APUNTES SOBRE EL TRATAMIENTO A LA ELABORACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS
 

Resumen

El trabajo parte de la necesidad social de preparar a nuestros docentes en formación inicial en elementos teóricos y prácticos que resultan vitales para su desempeño profesional. En el logro de de este objetivo desempeña un significativo papel la elaboración de los conceptos, sin embargo la preparación de los docentes, para la dirección de este proceso es insuficiente. Por esta razón el presente trabajo contiene una propuesta sustentada en el tratamiento didáctico de la elaboración de los conceptos, incluye un grupo de acciones para propiciar, que de forma práctica los docentes se capaciten en elementos teóricos y metodológicos necesarios para el posterior tratamiento didáctico de los conceptos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, como son: la estructuración de procedimientos lógicos del pensamiento que sustentan la elaboración de conceptos. Describe en sentido general, en cada una de sus etapas vías, procedimientos, y formas para la elaboración de estas formas lógicas del pensamiento. Incluye además consideraciones acerca del sistema de acciones que se asocian con vistas a la estimulación de los procedimientos lógicos que se le reconocen a este proceso, según el objetivo de la acción y atendiendo a las diferencias individuales de los docentes.

INTRODUCCIÓN

El tratamiento de los conceptos matemáticos está presente en todos los grados de la enseñanza primaria y las características del mismo debe corresponderse con las particularidades del niño de cada grado; sin embargo la escuela y la enseñanza de esta asignatura en particular no siempre logran de manera acertada conducir al alumno durante el proceso de elaboración de conceptos; pues las actividades que se realizan en este sentido son realmente escasas. Lo expresado anteriormente es el resultado de la larga experiencia alcanzada por el autor en la escuela primaria, por lo que se ha constatado que niños entre 8 y 9 años no siempre logran resolver ejercicios de forma independiente, no arriban a pequeñas generalizaciones, ni reconocen características comunes y esenciales de clases de objetos lo cual les dificulta adquirir una imagen mental o representación acerca de las mismas.

Se ha constatado que las operaciones de análisis, síntesis, comparación , abstracción y generalización no siempre se conducen adecuadamente y se estimulan poco los procedimientos lógicos, que asociados a los conceptos, pueden facilitarlas. Sin lugar a dudas la preparación del personal docente para la elaboración de conceptos, constituye un tema de actualidad. Por tal razón nos proponemos trabajo brindar los elementos básicos que contribuyan a elevar la calidad de este proceso.

Desarrollo

La formación de conceptos. Características lógicas más importantes

K. Tomasheuski (1978) a partir de algunas reflexiones relacionadas con el esfuerzo que exige el acto de pensar, el cuidado que debe poner el docente a la hora de exigir los esfuerzos del alumno sin exceder el límite y el modo que deben ser estimulados los procesos del pensamiento sustentado en el conocimiento de las leyes de la teoría Marxista – Leninista del conocimiento según la cual la base de toda comprensión es la práctica. Plantea ideas de cómo ayudar a formar conceptos en la conciencia del alumno partiendo del hecho que para él los conceptos, son una idea que comprende las características generales y principales de los objetos y manifestaciones de la naturaleza y de la vida social, agregando que cada concepto es una idea; por lo tanto, un concepto que no se expresa en palabras no puede formarse ni existir.

Werner Jungk (1979) expresa que un concepto es "el reflejo mental de una clase de cosas, procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia ( o el reflejo de una clase de clases ) sobre la base de las características invariantes". Así de esta forma, desde el punto de vista metodológico, es conveniente subdividir la variedad de conceptos matemáticos que se estudian. De ahí la existencia de conceptos de objeto, de relaciones, y de operaciones.

Los conceptos de objetos: son aquellos que designan clases de objetos reales o ideales que se pueden caracterizar por medio de sus representantes. Los conceptos de operaciones: son aquellos que designan las acciones que se efectúan con los objetos. Los conceptos de relaciones: son aquellos que reflejan las relaciones existentes entre los objetos.

Guetmanova (1991) considera que los conceptos son desde el punto de vista lógico, formas del pensamiento abstracto que reflejan los indicios sustanciales de una clase de objetos homogéneos.

L. Campistrous (1993) define a los conceptos como el reflejo mental de una clase de individuos o una clase de clases sobre la base de sus características invariantes, prestando una especial atención, sin descuidar a los demás elementos, a la extensión de estos y según Ruiz (2002) se forman mediante el reflejo en la conciencia, de conjuntos de objetos materiales o ideales que tienen una característica común como mínimo o de sus relaciones. A estos conjuntos se les llama clases.

Sergio Ballester (2002) considera a los conceptos como el reflejo de una clase de individuos, de procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia del hombre o el reflejo de una clase de clases sobre la base de sus características invariantes asumiendo lo planteado por Werner Jungk (1979).

Significativa importancia reviste en el tratamiento de los conceptos, lo referido al contenido y la extensión. El contenido visto como la totalidad de características que son comunes a todos los objetos. La extensión de un concepto es la clase de objetos a los que se refiere el concepto. Es vital también considerar, en relación con el contenido y la extensión lo correspondiente a la llamada "ley de reciprocidad".

Cuando el niño llega a la escuela posee ya nociones de conceptos matemáticos, cuya asimilación comienza de su contacto con el medio y la ayuda de los adultos, aún cuando estos de manera consciente no realicen alguna labor especial para formar estos en los niños. Al llegar a la escuela, este proceso espontáneo debe ser sustituido a partir de las experiencias que traen los niños por un proceso orientado y organizado.

Investigaciones realizadas en nuestro país han demostrado, que actualmente muchos niños, cuando se les presenta un ejercicio o una situación determinada, sin detenerse lo suficiente a comprender las condiciones y los medios para su realización, comienzan a ejecutarla, en relación con ello, debe considerarse que la formación de conceptos matemáticos se convierte en una actividad verdaderamente intelectual, pues esta no puede producirse de forma directa ni automática con la presentación del objeto o con la simple explicación de un proceso. Es imprescindible activar el pensamiento del niño mediante el flujo de las operaciones mentales y una adecuada motivación, despertando con ello el interés por asimilar el nuevo contenido, en ello desempeña un papel fundamental, la orientación.

Por lo antes expuesto en relación con la formación de conceptos y a partir de los postulados de la Psicología de orientación marxista, la elaboración de conceptos matemáticos según W. Jungk (1979) debe transcurrir por un proceso total que cuenta con tres fases:

Primera fase: Caracterizada por consideraciones y ejercicios preparatorios

Segunda fase: Especifica la formación del concepto propiamente dicho

Tercera fase: consiste en la asimilación del concepto o fijación del mismo

El tratamiento de los conceptos en general y de los conceptos reviste una importancia significativa en la preparación de los alumnos para la vida y su adecuada formación en los grados iniciales de la Educación Primaria, es la garantía del éxito del aprendizaje de contenidos más complejos de la geometría en los grados superiores, de ahí el lugar que se les concede en los programas de estudio de este nivel y la preocupación por resolver las insuficiencias que relacionadas con dicho tratamiento mantienen su vigencia, afectando considerablemente el proceso.

A esto es preciso agregar lo expresado al respecto por S. Ballester (1993), se debe lograr en el proceso de enseñanza aprendizaje de los conceptos que los alumnos comprendan que los conceptos al igual que las formas de trabajo de la matemática tienen su origen en las necesidades características de la práctica. Surgida en la lucha del hombre para enfrentar la realidad.

Se considera ineludible, que la elaboración de los conceptos tenga que estar regida a las leyes de la dialéctica. Siendo necesario además, tener en cuenta el carácter contradictorio de los fenómenos por lo que la búsqueda de la esencia en cada caso requiere de ser estimulada con el propósito de resolver dichas contradicciones, que permitan distinguir los objetos matemáticos en la vida práctica de los alumnos.

En el transcurso del desarrollo histórico de la Matemática como ciencia, los hechos acumulados, según Tania Toledo(S/F) atestiguan que los conceptos matemáticos, las propiedades y demostraciones lógicas, tienen una procedencia práctica, en relación estrecha con el mundo real, criterio este que el autor comparte, independientemente de que la formación de conceptos matemáticos no se vincula a causales del mundo exterior, sino al desarrollo de los razonamientos lógicos , si se sigue retrospectivamente la serie de razonamientos que motivaron en última instancia el concepto , se notará la interpretación práctica de su esencia.

