos y problemas a resolver. En ello radica la complejidad del estudio de su contenido.

En dependencia del nivel de preparación que presenten los estudiantes, serán los procedimientos que se utilicen en el tratamiento del material docente. Para aquellos que revelen dificultades en la amplitud, profundidad, independencia, flexibilidad, consecutividad y rapidez del pensamiento, se sugiere que en el proceso de enseñanza-aprendizaje, en general, se le presente al estudiante el sistema de contenidos de lo simple a lo complejo, de lo particular a lo general y en muchos casos partiendo de los procesos y fenómenos de la realidad que han dado lugar al surgimiento de determinadas teorías, posibilitando que penetren en la lógica de la formación de los objetos matemáticos por una vía inductivo-deductiva, lo cual conduce a la presentación de la disciplina con una lógica de este tipo, en correspondencia con la lógica del proceso.

En grupos de estudiantes con un nivel superior de desarrollo, es recomendable, utilizar otras vías para el aprendizaje del conocimiento, como es el caso de la problematización del contenido con diferentes niveles de generalidad, para que ellos indaguen, formulen problemas y encuentren las vías de solución, los métodos y los medios para hallarlas, el cual es un procedimiento que posee mayores posibilidades de potenciar el desarrollo intelectual, es por ello que se le concede especial importancia al diagnóstico y las relaciones lógicas que se valoran en este primer nivel.

No se recomienda en ninguno de los casos presentarle el contenido de la ciencia al estudiante, como verdades acabadas y con una lógica deductiva, pues se estaría en contra de la lógica del proceso, no se estaría en correspondencia con las etapas que aseguran resultados efectivos en la asimilación y en el desarrollo de capacidades cognoscitivas, pues sólo necesitarían ejercitar la memoria, para reproducir resultados.

Para enfrentar el proceso enseñanza-aprendizaje de manera exitosa, hay que conocer el estado de la formación y desarrollo de las habilidades lógicas que los estudiantes poseen: diagnosticarlas, lo cual permitirá la realización de una planificación del proceso, en correspondencia con las cualidades del sujeto de aprendizaje. De lo contrario pueden darse contradicciones que frenan el proceso, como por ejemplo; que se trate de abordar un conocimiento para el cual no estén creadas las condiciones intelectuales.

Segundo nivel.

Como resultado del diagnóstico, en la etapa de estructuración y planificación del sistema de habilidades, el profesor determina el estado de formación de las habilidades matemáticas y lógicas para enfrentar el estudio del contenido del Análisis Matemático, lo cual se debe tener en cuenta para la planificación y estructuración del sistema de habilidades, que respondería al ¿qué?. Además, cómo resolver la contradicción del proceso de enseñanza-aprendizaje: lograr niveles de asimilación y habilidades “iguales” trabajando con un plan homogéneo de instrucción, con estudiantes con capacidades y destrezas diferentes. Se deben prever acciones para la atención diferenciada.

A partir de los modos de actuar lógicos del profesor de Matemática, el objeto de estudio del Análisis Matemático y el problema de la disciplina, se determina y fundamenta el sistema de habilidades que se debe formar a través del contenido, declarando la habilidad esencial del sistema de contenidos, la cual contribuye a revelar desde el punto de vista metodológico la relación existente entre el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido y su esencia; es decir, el por qué y para qué se estudia, teniendo siempre presente su incidencia educativa y formativa como profesor; la tendencia del desarrollo del proceso de formación de la habilidad, anticipándonos a su comportamiento controlando las condiciones que generan su desarrollo; así como asegurando la estabilidad y el movimiento continuo en el proceso de desarrollo de la habilidad, lo cual se garantiza en la formación sistemática de las diferentes habilidades que condicionan la formación de la esencial. De forma análoga declarar en cada asignatura y tema las básicas más trascendentes y el nivel de generalidad correspondiente. Al realizar estas precisiones, como consecuencia de la derivación e integración de las habilidades resultan las habilidades lógicas en las que se debe trabajar para lograr mejor asimilación del material

didáctico por parte de los estudiantes.

