3.2.1 Propriedades dos Limites.

Lembre a seguinte propriedade de números reais:

Propriedade 3.2

i) Seja x  R e x  0 , se x <  para todo  > 0 , então x = 0 .

ii) Quando | x | <  ,   > 0  x = 0 .

Demonstração.

i) Como x  0 , então x = 0 ou x > 0 . A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0 então do fato x <  e como  > 0 em particular podemos escolher  = x de onde  = x < x o que é contraditório. Por tanto x = 0 .

ii) Exercício para o leitor.

Propriedade 3.3 Unicidade do limite.

Quando exista o limite de uma função, este limite é único.

Demonstração.

Seja  > 0 qualquer número real; e suponha que f(x) = L_1 e f(x) = L_2 sendo L_1  L_2 .

Será suficiente mostrar que | L_1-L_2 | <  para todo  > 0 .

Do fato f(x) = L_1 da definição de limite temos que, dado qualquer  > 0 , existe um _1 > 0 tal que | f(x)-L_1| < /2 sempre que 0 < | x - a| < _1 ; de modo análogo dado f(x) = L_2 da definição de limite temos que, dado qualquer  > 0 , existe um _2 > 0 tal que | f(x)-L_2 | < {/2} sempre que 0 < | x - a| < _2 .

Considere  = min. { _1 , _2 } e 0 < | x - a| <  então cumprem-se as desigualdades | f(x)-L_1 | < /2 e | f(x)-L_2 | < /2 .

Das propriedades de números reais, temos que:

| L_1-L_2 | = | L_1 - f(x) + f(x) -L_2|  | f(x)-L_1 | + | f(x) - L_2 | < + =  ; para 0 < | x - a| < 

Assim mostramos que para todo  > 0 , sendo 0 < | x - a | <  verifica-se | L_1-L_2| <  o que implica L_1 = L_2 .

Propriedade 3.4. Conservação do sinal.

Se f(x) = L  0 , existe uma vizinhança B(a, ) tal que f(x) e L tem o mesmo sinal  x  B(a, ) com x  a .

A demonstração é exercício para o leitor.

Propriedade 3.5.

Se f(x) = L , existe uma vizinhança B(a, ) e um número M > 0 tal que | f(x)| < M,  x  B(a, ) sendo x  a .

Demonstração

Da hipótese f(x) = L temos que:

Dado  > 0 ,   > 0 /.  x  B(a, ), x  a cumpre |f(x) - L| <  . Das propriedades de números reais | f(x)| - | L | < | f(x) - L | <  , então | f(x)| - | L| <  logo | f(x)| <  + | L| .

Considerando M =  + | L | temos que | f(x) | < M  x  B(a, ) para x  a .

Propriedade 3.6

Se f e g são funções tais que:

a) f(x)  g(x)  x  B(a, ) com x  a .

b) f(x) = L e g(x) = M .

Então L  M , isto é f(x)  g(x) .

A demonstração é exercício para o leitor.

Propriedade 3.7 Teorema do Confronto.

a) Suponhamos f(x)  g(x)  h(x) para todo x num intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente o próprio a

b) Se f(x) = L = h(x) então g(x) = L .

Demonstração

Pela hipótese (b) para cada  > 0 existem positivos _1 e _2 tais que:

0 < | x - a| < _1  L -  < f(x) < L +  (3.4)

0 < | x - a| < _1  L -  < h(x) < L +  (3.5)

Considerando  = min.{_1, _2}, para 0 < | x - a| <  cumpre-se simultaneamente (3.4) e (3.5) e como f(x)  g(x)  h(x) .

Então, 0 < | x - a| <  implica L -  < f(x)  g(x)  h(x) < L +  ; isto é 0 < | x -a| <  implica L -  < g(x) < L +   | g(x) - L| <  . Portanto, g(x) = L .

Propriedade 3.8

Sejam f e g duas funções tais que:

a) f(x)= 0 .

b) Existe M > 0 tal que | g(x)| < M  x  B(a, ) com x  a .

Então f(x).g(x) = 0 .

A demonstração é exercício para o leitor.

Este Teorema do confronto, também é conhecido como o Teorema do sanduíche.

Exemplo 3.12

Suponhamos que f(x) = ax2 + bx + c onde a, b e c são constantes tais que | f(x)|  | x^3|  x  R . Mostre que a = b = c = 0 .

Demonstração

Como 0  | ax^2 + bx + c|  | x^3| e .0 = | x^3 | =0 , pela Propriedade (3.7) segue que | ax^2 + bx + c | = c = 0 .