Carlos Álvarez de Zayas (1995) considera que todas las ciencias para explicar el objeto de estudio y sus características con ayuda del conocimiento precedente, se traduce en conceptos. Los cuales constituyen la base del conocimiento racional. Los conceptos aparecen como una forma de reflejar el mundo dentro de cualquier ciencia. Está valoración de Álvarez de Zayas es compartida por el autor pues precisamente con ayuda de los conceptos se llega al conocimiento de la esencia de los objetos, fenómenos y procesos al abstraer sus características más relevantes.

Al respecto Andreiv (1984) citado por Silvestre (2001) afirma que las categorías de la lógica dialéctica aparecen desde el principio hasta el fin del conocimiento como formas dialécticas del pensamiento que permiten desentrañar la esencia profunda de los objetos que se estudian, sus nexos, conexiones cuantitativas cardinales. Ciertamente el objeto de estudio (objetos de análisis si se trata de conceptos geométricos) debe tener un sentido lógico–metodológico que por su carácter universal pueda transferirse a la búsqueda de cualquier conocimiento nuevo. Estas tienen su origen en la actividad práctica y se convierten en acciones mentales, a través del proceso de interiorización de las acciones externas, según la teoría planteada por L.S. Vigotski (1982).

Lo planteado hasta aquí ha sido además abordado por P Ya Galperin (1986) en su Teoría de la Formación Panificada y por Etapas de las Acciones Mentales y los Conceptos en estrecha relación con las ideas de su predecesor L S Vigotski(1982)

La teoría de la formación por etapas de las acciones mentales, aportada por el psicólogo Galperin e interpretada brillantemente por Talízina, se convierte en basamento imprescindible a tener en cuenta cuando se trate del proceso de elaboración de conceptos; por cuanto la misma aporta los elementos esenciales que garantizan un gradual proceso de interiorización mediante el cual el niño llega a apropiarse de los conceptos, dicha concepción se ha tenido en cuenta también en el presente trabajo.

La lógica como ya se ha expresado, estudia los productos de la actividad pensante, sus resultados, como formas lógicas del pensamiento. Estas formas lógicas la constituyen los conceptos, los juicios y los razonamientos, las cuales resumiremos de forma sucinta tomando como referencia las definiciones dadas anteriormente.

Los conceptos: Son el reflejo de las cualidades generales y esenciales en una categoría de clases de objetos ó clases de clases, fenómenos o entre sus cualidades o características a decir de Viviana González. De lo anterior se infiere la existencia de diferentes operaciones lógicas asociadas a conceptos: definición del concepto, limitación del concepto, clasificación del concepto, división del concepto, generalización del concepto.

¿Qué procedimientos lógicos del pensamiento considerar al elaborar conceptos?

Determinación de propiedades. Consiste en percatarse de las propiedades que tiene cierto objeto. Para desarrollar este procedimiento es necesario desarrollarles la habilidad de observar en el objeto o proceso muchas propiedades, para lo que es recomendable que se realice la comparación con otros objetos, pues captar las semejanzas y diferencias entre ellos les facilita aislar las propiedades de los objetos que se estudian. Es conveniente, en ocasiones, comparar primero objetos no similares, para que puedan destacar fácilmente las diferencias y luego, ir comparando con los que se asemejan.

Después de la comparación para la que se debe partir en los primeros grados de observación mediante la actividad material o materializada, se recomienda pasar a determinar las propiedades sin la comparación.

Distinción de los tipos de propiedades: esenciales, secundarias, generales, específicas, necesarias, suficientes.