La esencia de la novedad del proceso de derivación e integración está en el procedimiento para la determinación del sistema de habilidades, a través del cual se logra un estudio minucioso de las operaciones que conforman cada habilidad, en cuyo proceder se examina la estructura de cada una y mediante la observación de las relaciones lógicas que existen entre ellas, se determinen aquellas cuyos rasgos y características pueden ser integrados en una acción que abarque operaciones que permitan determinar los indicios sustanciales de los objetos.

Atendiendo a las operaciones necesarias para poder formar las habilidades lógicas básicas que se han considerado como más trascendentes para el estudio del contenido del Análisis Matemático y sin descuidar la diferenciación didáctica en el proceso, se elabora la estructura funcional de la habilidad a lograr en el tema. Para la realización de ésta hay que tener en cuenta la integración de las relaciones entre las habilidades en doble sentido: vertical y horizontal.

Se considera como integración en sentido horizontal, las relaciones lógicas existentes entre las acciones y operaciones que se han considerado a un mismo nivel en la estructura funcional y que inciden en las habilidades matemáticas y lógicas generalizada o intelectuales del tema y, como integración vertical aquella que existe, aún cuando no sea perceptible, entre las operaciones y habilidades desde las más elementales, las matemáticas básicas, las lógicas generalizadas hasta la esencial y su aporte a la solución de los problemas profesionales.

El sistema de contenidos problematizados debe ser elaborado de modo que responda a la estructura de la habilidad y que conlleven a lograr una adecuada motivación, para que el estudiante sienta la necesidad de resolverlo y cree su propio procedimiento, para darle solución.

El profesor tendrá en cuenta que habrá estudiantes que, en correspondencia con su desarrollo intelectual y el desarrollo de sus capacidades, su procedimiento será más corto, más sencillo; en otros, será más extenso o más complejo; lo sustancial es que logre solucionar el problema formulado. En este nivel de planificación debe tenerse en cuenta las vías y formas para ejercer el control y la evaluación que se llevarán a cabo durante la ejecución del proceso.

Incorporar el objeto del Análisis Matemático y de la profesión como criterios para la determinación del sistema de habilidades, como elemento novedoso, permitió concretarlas al contenido para el tipo de profesional que se forma. Así como, fortaleció y dio mayor nivel de integración y concreción a la lógica para la determinación del sistema de habilidades lógicas.

En este nivel queda concretado el sistema de habilidades lógicas, como aquel compuesto por la habilidad esencial, las habilidades lógicas generalizadas o intelectuales y las lógicas básicas, de las cuales se determinaron las más trascendentes para su formación a través del contenido del Análisis Matemático, ejemplificado en dos temas: Funciones elementales y Cálculo integral.

Tercer nivel.

En la ejecución del proceso, es importante tener en cuenta la relación profesor- estudiante, estudiante - estudiante y estudiante - profesor, que debe ser multidireccional, como método del conocimiento en un ambiente socializado; es decir, debe existir una interacción grupal- individual, en función del desarrollo de la estructura lógica del pensamiento de cada estudiante, de forma que se logre en cada uno una integración a un nivel superior de los conocimientos y habilidades adquiridos, lo cual opera cuando el estudiante es capaz de elaborar una representación personal del objeto o del contenido que se estudia. Esta representación, implica aproximarse a dicho objeto o contenido con la finalidad de aprehenderlo, no se trata de una aproximación vacía, desde la nada, sino desde las experiencias, intereses y conocimientos previos que presumiblemente pueden dar cuenta de la novedad.

Basado en este criterio, se hace énfasis en la preparación pedagógica del profesor para poder enfrentar un proceso facilitador o potenciador del desarrollo de capacidades cognoscitivas, pues además, debe tener una elevada preparación académica, saber cómo hacer que los estudiantes revelen y aprovechen los conocimientos previos que pueden serles útiles para aprender el contenido, lograr la motivación que es un recurso indispensable del proceso, como ya se ha referido; pues la primera condición para aprender, es desearlo, sentir la necesidad.

La guía del profesor en este proceso es de vital importancia, pues, la construcción de los estudiantes no puede realizarse en solitario; porque: - nada aseguraría que su orientación fuera la adecuada, que permitiera el progreso y mucho más importante, es que lo que no se aseguraría en solitario es la propia construcción.

Esta concepción asume la enseñanza como un proceso conjunto, compartido en el que el estudiante, gracias a la ayuda que recibe del profesor, puede mostrarse progresivamente competente y autónomo en la resolución de tareas, en el empleo de conceptos, en la puesta en práctica de determinadas actitudes, y en numerosas cuestiones. Es una ayuda, porque la construcción la realiza el estudiante; pero es imprescindible, porque esa ayuda que varía en cantidad y en calidad, que es sostenida y transitoria y que se traduce en muy diversas cosas – desde el reto a la demostración minuciosa, desde la muestra de afecto, hasta la corrección- que se ajusta a las necesidades experimentales por el estudiante, es la que permite explicar que éste, partiendo de sus posibilidades, pueda progresar en el sentido que marcan las finalidades educativas, es decir, en el sentido de progresar en sus capacidades. Y ello es así porque dicha ayuda se sitúa en la Zona de Desarrollo Próximo del estudiante, entre el nivel de desarrollo efectivo y el nivel de desarrollo potencial, zona en la que la acción educativa puede alcanzar su máxima incidencia. En concordancia con estas reflexiones constructivistas desde el punto de vista de la construcción del conocimiento por el estudiante y la posición del profesor, queda reflejada esta tendencia en la estrategia.

El sistema de contenidos problematizados planteados debe motivar a que, a través de las estructuras de su pensamiento el estudiante cree sus propios algoritmos de trabajo, que contribuyan a la formación de las habilidades, los cuales pueden ser guiados por el profesor según una secuencia, o por la cooperación de los otros estudiantes del grupo que aportan o enriquecen la sucesión de pasos con sus ideas. Se trata de que a través del sistema de contenidos, del aumento de las dificultades, de su riqueza en cada peldaño cualitativamente superior, el estudiante con su procedimiento individual pueda alcanzar el desarrollo intelectual al que se aspira de manera consciente.

Para que el proceso que se desarrolla contribuya a la formación de habilidades lógicas y con ello de capacidades cognoscitivas, no puede ser tal que conduzca a la acumulación de nuevos conocimientos, sino a la integración, modificación, establecimiento de relaciones y coordinación entre esquemas de conocimientos que ya poseían, dotado de una cierta estructura y organización que varía en niveles de complejidad y en relaciones en cada aprendizaje que se realiza.

Formando parte de la dinámica en la formación de las habilidades se encuentra la manifestación

de la contradicción dialéctica entre el conocimiento y la habilidad en el proceso de asimilación del contenido. Si el conocimiento es entendido como la estructuración de relaciones (comparativas, clasificatorias o valorativas), configurado como generalización, y no como simples cadenas verbales, entonces un sujeto no puede lograr un alto nivel de efectividad en su funcionamiento cognitivo, si sus instrumentaciones, de naturaleza intelectual, no funcionan también al nivel de efectividad pertinente. En resumen, el sujeto no logra conocer su realidad si no puede hallar un criterio relacional que le permita comparar, clasificar o valorar respectivamente, el fenómeno que estudia. Esta reflexión sirve de punto de partida para ilustrar la contradicción dialéctica que se manifiesta entre estos dos elementos que forman parte integrante del contenido, en el proceso de enseñanza- aprendizaje.

En la fase de planificación del proceso, cuando se prevé el tratamiento de un contenido en función de lograr un objetivo, se dan los conocimientos y habilidades como una unidad; en la fase de ejecución del proceso, para lograr la asimilación de los conocimientos, entran en contradicción, creando la necesidad de abordar nuevos conocimientos sobre la base de la formación de la misma habilidad y/o de formar nuevas habilidades sobre la base del mismo conocimiento y/o abordar nuevos conocimientos con la formación de nuevas habilidades, presentándose de nuevo en unidad con el contenido y así sucesivamente. Cada momento en que entran en contradicción genera un ascenso en la relación existente entre el nivel de profundidad, que presenta el objeto y el nivel de asimilación del estudiante, el cual manifiesta un salto cualitativo en la relación objeto-sujeto.