Então podemos escrever f(x) = ax^2 + bx ; assim 0  | ax^2 + bx |  | x^3 | para x  0 , logo 0  | ax + b|  | x^2|  x  R , aplicando novamente a Propriedade (3.7) resulta | ax + b | = b = 0 .

Então tem-se f(x) = ax ; assim 0  | ax|  | x3| para x  0 , logo 0  | a|  | x|  x  R , aplicando novamente a Propriedade (3.7) resulta | a | = a = 0 .

Portanto, a = b = c = 0 .

Propriedade 3.9 Propriedades adicionais de limites.

Sejam f e g duas funções e C número real constante, tais que f(x) = L e g(x) = M então:

a) .C = C

b) .C f(x) =C f(x) = C . L

c) [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) = L + M

d) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) = L.M

e) [1/g(x)] = 1/ g(x) = 1/M sempre que M  0 .

f) [f(x)/g(x)] = { f(x)}/{ g(x)} = L/M sempre que M  0 .

A demonstração é exercício para o leitor.

Propriedade 3.10

Se f_i(x) = L_i para todo i =1, 2, 3, . . . , n então:

a) [f_1(x)+f_2(x) + f_3(x)+ . . . f_n(x)]= L_1 + L_2 + L_3 + . . . + L_n

b) [f_1(x)  f_2(x)  f_3(x)  . . .  f_n(x)]=L_1  L_2  L_3  . . .  L_n

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Propriedade 3. 11

Suponha f(x) = L e n  Z , então, [f(x)]n = [ f(x)]n = Ln (quando n  0 , então L tem que ser diferente de zero.

Demonstração

Exercício para o leitor.

Propriedade 3.12

Se f(x) = L e n  Z , então, = = onde L é número positivo e n qualquer inteiro positivo ou L < 0 e n qualquer inteiro positivo ímpar.

Demonstração

Exercício para o leitor.

Exemplo 3.13

Calcular o limite: [{5x2-10x-6}/{x3-10}] .

Solução

Por um cálculo direto aplicando a Propriedade 3.11 (f) obtemos que [ {5x2-10x-6}/{x3-10} ] = {-6}/{-2} = 3 .

Exemplo 3.14

Calcular o seguinte limite .

Solução

Pela Propriedade (3.12) temos que = = = 2 .

Portanto, = 2 .

Exemplo 3.15

Calcular ( {x^3-3x+1}/{x-4} + 1) .

Solução

Pela Propriedade (3.9)-f) resulta que, ( {x^2-3x+1}/{x-4} + 1) = { (x^3-3x+1)}/{ (x-1)} + 1 = - + 1 = -

Exemplo 3.16

Calcular [{6x-6}/{x^2-3x+2}].

Solução

Observe que ao aplicar diretamente a Propriedade \eqref{pro113}} \textbf{f)} de quociente de limites, teríamos um quociente da forma \frac{0}{0} no limite, sendo esta uma forma indeterminada. No possível para evitar isto temos que escrever numerador e denominador na forma de fatores do modo seguinte:

[ {6x-6}/{x^2-3x+2} ] = [6(x-1)/{(x-1)(x-2)} ]

Desde que x  1 , então (x - 1)  0 ainda (x-1) não é zero; logo podemos simplificar no limite acima para obter:

[ {6x-6}/{x^2-3x+2}] = [6(x-1)/{(x-1)(x-2)}] = [6/{x-2} ] = -6

Observação 3.4

i) São formas indeterminadas:

0/0, /,  - , ^0, 0^0, 0^, ^, 1^

Se no cálculo de limites aparecem alguma destas formas, para o cálculo de limites devemos utilizar processos ou artifícios com o propósito de evitar a forma indeterminada.

ii) Seja n  N , para a racionalização, lembre:

a2 - b2 = (a+b) (a-b)

(a-b)n = (a-b)(an-1 + an-2 b + an-3b2 + an-4b3 + . . . + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Quando n é ímpar:

(a+b)n = (a+b)(an-1 - an-2 b + an-3b2 - an-4b3 + . . . + a2bn-3 - abn-2 + bn-1)

Exemplo 3.17

Calcular [ 1/{2-x}- 12/{8-x^2} ] .