Este procedimiento consiste en llegar a saber si una cierta propiedad es necesaria o si es necesaria y suficiente o si no lo es. Es imprescindible, al igual que en el procedimiento anterior, la realización de operaciones mentales con el objetivo de saber si determinada propiedad es necesaria, para ello, se toma un rasgo respecto del cual se quiere establecer la propiedad, se compara el objeto con otro u otros que la poseen así como con otros que no la poseen, y finalmente se determina si él o los objetos se asemejan en ese rasgo y se les asocia la propiedad que tiene que ser de orden obligatorio para todos los objetos de la clase, las llamadas necesarias. Su ausencia hace que el objeto deje de pertenecer a la clase dada. Cualquier propiedad necesaria no es suficiente, deben realizarse acciones que permitan imaginar la existencia de ese objeto sin dicha propiedad o con ella sola, lo que redundará en la determinación de las necesarias y suficientes.

Cualquiera sea el caso, para desarrollar este procedimiento debe contarse primero con que se sabe determinar o aislar propiedades de los objetos, luego determinar las comunes, generales, para llegar a determinar las que son esenciales (necesarias y suficientes ).

Identificación de conceptos. Este procedimiento está en el plano de los objetos. Dado un objeto, decidir si es o no representante del concepto. A este se asocian algunas acciones como son: recordar propiedades necesarias y suficientes del objeto; reconocer si el objeto posee o no la propiedad; decidir si es o no representante del concepto.

Ejemplificación. Es separar en clases disjuntas los conceptos. Las acciones en este caso pueden ser: escoger la base o rasgo sobre el cual se quiere clasificar; dividir en clases según la base o rasgo señalado.

Definición del concepto. Se utiliza para elaborar las definiciones, caracterizaciones o descripciones. Las acciones que deben realizarse para este procedimiento deben ser: escoger el género; distinguir rasgos esenciales o diferentes; comparar con otros conceptos del mismo género.

Necesariamente no siempre hay que definir. Se puede caracterizar, describir. En la Enseñanza Primaria sólo a partir de sexto grado es que llegan a definir y el escolar siempre debe saber qué acción está realizando. Describir significa enunciar los rasgos externos del objeto con el fin de distinguir los parecidos a él. Caracterizar es enunciar propiedades internas y esenciales de los objetos y fenómenos. Estas pueden combinarse cuando el contenido del concepto exige enumerar características externas e internas.

Clasificación del concepto. Es separar en clases disjuntas los conceptos. Las acciones en este caso pueden ser: escoger la base o rasgo sobre el cual se quiere clasificar; dividir en clases según la base o rasgo señalado.

Inducción de propiedades. Es separar en clases disjuntas los conceptos. Las acciones en este caso pueden ser: escoger la base o rasgo sobre el cual se quiere clasificar; dividir en clases según la base o rasgo señalado.

Deducir propiedades. Es el procedimiento que permite concluir que un objeto posee determinadas propiedades a partir de su identificación como perteneciente a un concepto dado. Este es imprescindible para la argumentación o la demostración. Las acciones pueden ser: identificar de qué concepto es representante; recordar propiedades necesarias del concepto; concluir que el objeto posee las propiedades y se argumenta

Procedimientos lógicos que se asocian a la elaboración de conceptos matemáticos.

Comparar: es una operación lógica del pensamiento a partir de la cual se determinan las particularidades relativas de dos o más objetos, fenómenos o procesos. La comparación se realiza como proceso de contraposición de las características de los objetos para determinar sus similitudes y diferencias. A partir de la comparación, poniendo al descubierto las similitudes y las diferencias, logra dada individuo obtener conocimientos más profundos de objetos, procesos o fenómenos.

Por lo dicho hasta aquí podría pensarse que la comparación está relacionada solo con la percepción, que es el proceso cognitivo que nos permite el conocimiento directo de las propiedades de los objetos, a través de los analizadores táctil, visual y auditivo. Eso no es así, la comparación, no es un hecho únicamente perceptual. Y no lo es porque ella al igual que la percepción misma está relacionada con el pensamiento.

La profesora N.F. Talízina (1988 teniendo en cuenta que para comparar es preciso que tanto maestros como alumnos deben tener clara comprensión de que significa comparar cuáles son las bases para la comparación, en que condiciones debe efectuarse, y cuáles son las operaciones o pasos para a seguir para realizarla. N. F. Talízina (1988) expresó al respecto, que muchos alumnos de los primeros grados no comprenden que es comparar. Algunos de los cuales evaden la respuesta, otros dicen que comparar es decir que hay de más y que hay de menos y solo una pequeña parte comprende que significa esta operación de manera correcta.

