3.2 Limite de uma Função.

Um dos conceitos básicos e fundamentais do cálculo é o conceito de limite, este conceito é tão importante para precisar de outros, tais como continuidade, derivação, integração, etc. No seguinte exemplo teremos uma idéia de limite de uma função.

Figura 3.2:

Exemplo 3.2

Considere duas funções reais f e g de gráfico como mostra a Figura 3.2, assim definidas: g(x) = 3 + x para x  2 , e f(x) = x2+1 se x  2 e f(x) = 3 se x = 2 .

Observe que g(2) não existe, entanto f(2) = 3 não obstante o comportamento destas duas funções em uma vizinhança de 2 , excluindo o ponto x = 2 é exatamente o mesmo e pode ser descrito do modo seguinte:

Para valores de x próximos ao ponto a = 2 , com x  2 os valores de f(x) e :g(x) aproximam-se ao número L = 5.

Usando vizinhanças, esta propriedade podemos expressar do modo seguinte:

Para toda vizinhança B(5, ) podemos determinar um  > 0 , tal que para todo x  2 e x  B(2, ) , então f(x)  B(5, ) (Figura 3.3).

Quando isto ocorre diz-se que 5 é o limite de f(x) quando x tende (aproxima-se) para 2 ; a escrita em símbolos é: f(x)= 5 .

Analogamente para a função g(x) , temos g(x) = 5 (Figura 3.4).

Observe que o limite de g(x) no ponto 2 não depende do valor de g(2) , que neste caso não existe, somente depende dos valores de g quando x esta próximo do ponto 2 .

Figura 3.3: Figura 3.4:

Definição 3.2

Seja f : R  R uma função e x = a um ponto que não necessariamente pertença ao domínio D(f) , porém toda vizinhança de a contêm pontos do domínio D(f) ; diz-se que o limite de f(x) é L , quando x tende para a e escreve-se f(x)= L quando:

•   > 0 ,   > 0 /.  x  D(f), x  a e a -  < x < a +  então L -  < f(x) < L +  .

• Em termos de valor absoluto, esta definição é equivalente a:   > 0 ,   > 0 /.  x  D(f), | f(x) - L | <  sempre que 0 < | x - a | <  .

No conceito de limite, aparece o seguinte problema: Que tão perto do ponto x = a deve ser o valor de x para que f(x) diste do valor de L , um número suficientemente pequeno e fixado?

Exemplo 3.3

Estime o valor do limite [(x^5-1)/(x^6-1)] completando a seguinte tabela:

x :0,901 0,9001 0,90001 0,900001 1,01 1,001 1,0001 1,00001

f(x)

Solução.

x 0,901 0,9001 0,90001 0,900001

f(x) 0,8712284059 0,87393816822 0,8739735220 0,8739770573

x 1,01 1,001 1,0001 1,00001

f(x) 0,8291600330 0,8329165975 0,8332916660 0,8333291667

Exemplo 3.4

Se (4x+3) = 11 . Que tão perto de 2 deve estar x para que | f(x) - 11 | < 0.01 ?

Solução

Desejamos que: | f(x) - 11 | < 0.01 (note que  = 0.01 ), porém | f(x) - 11 | = | (4x+3) - 11 | = 4 | x - 2 | < 0.01  | x - 2 | < 0,01/4.

De esta última desigualdade temos que | x - 2 | < 0,0025 o que significa que x está a uma distância de 2 em menos de 0,0025 unidades.

Exemplo 3.5

Calcular o seguinte limite:

Solução

= = = -4 isto é possível pelo fato x - 2  0 . Portanto, = -4 .

Observação 3.1

Lembrando a Definição 3.2, necessitamos mostrar que, dado qualquer  > 0 , seja possível achar um  > 0 tal que | f(x)-L | <  sempre que implique a desigualdade 0 < | x - a | <  .

Exemplo 3.6

Mostre que (3x^2+2x+5) = 9 .

Solução

Dado qualquer  > 0 , deve-se mostrar que é possível achar um  > 0 tal que | (3x^2+2x+4) - 9 | <  sempre que 0 < | x - 1| <  . Porém,

| (3x^2+2x+4) - 9| = | 3x^2+2x-5 | = | 3x+5 |.| x-1| <  | 3x+5| (3.1)

Suponha exista um _1 > 0 de modo que | x - 1 | < _1 tentaremos majorar | 3x+5 | ; isto é buscaremos um número M > 0 tal que | 3x+5 | < M sempre que 0 < | x - 1| < _1 .

Com efeito, se | x - 1 | < _1 , então -_1 < x - 1 < _1 logo 1-_1 < x < 1+_1 então 3(1-_1)+5 < 3x+5 < 3(1+_1)+5 ; por exemplo considere _1 = 1 e teremos 5 < 3x+5 < 11 assim

| 3x+5 | < 11 (3.2)

De (3.1) e (3.2) temos que | 3x+5| . | x-1| <  | 3x+5 | < 11  =  sempre que  = min. {1, /11 } .

Por tanto, para qualquer  > 0 , e considerando  = min{1, /11} tem-se | (3x2+2x+4) - 9 | <  sempre que 0 < | x - 1| <  o que mostra que o limite (3x^2+2x+5) = 9 é verdadeiro.

Observação 3.2

Para a demonstração de limites lembre o seguinte:

a) Ao considerar um _1 particular, estamos considerando a vizinhança B(a, _1) = (a - _1, a+_1) - {a } ou | x - a | < _1 geralmente o _1 é um valor pequeno, pode-se considerar | x - 1 | < _1 = 1 porém este valor pode resultar inadequado em alguns casos pelo que devemos considerar outro número ainda menor.

b) Considerar as seguintes propriedades de valor absoluto:

i) Se | x - a | <  então a -  < x < a +  .

ii) Se a < u < b então | u | < max.{| a | , | b | } .

Por exemplo, se -4 < 3x - 9 < 2 então | 3x - 9 | < 4 pois | - 4 | = 4 < max.{| - 4 | , | 2 | } .

iii) Se a < u < b então, u^2 < k^2 onde k = max{| a | , | b | }

c) Se  > 0 satisfaz a definição de limite, qualquer outro _1 que satisfaz a desigualdade 0 < _1 <  , também satisfaz a definição.

Exemplo 3.7

Seja f(x) = (x^2-16)/(x-4), mostre que f(x) = 8 .

Solução

Seja qualquer  > 0 , deve-se mostrar que é possível achar um  > 0 tal que |(x^2-16)/(x-4), – 8| <  sempre que 0 < | x - 4| <  .O fato 0 < | x - 4 | , equivale a que x  4 .

| f(x) - 8 | = | (x^2-16)/(x-4) - 8 | = |(^2-8x +16)/(x-4)| = | x - 4| <  =  .

Logo, para qualquer  > 0 , existe  =  tal que | f(x) - 8 | <  sempre que 0 < | x - 4 | <  .

Exemplo 3.8

Determine o valor do seguinte limite: .

Solução

= = = 0,5 .

Portanto, = 0,5 .

Exemplo 3.9

Dada a função f(x) = mostre que f(x) =

Solução

Seja  > 0 , e | f(x) - | = | - | = | | =

= | . | < | 4 - x | (3.3)

Se | x - 4| < _1 , então -_1 < x - 4 < _1 logo 4-_1 < x < 4+_1 .

Considerando _1 = 1 tem-se 3 < x < 5 então, -1 < -1 < -1  ( -1) < ( - 1) ; sabe-se que 2  (2+ )  2( -1)  ( -1)(2 + )   .

Observe, em (3.3) segue que | f(x) - |  | 4-x |  | 4-x | = < /( -1) =  sempre que | x - 4 | <    > 0 .

Considerando  = min.{1,  ( -1)} , mostra-se que o f(x) = sempre que | x - 4| <  .

Observação 3.3

i) Calcular um limite é diferente de demonstrar o mesmo; para o cálculo utilizamos propriedades de números reais e de modo direto tentamos chegar a um resultado; na demonstração utilizamos a definição, logo tem-se que trabalhar com  e  .

ii) Suponha estamos estudando o limite de uma função f(x) numa vizinhança de x = a e, x = b seja o ponto mais próximo de x = a onde a função f(x) não está definida, então temos que considerar _1 = | a – b | .

Exemplo 3.10

Calcular [{ +3 }/{8- }] .

Solução

Observe, pelas propriedades do limite: [{ +3 }/{8- }] =

= [{ +3 }/{8- }] = [{ +6}/6]. Portanto, [{ +3 }/{8- }] = [{ +6}/6] .

Exemplo 3.11

Calcular o limite: [{x-8}/{ -2}] .