Solução

Observe que: [ 1/{2-x} – 12/{8-x^3}] =

= [(4+2x+x^2)/{(2-x)(4+2x+x^2)} - 12/{8-x^3}] =

= [{4+2x+x^2 -12}/{8-x^3} ] = [{2x +x^2-8}/{8-x^3} ] =

= [-(2-x)(x+4)/{(2-x)(4+2x+x^2)} ] = [-(x+4)/{4+2x+x^2}] = -

Portanto, [1/{2-x} – 12/{8-x^2} ] = -

Exemplo 3.18

Calcular o limite: [{ - }/{x-1}]

Solução

Este limite é da forma indeterminada 0/0; assim, multiplicando pela conjugada do numerador tem-se: [{ - }}/{x-1} ] =

= [{( - )( + )}/{(x-1)( + )}] =

= [{2(x-1)}/{(x-1)( + )}] = [ 2/( + )] =

Portanto, [{ - }/{x-1}] = .

Exemplo 3.19

Determine o valor do seguinte limite: [{1- }/{ -1} ]

Solução

No limite [{1- }/{ -1} ] multiplicando o numerador e denominador pelo fator F(x) = (1 + )( -1) , tem-se:

[{(1- )(1 + )(( -1))}{( -1)(( -1))(1 + )}] = [{1- }/{ -1}] =

= [{(1-x^2+3x-3)( +1)}/{(4x^2-4)(1+ )] =

= [{-(x-1)(x-2)( +1)}{4(x-1)(x+1)(1+ )}] = [ -(x-2)/4(x+1)] =

Portanto, [ {1- }/{ -1}]=

Exemplo 3.20

Determine o valor do seguinte limite: { - }/{2x^3+x-18}.

Solução

Para o limite, { - }/{2x^3+x-18}, multiplicando o numerador e denominador pelo fator F(x) = ( )2 + ( ).( ) + ( )2 , tem-se:

(x3-2x-3) -(2x^2-7)/{(2x^3+x-18) F(x)} = (x2-2)(x-2)/{(2x^2+4x+9)(x-2)F(x)} = (x^2-2)/{(2x^2+4x+9) F(x)} ] =2/25 F(2) = 2/{(25)(3)} = 2/75

Portanto, { - }/{2x^3+x-18} = 2/75

Exemplo 3.21

Como variam as raízes da equação quadrada ax^2 + bx + c = 0 quando b e c conservam seus valores constantes( b > 0 ) e a magnitude a tende para zero ?

Solução

Pela fórmula de Bhaskara as raízes da equação são: x1 = {-b + }/2a e x2 = {-b - }/2a;

Quanto a  0 podemos escrever na forma:

x_1 = {-b + }/2a = {(-b)2 - ( )2}/{2a(-b - )}= 4c/2{-b - } = - c/b

x2 = {-b - }/2a = (-b)^2 - ( )2}{2a(-b + )}= 4c/{-b + - 4ac}} = 

Portanto, uma das raízes converge para - c/b e a outra diverge (aproxima-se rapidamente ao infinito).

Exercícios 3-2

1. Mostre as seguintes propriedades.

1. f(x) = 0  | f(x) | = 0 .

2.. f(x) = L  [ f(x) - L] = 0

3. f(x) =L  f(x) | = | L | .

4. f(x) = f(a+h)

2. Apresentar um exemplo de modo que:

1. Exista | f(x) | e não exista f(x) .

2. Exista [f(x) + g(x)] e não existam f(x) e g(x) .

3. Caso existam os limites f(x) e [f(x) + g(x)] . Existe g(x) ?

4. Caso existam os limites f(x) e [f(x).g(x)] . Existe g(x) ?

5. Caso exista f(x) e g(x) não existe, então existe [f(x) + g(x)] ?

6. Mostre que f(x) se e somente se f(a+h) .

7. Mostre que f(x) se e somente se f(x-a) .

8. Mostre que f(x) se e somente se f(x3) .

9. Considere a função f(x) = , determine os valores de m tal que f(x) = m^2 - 17 .

10. Seja a função f(x) = , e f(x) = 2a-5 . Determine o valor de a > 0

11. Calcular os seguintes limites:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11 12.

13. 14.

15. a > 0 16.

17. a > 0 18.

12. Verifique os seguintes limites, para as funções que indicadas:

1. = - se f(x) = 1/{x2+4}

2. = -16 se f(x) = 8x2

13. Verifique o cálculo dos seguintes limites:

1. [ - ]= 2. =

3. =1 4. = 32/27

5. = 6. = -

7. = 8. =

14. Se f(2) = 6 , podemos concluir algo de f(x) ?. Justificar sua resposta.

15. Se f(x) = 6 , podemos concluir algo sobre f(2) ? Justificar sua resposta.

16. Sabe-se que = 4 e = -6 . Prove que = -1.

17. Se = 8 e = 3 . Prove que f(x)/g(x) = .

18. De que modo variam as raízes da equação ax2 + bx + ac = 0 quando b e c conservam seus valores constantes ( b  0 ) e a magnitude a  0 ?.