Comprender la esencia de la comparación y las operaciones que le sirven de base posibilita al alumno realizarla de forma independiente y transferirlas al realizar el estudio, pues como ya se dijo, el conocimiento de un objeto, proceso o fenómeno tiene lugar cuando se compara con otros y gracias a ello se penetra en su esencia y se establecen las conexiones correspondientes.

Operaciones para realizar la comparación: analizar el objeto y determinar sus características o propiedades: determinar cuáles son los rasgos generales y esenciales; determinar sobre que base se va a realizar la comparación; contraponer una por una las propiedades del objeto tomando como base de la comparación el rasgo o característica elegido.

Definir: consiste en poder precisar la esencia misma del objeto de estudio: Aún cuando se puede hablar de diferentes tipos de definiciones, es propósito nuestro lograr que los alumnos sean capaces de definir los conceptos fundamentales que constituyen las bases de las ciencias. Definir un concepto es expresar los rasgo esenciales, suficientes y necesarios para que este sea lo que es y no otro. Operaciones para definir: determinar los rasgos o propiedades del objeto; determinación de las propiedades generales; apreciación de las propiedades esenciales; apreciación de las propiedades necesarias; reconocer las propiedades suficientes.

Clasificar: según Rita M Avendaño y Alberto F Labarrere (1989), es realizar una operación lógica que consiste en distribuir, encasillar, organizar objetos teniendo en consideración su pertenencia a determinadas clase, género o grupo. Todo docente debe conocer muy bien que para enseñar clasificar es necesario que los alumnos dominen práctica y teóricamente la operación de agrupar objetos sobre la base de sus semejanzas y diferencias. Para lo es preciso que sepa comparar, y sepan invertir el proceso, desplegando las características esenciales que se han desplegado para distinguir que un objeto entre barios, debería pertenecer también al grupo. La condición esencial para poder clasificar un objeto en el grupo al que pertenece es poder descubrir aquellas características que tienen que tener para sean como tal.

Argumentar: consisten la exposición del juicio o sistema de juicios por el se fundamenta la conformidad o veracidad de otro juicio o idea dada .Al argumentar se exponen las ideas por las cuales la adhesión a, o la confirmación de un planteamiento, de un juicio hecho por el propio sujeto por otra persona. Los argumentos constituyen el punto de parda de demostración. Para argumentar se debe: la toma de posición; exposición de las ideas, conocimientos, información de lo que se sabe de la idea; juicio que se argumenta; cuando los alumnos participan en la formación de conceptos, en la elaboración del conocimiento, en la búsqueda de la información pueden aprender a argumentar.

¿Cuáles son las características lógicas más importantes de los conceptos?

Después de haber definido los conceptos, haber determinado dónde se encuentra o cuál su basamento científico es menester, denunciar las características lógicas más importantes de los conceptos: el nombre, el contenido del nombre, la extensión y el contenido.

El nombre, es la palabra o combinación de palabras que lo definen (cuadrado, cuadrilátero convexo). Todo concepto cuenta con un nombre con la particularidad de que ese nombre puede abarcar a varios objetos o fenómenos (trapecio, movimiento).

Se debe ser cuidadoso cuando se emplean los conceptos, pues existe la tendencia en Matemática de identificar o confundir el concepto con el nombre (usado para designarlo (variable X, por variable designada por X, conjunto A por conjunto designado por A, suma por adición). Sentido del nombre: es el modo de cómo el nombre designa al objeto o fenómeno, la información que tiene el nombre sobre el objeto. Guetmanova (1991)

La extensión; según Campistrous (1993) expresa esta es la clase de objetivos que forman el concepto. De ahí que según su extensión los conceptos se clasifiquen en finitos, infinitos, unitarios y de extensión vacía. Contenido: Citando a Ruiz y Ballester (2002) incluye todas las características esenciales indicadas o reflejadas por el concepto. Además de la clasificación por su extensión los conceptos pueden ser de relaciones, de objetivos y de operaciones. Es meritorio destacar la importancia que tiene para la vida la elaboración o formación de conceptos y consiguiente ordenamiento en el sistema de conocimiento.