Solução

Tem-se que; (x - 8) = [ - 2][( )^2 + 2 + 2^2] ; logo, pelas propriedades do limite: [{x-8}/{ -2}] = = [{[ - 2][( )^2 + 2 + 2^2]}/{ -2}] =

= [( )^2 + 2 + 2^2] = 12

Portanto, [{x-8}/{ -2}] = 12 .

Exercícios 3-1

1. Estime o valor do limite [{x^5-32}/{x^6-64}] completando a seguinte tabela:

x 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 2,01 2,001 2,0001 2,00001

f(x)

2. Calcular o g(x) para g(x) = {x+3}/{ -4} completando a seguinte tabela:

x 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 1,01 1,001 1,0001 1,00001

f(x)

3. Calcular f(x) para as seguintes funções:

1. f(x) = 2. f(x) =

quando a=2 quando a = 1

4. Seja f(x) = {x^2}/{3x - 4} , mostre que f(x)= -1 .

5. Mostre que | 2(x-5)/{2x-7} |= -2 .

6. Seja y = x^2 . Quando x tende para 2 ; y tende para 4 . Qual é o valor para  em 0 < | x – 2 | <  ; que, dê por resultado | y - 4 | <  = 0,001 ?

7. Seja y = {x2-1}/{x^2+1} . Para x  2 tem-se y  3/5. Qual é o valor de  para que | x - 2 | <  dê por resultado | y - {3/5} | <  = 0,1 ?

8. Aplicando a definição, demonstrar os seguintes limites, achando um valor para um  > 0 , para o valor de  dado.

1. (5x-3) = 12  = 0,03 2. (3x+5) = 11  = 0,0012

3. [{x2-4}/{x-2}] = 4  = 0,004 4. [{ -1}/{x-1}] =  = 0,015

5. [{3x^2-2x-1}/{x-1}] = 4  = 0,015 6. [{4x2-1}{2x-1}] = 2  = 0,07

7. (7x^2-20x+2) = 5  = 0,001 8. = 4  = 0,001

9. [ {3x-1}/{3x^2-25}] = -5  = 0,001 10. [ ] = 5  = 0,1

9. Aplicando a definição de limite, mostrar as seguintes igualdades:

1. 4/{x-2} = 4 2. {3+2x}/{5-x}= 3. (3x^2-x) = 10

4. (x^3+2)= -6 5. {3x/{x+8} = -5 6. {3x}/{6x-5}= 3

7. = 1 8. [ 2x/{63x-1}] =0 9. {x+1}/{ } = 2

10. = 1 11. { -1}/{ +3} = 1 12. {8x/{64x-1} = 0

13. \sqrt{\frac{4+x}{x^2-9}} = 14. | x |/{x^2+1} =

15. {x- }/{2x+ } = - 16. | 2-x |/{3x-1} =

17. {x+1}/{9x-60}= 18. {2x-4}/{5x+23} = -4

19. {x^2+2x+2}/{x^2-2x+1}=2 20. {3x^2+1}/{x^4+1}=

21. {|| x || + x}/{3 + x - x^2} = 1 22. || x ||/{x+1}] = 0

23. {x-1}/{ -2} = 2 24. {4x^2+1}/{3x+2}= -5

25. { /3 = 26. [{||x|| + 2}/{x^2}] =

27. [ /{x+2}] = -3 28. [{sgn(x2-1)/{x+4}] =

29. [{2+x+x^2}/{2x+5}] = 4 30. [{x2-15x-4}/{x-3}] = 0

10. Considere a sucessão un+1 = un + {2-un2}/2un sendo u_1 = 1. Determine os primeiros términos u2, u3, u4 e calcule o limite de un quando n cresce indefinidamente.

11. Seja a sucessão definida pela relação de recorrência un+1 = sendo u1 = . Calcular o limite da sucessão un quando n cresce indefinidamente.

12. Mostre que a seqüência un = 1 + (-1)n não tem limite quando n cresce indefinidamente.

13. Mostre que, ao crescer n indefinidamente, a seqüência un = não tem limite. A seqüência vn = tem limite? Justificar sua resposta.

14. Calcular o g(x) para g(x) = {x -3}/{x^2-9} completando a seguinte tabela:

X 2,999 2,9999 2,99999 2,999999 3,01 3,001 3,0001 3,00001

f(x)