1.5 Valor Absoluto.

Definição 1.6.

O valor absoluto de um número real a é denotado por | x j, é o próprio número a se for positivo ou igual a zero, e é igual a seu oposto aditivo ¡a se for negativo.

Isto é:

a se a = 0,

¡a se a< 0.

Por exemplo, | 3 j=3, | 0 j=0, | x - 4 j= ¡(¡4) = 4

Propriedade 1.8.

Desigualdade triangular Demonstração.

Suponha a = 0, então | a j= a , logo | a j2= a:a = a.

Suponha a< 0, então | a j= ¡a, logo | a j2=(¡a)(¡a)= a.

Apresentamos duas demonstrações da desigualdade triangular.

Demonstração.

(5) Do fato ser, o valor absoluto de um número real sempre positivo, segue que:

Pela 2a parte desta propriedade e de (1.7) temos que | a + b j2=(a + b)2 = a2 +2ab + b2 =| a j2 +2ab+ | b j2·| a j2 +2 | ab | + | b j2=(| a | + | b j)2 , isto é | a + b j2= (| a | + | b j)2 sendo todos este últimos números positivos concluímos que | a + b j= (| a | + | b j).

Observação 1.6.

i) A distância entre os pontos reais a e b denotamos por | b - a j.

ii) Geométricamente, | b - a | é a distância do ponto a até a origem.

Gráficamente.

Propriedade 1.9.

i) Se b> 0 e | b j= b, então a = b ou a = ¡b.

ii) | a | = | b j, então a = b ou a = ¡b.

iii) a= | a | onde a2 é a raíz quadrada positiva de a.

iv) j| = se b 6=0

Demonstração.

(ii)

Da hipótese | a | = | b | e da definição de valor absoluto do número b, segue que | a j= b ou | a j= ¡b.

De modo análogo, da definição de valor absoluto para o número a segue de | a j= b que, a = b ou ¡a = b; e de | a j= ¡b segue que a = ¡b ou ¡a = ¡b.

Portanto a = b ou a = ¡b.

Propriedade 1.10.

i) | x j<b se e somente se ¡b<x<b.

ii) | x j= b se e somente se ¡b = x = b.

iii) Se b = 0, | x j>b se e somente se x>b ou x< ¡b.

iv) Se b = 0, | x j= b se e somente se x = b ou x
·¡b v) j| a j¡| a jj·| a - b j·| a | + | b |

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Exemplo 1.30.

Resolver as seguintes equações:

3x +1

a) | 2x - 4 | =6 b) j| 5 - 2x j¡4 | =8 c)=4

x - 1 .
¯¯¯¯

d) | x2 - 4 | = | 2x | e)| x - 1 | +4| x - 3 | =2| x +2 |

Solução.

(a)

6+4

Da definição, de | 2x - 4 j=6 segue-se que 2x - 4=6 ou ¡(2x - 4) = 6, então x = ou

Portantox=5oux=-1.

Solução.

(b) Pela definição de valor absoluto, segue que | 5 - 2x | -4 = 8 ou | 5 - 2x | -4 = -8, então 5-2x = 12 ou 5 -2x = -12 ou | 5 - 2x | = -4, sendo esta última um absurdo.

Logo,de5-2x=12obtemosx=-,ede5-2x=-12obtemosx= .

Portanto x = -ou x = é solução do problema.

Solução.

(e) Da equação | x - 1 | +4| x - 3 | =2| x +2 | temos o seguinte diagrama:

Se x< ¡2 então, | x +2 | = -(x+2), | x - 1 | = -(x-1) e | x - 3 | = -(x-3), logo a equação é equivalente a -(x-1) -4(x-3) = -2(x+2) onde x = e, como x = não pertence ao intervalo 33 da condição, segue que x=.R.

Se ¡2 = x< 1 então | x +2 j= x +2, | x - 1 j= ¡(x - 1) e | x - 3 j= ¡(x - 3), logo a 9

equação é equivalente a ¡(x - 1) - 4(x - 3) = 2(x + 2) onde x = e, pela condição x=.R.

7 Se 1 = x< 3 então | x +2 | = x+2, | x - 1 | =x-1e | x - 3 | = -(x-3), logo a equação é 7 equivalente a x-1 -4(x-3) = 2(x+2) onde x = .

5 Se x = 3, então | x+2 j= x+2, | x¡1 j= x ¡1 e | x¡3 j= x¡3, logo a equação é equivalente 17

Portanto, x = ,e x = são soluções da equação.

Exemplo 1.31.

Dados:

Expressar na forma de intervalos o conjunto (A .

B) n C.

Solução.

Para o conjunto A temos que | 12x - 4 j< 10, então ¡10 < 12x - 4 < 10 logo -<x<

Para o conjunto B temos que | 3x - 1 j= 1 implica 3x-1 = 1 ou 3x-1 = -1, logo x = ou

Para o conjunto C temos -2 <x2-4 < 2, então 2 <x2 < 6, logo -6 < x < -2 ou 2 < x

Portanto, (A .

B) n C =(- 6, - 2) S(2, 6) é solução do problema.

Exemplo 1.32.

Resolver | x2 - 4 | + | 2x - 5 j< 1.