Se concluyen estas reflexiones dando a conocer la importancia que a la elaboración de conceptos le concede Werner Jungk (1979), por lo que fue retomada por S. Ballester (2001): la comprensión de las relaciones matemáticas; el desarrollo de la capacidad de aplicar lo aprendido de forma segura y creativa; el adiestramiento lógica lingüístico; la transmisión de importantes nociones ideológicos referente a la teoría del conocimiento y el desarrollo de numerosas propiedades del carácter.

¿Cómo se puede conducir a los alumnos a la formación de nuevos conceptos? Se responderá esta interrogante a partir de la investigación realizada por Sergio Ballester Pedroso (1992) que se sustenta en la teoría de la formación de las acciones mentales de P. Ya Galperin (1986), los principios de Werner Jungk (1979) y la teoría aportada por L S Vigotski (1982).

Vía inductiva: Es la que se realiza partiendo de ejemplos. El concepto se desarrolla partiendo de explicaciones y descripciones hasta llegar a la explicación o definición.. Esta vía parte por lo tanto de lo particular (contenido) a lo general (extensión) y cuenta con los siguientes pasos: asegurar el nivel de partida; motivar y orientar hacia el objetivo; poner a disposición de los alumnos objetos de análisis (representantes o representaciones del concepto); analizar los objetos respecto a las características comunes y no comunes, establecer un sistema de características suficientes y necesarias; formular la definición o explicación del concepto.

Vía deductiva: Se parte de la definición del concepto y mediante el análisis de ejemplos se descubre el contenido. Esta vía conduce, por tanto, de lo general a lo particular (lo extensión al contenido del concepto. De ello resultan los siguientes pasos: asegurar el nivel de partida; motivar y orientar hacia el objetivo; partir de la definición y analizar cada una de las partes (definiendum – definiens); poner a disposición de los alumnos ejemplos y contraejemplos que deben ser examinados uno a uno según las características del concepto expresados en el definiens; analizar con los alumnos cual sería si se omitiese una característica; ordenamiento del concepto en el sistema de conocimiento.

En ambos casos se está ante un proceso de abstracción, que puede ser abstracción de una clase o de una clase de clases, lo más significativo aquí está en el hecho de establecer la relación biunívoca entre el contenido y la extensión del concepto, solo cuando esta se logra se puede hablar de formación del concepto

¿Qué acciones debe realizar el alumno para analizar un concepto?

Identificar el concepto: significa determinar la pertenencia o no de un objeto o relación a conceptos dados. Realización del concepto: implica crear un objeto o n–uplo de objetos o complementar o transformar los existentes, o relacionarlos de manera que se originen representantes de los conceptos. Aplicar el concepto. Se puede concluir considerando lo planteado que la estructuración metodológica de la asimilación de un concepto transita por tres etapas generales: la identificación, la realización y la aplicación del concepto.

Acciones que forman la base de los conceptos.

Al trabajar los conceptos, se ha establecido que su formación presupone la formación de tres acciones, como mínimo, que son necesarias en el trabajo con cualquier concepto: la inclusión en el concepto, la específica: incluye las operaciones para establecer en los objetos las características necesarias o suficientes para incluir(o no incluir) estos objetos en el concepto dado.

“Favorecer la formación de los procedimientos lógicos asociados a los conceptos, por parte de los maestros, contribuirá en gran medida a transformar al niño, que ya es un ser pensante, en un niño que sepa pensar bien" América González Valdés. (1995

Conclusiones

La elaboración de conceptos en general y en los grados del primer ciclo de la escuela primaria constituye la garantía para un adecuado aprendizaje en los grados superiores y en su vida futura por lo que esto aporta a la comprensión por parte de los escolares, de los objetos, fenómenos, procesos y relaciones del mundo circundante.

El conocimiento de estos conocimientos pone a los docentes en condiciones de realizar una adecuada dirección del proceso de elaboración de los conceptos, permitiéndoles a la vez penetrar y comprender mucho mejor todos los elementos que conforman al mundo material y espiritual.

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