El profesor debe saber manejar estas contradicciones y hacer que el estudiante las concientice, de modo que se favorezca tanto su aprendizaje matemático, como didáctico como profesor en formación, para motivar el proceso del conocimiento y la búsqueda de vías que les permitan profundizar en el contenido, saber determinar el momento en que va disminuyendo su intervención en el proceso y dando posibilidades a que adquieran la independencia cognoscitiva, lo cual conducirá a la reducción de pasos en sus estrategias lógicas individuales para realizar las diferentes tareas docentes. Todo esto incide significativamente en el desarrollo de habilidades lógicas que devienen en el desarrollo de capacidades cognoscitivas. En ello radica la esencia del ¿cómo? trabajar para en un sistema de contenidos para formar y sistematizar las habilidades.

En este nivel, se debe atender la evaluación fundamentalmente en las funciones de constatación y valoración, lo cual permite emitir juicios sobre la marcha del proceso de formación de las habilidades, en cuanto a su concreción, perfeccionamiento y a la precisión de los nuevos problemas que puede enfrentar el estudiante.

En este proceso de evaluación debe existir un espacio para la autoevaluación, en las relaciones interpersonales, que estimule la formación de valores, la elevación de la autoestima y otros índices de carácter psicopedagógicos en estos estudiantes, que se preparan para conducir un proceso análogo.

La determinación del sistema de habilidades del contenido, con el enfoque precisado concreta el carácter íntegro novedoso que sustenta la estructuración y formación de habilidades lógicas esenciales para el Análisis Matemático, que lo distingue de otros modelos y sistemas elaborados.

Conclusiones del Capítulo

1.- La determinación de la relación de significado como núcleo del pensamiento lógico-matemático en el profesor de Matemática, que emerge de la síntesis del análisis de las insuficiencias reveladas por el diagnóstico (lo empírico) y las regularidades de los aspectos que caracterizan el objeto desde lo gnoseológico, lo pedagógico, lo psicológico y lo lógico (lo

teórico), constituye el aporte esencial de la investigación desde el punto de vista teórico.

2.- La estructuración y formación de habilidades lógicas a través del Análisis Matemático contribuyen a sistematizar las operaciones lógicas del pensamiento que son esenciales en las relaciones lógico-matemáticas, por lo que constituye la vía utilizada para lograr la caracterización y extrapolación de significados matemáticos como condición necesaria y suficiente para la ampliación y profundización en los sistemas de relaciones secuenciadas que se establecen en las dependencias funcionales más generalizadas.

3.-El modelo elaborado para la estructuración y formación de habilidades lógicas a través del Análisis Matemático, se sustenta en la abstracción de las habilidades lógicas del sistema de habilidades matemáticas y profesionales a cuya formación éstas contribuyen, lo cual es novedoso para la concepción de la planificación y tratamiento de este contenido.

4.- Se consideró como elemento de singularidad en el concepto y en la determinación del sistema de habilidades lógicas del Análisis Matemático, el objeto de estudio de esta rama de la Matemática, que revela un procedimiento factible de trascender para otras disciplinas.

5.- La formación de las habilidades lógicas del Análisis Matemático: interpretar conceptos, juicios y razonamientos matemáticos relacionados con las dependencias funcionales, modelar relaciones matemáticas determinadas por las dependencias funcionales, calcular con magnitudes variables, signos y símbolos que expresan relaciones determinadas por las dependencias funcionales, y valorar la utilización de modelos, métodos y procedimientos matemáticos propios del Análisis Matemático, constituyen un aporte significativo a la formación de estructuras que permiten la caracterización y extrapolación de significados matemáticos.

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