Solução..

Temos que | x2 - 4 j= x2-4 se 2 = x ou se x
·¡2 e | 2x - 5 j=2x - 5 se = x.

Logo:

2 Se x = -2 vem que | x2 - 4 | = x2-4 e | 2x - 5 j= ¡(2x - 5) .

(x2 - 4) - (2x - 5) < 1 onde x2 - 2x< 0 isto é (x-0)(x-2) < 0, e pela condição x 2=R.

Se -2 < x < 2 temos que | x2 - 4 | = -(x2-4) e | 2x - 5 | = -(2x-5) então a inequação é equivalente à -(x2-4) -(2x-5) < 1 onde 0 <x2 + 2x -8 isto é 0 < (x+4)(x-2) e da condição x 2=R.

Se 2 = x < temos que | x2 - 4 | = x2-4 e | 2x - 5 | = -(2x-5) então (x2-4) -(2x-5) < 1

onde (x-0)(x-2) < 0 e pela condição x 2=R.

Se = x temos que | x2 - 4 | = x2-4 e | 2x - 5 | = (2x-5) então (x2-4) + (2x-5) < 1 onde

pv 5 v x2 + 2x -10 < 0 , isto é (x - 11 + 1)(x + 11+1) < 0, pela condição = x < 11 -1

v Portanto a solução é o conjunto A = { x .

R=.= x< 11 - 1 g.

Exemplo 1.33.

Resolver (x - 1)2¡| x - 1 | +8 > 0.

Solução.

Do fato (x - 1)2 =| x - 1 j2, segue que | x - 1 j2 ¡| x - 1 | +8 > 0, logo (y - 4)(y - 2) > 0 onde y =| x - 1 j, então | x - 1 j< 2 ou | x - 1 j> 4.

Se | x - 1 j< 2 segue que

¡1 <x< 3 (1.8)

Se | x - 1 j> 4 segue que

x> 5 ou x< ¡3 (1.9)

De (1.8) e (1.9) tem-se que x 2(-1, -3) (-1, 3) (5, +1).

Portanto, x2(-1, -3) (-1, 3) (5, +1) resolve o problema.

Observação 1.7.

a) O máximo de dois números a e b denotamos max :fa, b} e o mínimo de min :fa, bg.

Por exemplo max :f¡1, 4} =4 e min :f6, ¡3} = ¡3.

b) Se a<x<b, então | x j< max :f| a j, | b jg.

Por exemplo, se 2 <x< 6, então | x j< 6 e se ¡12 <x< 6, então | x j< 12.

Exercícios 1-4

1. Resolver as seguintes equações:

Represente cada um dos conjuntos seguintes através de desigualdades envolvendo valores absolutos.

Represente geometricamente os seguintes conjuntos, para logo em seguida expressá-los na forma de intervalos.

Resolver as seguintes inequações:

Determine o valor de E, se:

Sejam a e b números reais, mostre que:

Suponha "> 0 mostre o seguinte:

Mostre que, se os números a1;a2;a3, ¢¢· ;an não são iguais a zero e formam uma progressão

Para testar se uma moeda é equilibrada, um pesquisador lança 100 vezes e anota o número x de cara.

A teoria estatística afirma que a moeda deve ser considerada não equilibrada se x - 50 = 1, 645.

Para que valores de x a moeda será equilibrada ?.

A produção diária estimada x de uma refinaria é dada por | x - 300:000 j= 275:000, onde x é medida em barris de petróleo.

Determine os níveis máximo e mínimo de produção.

As alturas h de dos terços de alunos da Licenciatura em Matemática, verificam a desigual-
h - 1, 76
dade = 1, onde h é medido em metros.

Determine o intervalo da reta real que 0, 22 essas alturas se situam.

Um terreno deve ser lotado.

Os lotes, todos retangulares, devem ter área superior ou igual a 400 m2 e a largura de cada um deve ter 30m a menos que o comprimento.

Determine as dimensões do menor dos lotes que satisfazem tais condições.

Uma galeria vai organizar uma exposição e fez as seguintes exigências:

i) a área de cada quadro deve ser no mínimo de 3:200 cm2; ii) os quadros devem ser retangulares e a altura deve ter 40 cm a mais que a largura.

Dentro dessas especificações, em que intervalo de números reais devem se situar as larguras dos quadros?.

Uma empresa de utilidade pública tem uma frota de aviões.

Estima-se que o custo operacional de cada avião seja de C =0, 2k + 20 por ano, onde C é medido em milhões de reais e k em quilômetros de vôo; se a empresa quer que o custo operacional de cada avião seja menor que 100 milhões de reais, então k tem ser menor a que valor? 16.

Três pessoas A, B e C visitam o açude do “Carneiro"e pescam mais de 8 peixes; B pensa pescar mais 4 com o que teria mais peixes que A e C porém B tem menos peixes que C e o que tem C não chegam a 5.

Quantos peixes tem cada um deles? 17.

Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos.

Recebeu uma doação de R$ 370,00.

Esperava-se comprar carrinhos a R$2, 00 cada, bonecas a R$3, 00 e bolas a R$3, 50.

Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos.

Mostre que a solução seria comprar:

40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas.