3.6.3 Limite da Função Exponencial e Logarítmica.

Considere os seguintes limites sem demonstração:

1) = 0 2) = 1

3) = e onde e  2,7182818284590 . . .

Exemplo 3.49

Calcular .

Solução

Quando x  0 , então n = , fazendo mudança de variável no limite original resulta: = = e . Portanto, = e .

Exemplo 3.50

Calcular .

Solução

Tem-se: = Ln = Ln ( ) = Ln e = 1.

Portanto, = 1 .

Exemplo 3.51

Calcular , sendo a  0 número real qualquer:

Solução

Se m  , então n = am  . Logo, = =

= = = ea . Portanto, = ea.

Exemplo 3.52

Mostre que, = Ln a .

Solução

Seja s = ah - 1 , então h.Ln(a) = Ln(s + 1) , quando h  0 tem-se que s  0 , no limite: = = = = [Ln(a)]. = Ln(a) ; isto pelo Exemplo (3.47). Portanto, = Lna

Exemplo 3.53

Calcular sendo f(x) um número finito.

Solução

Seja m = , pelo fato ser f(x) um número real finito, quando x  , m  0 . Considere y = então Ln(y) = x .Ln(1 + m) = .Ln(1 + m) = f(x). . Então Ln(y) = Ln = f(x). =

f(x). = f(x). (1) = f(x).

Isto último pelo Exemplo (3.47), logo, Ln y = f(x)  y = e^{ f(x)} .

Portanto, = e^{ f(x)} .

Exemplo 3.54

Calcular .

Solução

Seja m = (1 + )n - 1 , então Ln(m + 1) = n.Ln(1 + ) ; quando,   0, m  0 , logo no limite tem-se: = . = =

= = (n) =

(n) = n

Portanto, = n .

Observação 3.7

Para o cálculo do limites da forma [f(x)]g(x) considere o seguinte:

1o Caso : Se existem f(x)= A e g(x) = B e são finitos, então o limite [f(x)]g(x) = AB .

2o Caso : Se existem f(x)= A  1 e g(x) = B sendo B = , então o limite: [ f(x)]g(x) =

3o Caso : Se f(x)= 1 e g(x) = ; nesta caso 1 é uma forma indeterminada; logo temos que definir h(x) = f(x) - 1 de modo que h(x) = 0 ; logo [f(x)]g(x) = [1+h(x)]g(x)= =e^{ h(x).g(x)}.

Exemplo 3.55

Calcular:a) b)

Solução

a) Aplicando o primeiro caso da Observação (3.7), tem-se:

= 102 = 100

Portanto = 100 .

b) Aplicando o segundo caso da Observação (3.7), tem-se:

= 3 e (x+5) = +.

Portanto = +.

Exemplo 3.56

Calcular: a) b) c)

Solução

a) Pelo mostrado no Exemplo (3.52), observe que, =

= . nx = . nx . = (1).Ln = Ln .

Portanto, =Ln

b) Observe que, = =

= = . = . Portanto, = .

c) Tem-se que: = =

= = =

= = - =

Fazendo y= x - 1 então quando x  1 , y  0 ; logo

- == - =

= - [Ln (e) - Ln (a)]= [1 -Ln(a)]

Portanto, = [1 -Ln(a)] .

Exemplo 3.57

Calcular: a) b) .

Solução

a) Este limite é do 3o Caso , considere y = , observe que: x  0 , (sen3x)  0 e y  . Logo :

= =

= = = = .

Outro modo de resolver é considerando f(x)= e g(x) = , então h(x) = f(x) - 1 = e g(x) = 0 . Do fato h(x)g(x) = = . Portanto, = .

b) Observe, = 1+ , então:

= [ 1+ ]

Sejam h(x) = e g(x) = x+1 como h(x)= 0 e g(x)= . Logo pelo 3o Caso segue que, = e3 .

Portanto, = e3 .

Exemplo 3.58

Calcular: a) b)} .

Solução

a) Tem-se: = Ln = Ln[ ] =

Por outro lado, seja h(x) = cos 8x -1 e g(x) =

Como h(x)g(x) = = - .

Portanto, =

b) Sejam h(x) = 3(1 - ) e g(x) = , então h(x).g(x) = e como h(x) = (4 - 3 ) - 1 sendo h(x)= 0 e g(x)= , tem-se:

= =

Portanto, = .

Exemplo 3.59

Determine o cálculo do limite: .

Solução

Para todo n  N sabe-se que -1  sen n!  1 , como > 0,  n  N , então multiplicando a desigualdade do seno temos que -   .

Calculando o limite:

-   então 0   0

Portanto, = 0.

Exemplo 3.60

Calcular: .

Solução

Sabe-se que: sen3  x = sen (2x + x) = sen2x .cos x + cos 2x.se x = (2sen x.cosx).cosx + (cos2x - sen2x)senx = senx(2cos2x + cosx - sen2x)

No limite temos : = =

= =

Portanto, =

Exemplo 3.61

Calcular o limite : .

Solução

Considere a seguinte mudança de variável: y = x + 2 , então: tan x = tan(y - 2) = = tan y = .

No limite: = =  . . Quando y  0 , tem-se que y  0 , logo: =  . = 

Portanto, = .

Exercícios 3-4

1. Verificar o cálculo dos seguintes limites:

1. = + 2. = +

3. = - 4. [ - ] = 

5. = - 6. = -

7. = + 8. = +

9. = - 10. [ - ] = +

2. Calcular os seguintes limites:

1. [ - - ] 2.

3. 4. (x -x^2)

5. 4(x -x^2) 6.

7. 8.

3. Mostre que, f(x)=  se e somente se f(1/x)= .

4. Determine constantes a e b tais que:

1. [ + -ax ]= 0 2. [ -ax-b ]= 0

3. [ -ax - b ]= 0

5. Quando x  0 tem-se y =  . Que condições deve satisfazer x para que tenhamos a desigualdade | y | > 104 ?

6. Mostre que a função y = é infinitamente grande quando x  3 . Qual deve ser o valor de x para que a magnitude | y | seja maior que 1000 ?

7. Verificar que:

1. arcsen x = arctan 2. arctan x - arctan y = arctan .

8. Sejam f(x) = sen + cos(arctan x) e g(x) = sec(2-x) - tan(arcsec(-x)) . Calcular f(1) - g(2) .

9. No sentido da Definição (3.8):

1. Demonstrar que: = .

Figura 3.9:

2. Mostre que: se f(x) >  > 0 para todo x , e g(x)= 0 , então =  .

10. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em 2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura escalonada segundo a Figura (3.9). Demonstre que a diferença entre a área do triângulo e a figura escalonada é infinitesimal quando n cresce infinitamente.

11. Para os seguintes exercícios esboçar o gráfico no intervalo [-2, 2]

1. f(x) = cos( ) 2. f(x) = 2cos( )

3. f(x) = sen(||x||) 4. f(x) = sen t( )

5. f(x) = | sen | x | | 6. f(x) = sen 2| x |

7. f(x) = sen( x - ) 8.f(x) = 2.tan( ) + sen x

12. Verificar o cálculo dos seguintes limites:

1. = 0.5 2. = a a  1

3. = 4. = b  -1, a  0

5. = 6. =

7. = 8. = 1

9. = - 10. =

11. = 12. = -2

13. = 2 14. . 4x.cot 4x = 1

15. = 4 16. .tan =

17. = -1 18. =

19. = 2 20. = 5

13. Considere um triângulo eqüilátero de lado a . Suas três alturas servem para gerar um novo triângulo eqüilátero e assim sucessivamente n vezes. Determine o limite da soma das áreas de todos os triângulos quando n  +.

14. Um círculo de raio r tem inscrito um quadrado; este tem inscrito um círculo o qual tem inscrito um quadrado, e assim sucessivamente n vezes. Determine o limite das soma das áreas de todos os quadrados quando n  +. De modo análogo para a soma das áreas de todos os círculos.

15. Calcular os seguintes limites:

1. 2. x. tan t( ) 3.

4. 5. 6.

7. (sec x -tan x) 8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20. 21

16. Calcular os seguintes limites:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. x2[1 - cos ( )] 8. 9.

10. a > 0 11. x( )

12. 13.

14. a > 0 15.

17. Considere a sucessão un+1 = un + sendo u1 = 1. Determine os primeiros términos u2, u3, u4 e calcule o limite de un quando n cresce indefinidamente.

18. Mostre que se f(x) = , então existe uma seqüência { xn }n N de números reais tais que f(xn) > n .

Miscelânea 3-1

1. Suponha-se que as funções f(x) e g(x) tem a seguinte propriedade:

Para cada  > 0 e todo x  R ; se 0 < | x - 2 | < sen2({2}/9) +  , então | f(x) - 2 | <  e se 0 < | x - 2 | < 2 , então | g(x) - 4 | <  ."

Para cada  > 0 achar um  > 0 de modo que, para todo x  R :

1. Se 0 < | x - 2 | <  , então | f(x) + g(x) - 6 | <  .

2. Se 0 < | x - 2 | <  , então | f(x).g(x) - 8 | <  .

3. Se 0 < | x - 2 | <  , então | - | <  .

4. Se 0 < | x - 2 | <  , então | - | <  .

2. Mostre que, se f(x)= 0 , então = 0 .

3. Mostre que:

1. f(x) = f(-x) 2. f(| x| ) = f(x)

3. f(x2) = f(x) 4. f( ) = f(x)

4. Seja f(x) =

Mostre que não existe o limite f(x) , qualquer que seja a  R .

5. Seja f(x) =

Mostre que não existe o limite, para qualquer a  0 .

6. Mostre que se = L e a  0 , então = aL

7. Calcular . Considere separadamente os casos em que n seja: a) um inteiro positivo; b) um inteiro negativo; c) zero.

8. Calcular os seguintes limites:

1. 2. 3.

4. 5. 6.  > 0,  N

7. n  N 8. 9.  > 0, \ N .

9. Mostre através de um exemplo que se existe uma seqüência { xn }n  N^+ de números reais tais que f(xn) > n , então não necessariamente existe o limite de f(xn) quando n   .

10. Sejam f:[a, b]  R e g:[a, b]  R funções tais que:

= 1  f(x) = g(x)

para c  (a, b) .